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幂、指、对比较大小
常见幂、指、对比较大小有三类情况
同底数或同指数型
此时利用幂、指对、函数的单调性比较大小即可，比较基础。
需要熟知三类函数的单调性：
当
幂函数：
当
如果是同指数时，只需注意指数的正负，然后比较大小即可。
当
指数函数：
当
如果是同底数数时，只需注意底数的与1的大小关系，然后比较大小即可。
当
对数函数：
当
如果是同底数数时，只需注意底数的与1的大小关系，然后比较大小即可。
例1.
【2015高考山东】设则的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
跟踪：1.
（2012年天津市文5分）已知，则的大小关系为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A。
【解析】∵，∴
。
又∵，∴，故选A。
2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为,,故选A.
不同底或不同底数型
1.
首先观察能不能化成同底或是同底型；
2．幂指型首先跟1比，如果不行再跟其它中间值比；
3.对数型首先0、
1比，如果不行再跟其它中间值比.
可以简记为：同区间正，异区间负。
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
（3）利用特殊值作“中间量”：中间值得选择首先看题目中给出的提示，如果没有明显提示，可采用二分法讲判断的范围区间取中间值比较，此时注意的应用。
例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较。
（4）常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论：
（令）
例2
(1)(2013高考数学新课标2理科)设则(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
,显然
（2）(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则(　　)
Aa【答案】A
解析：由题意可知、、，
，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得．
综上所述，．
故选：A．
跟踪：
1.
（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】指数函数为增函数，则，
对数函数是上的增函数，则，因此，.
故选A.
2.
（2020全国三文10）.设，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以.
故选：A.
3.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】令,则,,
∴,则
,则,故选D．
3.（2012年全国大纲卷理5分）已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D。
【解析】采用中间值大小比较方法：
∵，，，，
∴。故选D。
三.特殊情况构造函数利用单调性比较
根据题目特点，构造合适的函数，利用函数的单调性比较大小。
例3
(2021年高考全国乙卷理科)设，，．则(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：,
所以;
下面比较与的大小关系．
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b综上，,
故选：B．
跟踪:
1.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：B．
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
课后巩固：
1．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】，，，
所以，
故选A.
2．（2020·四川省金堂中学校高三一模（文））若，，满足，，.则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】，，，
，，
，，，
，
故选A.
3.
（2012年重庆市文）已知，，，则的大小关系是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】B。
【解析】利用对数的运算性质可求得，比较它们的大小：
∵，
，
,
∴，。∴。故选B。
4.（2005年全国三文6）
设
则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：法一：构造函数
法二：观察到都是以为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：
，通过比较底数的大小可得：
5.设，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
解析：
，所以可得：
答案：D
6.（2010年全国一理文10）设，则的大小关系是___________
解析：观察发现均在内，的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：，在比较和的大小，由于是指数，很难直接与对数找到联系，考虑估计值得大小：，可考虑以为中间量，则，进而，所以大小顺序为
答案：
7.下列四个数：的大小顺序为________
解析：观察发现，其余均为正。所以只需比较，考虑，所以，而，所以下一步比较：，所以，综上所述，大小顺序为
答案：
8.（2020·贵州省凯里一中高三月考（理））已知均为正实数，若，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】，，，
利用函数，，，，
如图所示：由图象可得：，
故选C.
9.
（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.
【详解】，，
，
由在定义域内单调递增，则，
又单调递减，所以，
所以.
故选A
10．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则
(　　)
(A)(B)(C)(D)
【答案】C
【解析】对A：
由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B：
由于，∴函数在上单调递减，
∴，B错误；对C：
要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和
构造函数，则，在上单调递增，因此
又由得，∴，C正确
对D：
要比较和，只需比较和
而函数在上单调递增，故
又由得，∴，D错误
故选C．
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幂、指、对比较大小
常见幂、指、对比较大小有三类情况
同底数或同指数型
此时利用幂、指对、函数的单调性比较大小即可，比较基础。
需要熟知三类函数的单调性：
当
幂函数：
当
如果是同指数时，只需注意指数的正负，然后比较大小即可。
当
指数函数：
当
如果是同底数数时，只需注意底数的与1的大小关系，然后比较大小即可。
当
对数函数：
当
如果是同底数数时，只需注意底数的与1的大小关系，然后比较大小即可。
例1.
【2015高考山东】设则的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）
跟踪：1.
（2012年天津市文5分）已知，则的大小关系为【
】
（A）
（B）
（C）
（D）
2．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知,,,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
不同底或不同底数型
1.
首先观察能不能化成同底或是同底型；
2．幂指型首先跟1比，如果不行再跟其它中间值比；
3.对数型首先0、
1比，如果不行再跟其它中间值比.
可以简记为：同区间正，异区间负。
（1）如果底数和真数均在中，或者均在中，那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在中，一个在中，那么对数的值为负数
例如：等
（3）利用特殊值作“中间量”：中间值得选择首先看题目中给出的提示，如果没有明显提示，可采用二分法讲判断的范围区间取中间值比较，此时注意的应用。
例如，可知，进而可估计是一个1点几的数，从而便于比较。
（4）常用的指对数变换公式：
（1）
（2）
（3）
（4）换底公式：
进而有两个推论：
（令）
例2
(1)(2013高考数学新课标2理科)设则
(　　)
A．
B．
C．
D．
（2）(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则
(　　)
Aa跟踪：
1.
（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2.
（2020全国三文10）.设，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
4.（2012年全国大纲卷理5分）已知，则【
】
A．
B．
C．
D．
三.特殊情况构造函数利用单调性比较
根据题目特点，构造合适的函数，利用函数的单调性比较大小。
例3
(2021年高考全国乙卷理科)设，，．则(　　)
A．
B．
C．
D．
跟踪:
1.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
课后巩固：
1．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·四川省金堂中学校高三一模（文））若，，满足，，.则（
）
A．
B．
C．
D．
3.
（2012年重庆市文）已知，，，则的大小关系是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4.（2005年全国三文6）
设
则的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
5.设，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
6.（2010年全国一理文10）设，则的大小关系是___________
7.下列四个数：的大小顺序为________
8.（2020·贵州省凯里一中高三月考（理））已知均为正实数，若，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9.
（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则
(　　)
(A)(B)(C)(D)
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