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三角形三线-----角平分线
角平分线：如图，在中，平分，常见结论有：
⑴
⑵AD边上的点到两边的距离相等
⑶角平分线定理：在中，，在中，，，该结论可以由两三角形面积之比得证，即
⑷
在解三角形中的应用
例1
【2015高考新课标2，理17】
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)
求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
例2
【2020-2021年滨州市二模17题】
在①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答。
问题：在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______。
求角C；
若，内角C的平分线CE交边AB于点E,求CE的长。
例3
【2020-2021年江西上饶一模】在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围_____.
【反馈1】【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.
【反馈2】【2020--2021淄博实验一模】在中，，，，则的角平分线，则______．
【反馈3】【2018年江苏13】在中,角所对应的边分别为的平分线交于点,且,则的最小值为__________.
【反馈4】【河南省十所名校2021届高三尖子生第二次联合考试17题】
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围.
二．在平面向量中的应用
例4.【2010年大纲全国Ⅱ卷，理8题】在中，点在上，平分,，，，，则(
)
A.
B.
C.
D..
例5【2020·盐城市高三第四次模拟考试·13】在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是
．
【反馈1】【2021届·如皋期中】在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAC的平分线交BC于E，已知AB＝4，，，则＝
.
【反馈2】已知点,,,设的平分线与相交于，如果,那么等于
【反馈3】8.（2020·南师附中六月模拟·12）已知点G为的重心，点D，E，F分别为，，的中点.若，，则________.
三．在解析几何中的应用
例6【2011年全国Ⅱ，理15】已知分别为双曲线：的左右焦点，点在上，点,为的角平分线，则
【反馈1】【2021·衡水中学·四调】（）已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，，且平分，则________．
【反馈2】【2020年浙江数学竞赛】已知分别为双曲线：的左右焦点，点，为的角平分线，则点的坐标为
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三角形三线-----角平分线
角平分线：如图，在中，平分，常见结论有：
⑴
⑵AD边上的点到两边的距离相等
⑶角平分线定理：在中，，在中，，，该结论可以由两三角形面积之比得证，即
⑷
在解三角形中的应用
例1
【2015高考新课标2，理17】
中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．
(Ⅰ)
求；
(Ⅱ)若，，求和的长．
【解析】（Ⅰ），，因为，，所以．由正弦定理可得．
（Ⅱ）因为，所以．在和中，由余弦定理得
，．
．由（Ⅰ）知，所以．
【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、角分线、正弦定理和余弦定理，由角分线的定义得角的等量关系，由面积关系得边的关系，由正弦定理得三角形内角正弦的关系；分析两个三角形中和互为相反数的特点结合已知条件，利用余弦定理列方程，进而求．
例2
【2020-2021年滨州市二模17题】
在①，②，
③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答。
问题：在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______。
求角C；
若，内角C的平分线CE交边AB于点E,求CE的长。
解析：（1）可求得
（2）由正弦定理得
又∵锐角△ABC
∴
∵内角C的平分线CE
∴
∴
∴
∴
例3
【2020-2021年江西上饶一模】在中，，是的平分线，且，则实数的取值范围_____.
【答案】
【解析】
由三角形角平分线性质知：BD=3DC,不妨设AC=1,则AB=3,AD=m.在
和
中，由余弦定理得：
又。所以，
所以。
【反馈1】【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.
【答案】
【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.
【名师点晴】解三角形就是根据正弦定理和余弦定理得出方程进行的．当已知三角形边长的比时使用正弦定理可以转化为边的对角的正弦的比值，本例第一题就是在这种思想指导下求解的；当已知三角形三边之间的关系式，特别是边的二次关系式时要考虑根据余弦定理把边的关系转化为角的余弦关系式，再考虑问题的下一步解决方法．
【反馈2】【2020--2021淄博实验一模】在中，，，，则的角平分线，则______．
【答案】
【分析】
由已知及正弦定理可求，可得，利用三角形内角和定理及已知可求，进而可求的值，在中，由正弦定理即可解得的值．
【详解】
中，，，
由正弦定理可得：
，
为的角平分线
，
在中，由正弦定理可得：
【反馈3】【2018年江苏13】在中,角所对应的边分别为的平分线交于点,且,则的最小值为__________.
【反馈4】【河南省十所名校2021届高三尖子生第二次联合考试17题】
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由结合整理可得，问题得解.
（Ⅱ）整理可得：，结合正弦定理得：，问题得解.
【详解】解：（Ⅰ）
.
因此，又，所以.
（Ⅱ），
由正弦定理，知.
因为，
所以.
二．在平面向量中的应用
例4.【2010年大纲全国Ⅱ卷，理8题】在中，点在上，平分,，，，，则(
)
A.
B.
C.
D..
解：由三角形内角平分线定理可知：
,
于是
例5【2020·盐城市高三第四次模拟考试·13】在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是
．
【答案】
【分析】基底法，由于已知AB，AC的长度，应考虑以为基底.本题的关键是将向量如何用基底向量线性表示？——利用三角形内角平分线性质定理为最简途径，易求得，用“爪形”结构即可.
【解析】由角平分线定理可知
在△ABC中，由“爪形”结构得：
∵
∴，求得
∴．
【反馈1】【2021届·如皋期中】在△ABC中，AD为边BC上的高，∠BAC的平分线交BC于E，已知AB＝4，，，则＝
.
【答案】
【反馈2】已知点,,,设的平分线与相交于，如果,那么等于
解：由题意知：
由角平分线的定理知：
【反馈3】8.（2020·南师附中六月模拟·12）已知点G为的重心，点D，E，F分别为，，的中点.若，，则________.
【答案】
【解析】，
①,
，
②，
，
②①得：，所以.
三．在解析几何中的应用
例6【2011年全国Ⅱ，理15】已知分别为双曲线：的左右焦点，点在上，点,为的角平分线，则
解：，,
由三角形内角平分线定理得：
,,
点在双曲线右支上，
【反馈1】【2021·衡水中学·四调】（）已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，，且平分，则________．
【答案】
【反馈2】【2020年浙江数学竞赛】已知分别为双曲线：的左右焦点，点，为的角平分线，则点的坐标为
解：如图，，，
又为的角平分线,由三角形内角平分线定理得：
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