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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.3.3平面向量的应用举例
1.平面向量在平面几何中的应用：
(1 )证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义.
(2)证明线段平行、三角形相似，以及判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件:
a//bfalsea=falseb;若a=(false,false) ,b=(false,false),则 a//bfalsefalsefalse-falsefalse=0.
(3)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形,判断两直线(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:
a⊥bfalsea·b=0;若a=(false,false),b=(false,false),则a⊥bfalsefalsefalse+falsefalse=0.
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cosθ= false如求三角形的面 积用公式S= falseabsinC时，可利用夹角公式，
求出sinC.
2.用向量方法解决平面几何问题的‘三部曲’：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译’成几何关系.
3.平面向量在物理中的应用 ：
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法与减法相似，可以用向量知识来解决.
(2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积.
即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).
-1524029845例题分析
例题分析
例1.已知直二面角 α?l?β 的棱 l 上有 A ， B 两个点， AC?α ， AC⊥l ， BD?β ， BD⊥l ，若 AB=4 ， AC=3 ， BD=5 ，则 CD 的长是________．
【解析】CD=CA+AB+BD ，
∴|CD|=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2(CA?AB+CA?BD+AB?BD) ?由条件可知 CA⊥AB ， CA⊥BD ， AB⊥BD ，
∴|CD|=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2=9+16+25=52 .
故答案为： 52

例2.设点 O 在 △ABC 内部，且 5OA+3OB+7OC=0 ，则 △ABC 与 △AOC 的面积之比为________.
【解析】因为点 O 在 △ABC 内部，满足奔驰定理 S△BOC?OA+S△AOC?OB+S△AOB?OC=0 ，且 5OA+3OB+7OC=0 ，
所以 △ABC 与 △AOC 的面积之比为 (5+3+7):3=5:1 ，
故答案为：5:1.

-5715125095课堂小练
课堂小练
1.已知四面体 ABCD 的每条棱长都等于2，点 E ， F ， G 分别是棱 AB ， AD ， DC 的中点，则 GE?GF 等于（??? ）
A.?1??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?4??????????????????????????????????????????D.?-4
2.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C:x2+y2=9 及圆 C 内的一点 P(1,2) ，圆 C 的过点 P 的直径为 MN ，若线段 AB 是圆 C 的所有过点 P 的弦中最短的弦，则 (AM?BN)?AB 的值为（??? ）
A.?8?????????????????????????????????????????B.?16?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?43
3.设 F1 、 F2 为椭圆 x24+y2=1 的两焦点，P在椭圆上，当 △F1PF2 面积为1时， PF1·PF2 的值为（? ?）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?0
4.如图，在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中， AB+B1C1+DD1= （??? ）
A.?A1C?????????????????????????????????????B.?AC1?????????????????????????????????????C.?B1D?????????????????????????????????????D.?BD1
5.设 I 为 ΔABC 的内心，延长线段 AI 交线段 BC 于点 D ，若 CD=3DB ，则 sinB:sinC= （??? ）
A.?2:1????????????????????????????????????????B.?3:1????????????????????????????????????????C.?4:1????????????????????????????????????????D.?9:1
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 A
【解析】取BD的中点M，连接AM、CM，如图所示：
四面体 ABCD 的每条棱长都等于2，点 E ， F ， G 分别是棱 AB ， AD ， DC 的中点，
所以 GF=12AC=1,AM⊥BD,CM⊥BD ，且 AM∩CM=M ，
所以 BM⊥ 平面AMC；
又 AC? 平面 ACM ，所以 BD⊥AC
又 EF//BD ，所以 EF⊥AC ；
又 AC//FG, 所以 FG⊥EF ，
所以 GE?GF=(GF+FE)?GF=GF2+FE?GF=12+0=1 ，
故答案为：A
2.【答案】 B
【解析】由题意可知 AB⊥MN ，圆 C 的半径为 r=3 ， OP=5 ，
∴ NM·AB=0 ， AB=2r2?OP2=4 ，
∴(AM?BN)·AB=[AM?(AN?AB)]·AB=(NM+AB)·AB=NM·AB+AB2=AB2=16 ．

故答案为：B．
3.【答案】 D
【解析】设 PF1 与 PF2 的夹角为 2θ ，
因为 S△PF1F2=b2tanθ=1 ，其中 b=1 ，
则 tanθ=1 ，所以 θ=π4 .
∴∠F1PF2=π2 .
所以 PF1·PF2=0 .
故答案为：D.
4.【答案】 B
【解析】∵ DD1=BB1 ，而 AB+BB1=AB1,AB1+B1C1=AC1 ，
∴ AB+B1C1+DD1=AC1 ，
故答案为：B
5.【答案】 B
【解析】由 I 为 ΔABC 的内心，则 A?I 为 ∠CAB 的角平分线,即 ∠CAD=∠BAD

S△ACDS△ABD=12|CD|?12|BD|?=|CD||BD|=3 ?
由 S△ACDS△ABD=12|AC|?|AD|sin∠CAD12|AB|?|AD|sin∠BAD=|CA||BA|=sinBsinC=3
所以 sinB:sinC= 3:1
故答案为：B

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