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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第七章 复数
3810532765知识储备
知识储备
7.1.2复数的几何意义
1.复数的几何意义
复数z=a+bifalse.这是复数的一种几何意义.
复数的几何意义---与向量对应
复数z=a+bifalse,这是复数的另一种几何意义.
2.复数的模和共轭复数
1.向量false模叫做复数z=false,的模或绝对值，记作false或false.即false=false=false，其中a,b∈R，false表示复平面内的点Zfalse到原点的距离。
2.如果b=0，那么z=false是一个实数a，它的模就等于falsefalse.
共轭复数的定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复.虚部不等于 0的两个共轭复数，也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用false表示，即如果z=a+bi,那么false=a-bi.
特别地，实数a的共轭复数仍是a本身.
共轭复数的几何意义：互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.若复数 z 满足方程 z2+4=0 ，则 z= ________.
【解析】设 z=a+bi ，则 z2=a2?b2+2abi=?4 ，
则 {a2?b2=?4ab=0 ，解得： {a=0b=±2 ，所以 z=±2i
故答案为：±2i
例2.设复数 z 满足 |z?i|=1 ， z 在复平面内对应的点为 (x,y) 则 x ， y 满足的关系式为________.
【解析】由题意，设复数 z=x+yi(x,y∈R) ，
因为 |z?i|=1 ， 可得 x2+(y?1)2=1 ，整理得 x2+(y?1)2=1 ，
即复数 z 在复平面内对应的点为 (x,y) 则 x,y 满足的关系式为 x2+(y?1)2=1 .
故答案为： x2+(y?1)2=1 .
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.已知 z(1?2i)=i ，则下列说法正确的是（??? ）
A.?复数 z 的虚部为 i5?????????????????????????????????????????????B.?复数 z 对应的点在复平面的第二象限
C.?复数z的共轭复数 z=25?i5?????????????????????????????D.?|z|=15
2.已知复数 z 的实部为1，虚部的绝对值为3，则下列说法错误的是（??? ）
A.?z+10z 是实数???????????????????????????????????????????????????B.?z+10z<2
C.?z+10z>1????????????????????????????????????????????????????????D.?z 在复平面中所对应的点不可能在第三象限
3.下列说法中正确的是（??? ）
A.?2+i>1+i ；????????????????????????????????????????B.?虚轴上的点表示的数都是纯虚数；
C.?若一个数是实数，则其虚部不存在；???????D.?若 z=1i ，则 z3+1 对应的点在复平面内的第一象限．
4.已知i为虚数单位， z?21?i=1?i ，则关于复数z的说法正确的是（??? ）
A.?|z|=1????????????????B.?z对应复平面内的点在第三象限????????????????C.?z的虚部为 ?i????????????????D.?z+z=2
5.A ， B 是锐角三角形 ABC 的两个内角，则复数 z=(sinA?cosB)+(cosA?sinB)i 对应的点位于（?? ?）
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】由已知得 z=i1?2i=1(1+21)(1?2i)(1+2i)=?25+i5 ，所以复数z的虚部为 15 ，而不是 i5 ，A不符合题意；
在复平面内，复数z对应的点为 (?25,15) ，在第二象限，B符合题意.
z=?25?i5 ，C不符合题意；
|z|=(?25)2+(15)2=55 ，D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由复数除法求出复数 z ，然后可判断各选项．
2.【答案】 B
【解析】 ∵ 复数 z 的实部为1，虚部的绝对值为3， ∴z=1±3i ，
当 z=1+3i 时， z=1?3i,z 对应的点在第四象限，
? z+10z=1+3i+10(1?3i)(1+3i)(1?3i)=2 ，
当 z=1?3i 时， z=1+3i,z 对应的点在第一象限，
z+10z=1?3i+10(1+3i)(1?3i)(1+3i)=2 ，
所以A，C，D符合题意，B不符合题意.
故答案为：B.
【分析】由已知可得 z=1±3i ，根据复数除法运算法则，求出 z+10z ，逐项判断，即可求出结论.
3.【答案】 D
【解析】两个不全为实数的复数不能比较大小，故A错误；
原点也在虚轴上，表示实数0，故B错误；
实数的虚部为0，故C错误；
D中 z3+1=1i3+1=i+1 ，对应点在第一象限，故D正确．
故选：D．
【分析】根据复数的概念和性质逐一判断．
4.【答案】 A
【解析】已知 z?21?i=1?i ，
所以 z=(1?i)22=?i ，
所以 |z|=1 .
故答案为：A.
【分析】利用复数的乘法运算以及复数的概念以及几何意义即可求解.
5.【答案】 D
【解析】 A ， B 是锐角三角形 ABC 的两个内角，则 π2π2?B ，
A∈(0,π2) ， π2?B∈(0,π2) ，
故 sinA>sin(π2?B)=cosB ，即 sinA?cosB>0 ，
故 cosA故 z=(sinA?cosB)+(cosA?sinB)i 对应的点位于第四象限.
故答案为：D.

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