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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第七章 复数
3810532765知识储备
知识储备
7.2.1复数的加减法法则
设false=false，false=falsefalse是任意两个复数，
那么他们的和（false）+（false）=（a+c）+（b+d）i.两个复数的和仍然是一个确定的复数.
1.复数的加法运算律
对任意false，false，false∈C,有
（1）交换律：false+false=false+false
（2）结合律：（false+false）+false=false+（false+false）
2.复数的减法法则
设false=a+bi，false=c+di,(a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则false-false=（false）-（false）=（a-c）+（b-d）i.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.现新定义两个复数 z1=a1+b1i （ a1 、 b1∈R ）和 z2=a2+b2i （ a2 、 b2∈R ）之间的一个新运算 ? ，其运算法则为： z1?z2=a1a2+b1b2i .
（1）请证明新运算 ? 对于复数的加法满足分配律，即求证： z1?(z2+z3)=z1?z2+z1?z3 ；
（2）设运算 Θ 为运算 ? 的逆运算，请推导运算 Θ 的运算法则.
【解析】 （1）解：设 z3=a3+b3i （ a3 、 b3∈R ）.
左 =z1?(z2+z3)=(a1+b1i)?[(a2+a3)+(b2+b3)i]
=a1(a2+a3)+b1(b2+b3)i
=(a1a2+a1a3)+(b1b2+b1b3)i
右 =z1?z2+z1?z3=a1a2+b1b2i+a1a3+b1b3i
=(a1a2+a1a3)+(b1b2+b1b3)i
左=右，证毕.
（2）解：因为运算 Θ 为运算 ? 的逆运算，所以 z1 Θ z2 的运算结果是关于变量 z 的方程 z?z2=z1 的解.
设 z=x+yi （ x 、 y∈R ），
则 (x+yi)?(a2+b2i)=a1+b1i ，
即 xa2+yb2i=a1+b1i .
当 a1≠0 ， b1≠0 时，解得， x=a2a1 ， y=b2b1 .
∴ z=a1a2+b1b2i ，
故，当 a1≠0 ， b1≠0 时， z1 Θ z2=a1a2+b1b2i .
例2.某人在静水中游泳，速度为 43 千米/时，现在他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他沿垂直于岸边的方向游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
【解析】 （1）解：如图，设此人游泳的速度为 OB ，水流的速度为 OA ，
以OA，OB为邻边作 ? QACB，则此人的实际速度为 OA+OB=OC ，
由勾股定理知 |OC|=8 ，且在 RtΔACO 中，∠COA=60°，
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时
（2）解：如图，设此人的实际速度为 OD ，水流速度为 OA ，则游速为 AD=OD?OA ，
在Rt△AOD中， |AD|=43 ， |OA|=4 ，则 |OD|=42 ， cos∠DAO=33 ，
故此人沿向量 AD 的方向逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为 33 游，实际前进的速度大小为 42 千米/时
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.在复平面内，O是原点， OA,OC,AB 对应的复数分别为－2＋i，3＋2i, 1＋5i，那么 BC 对应的复数为(?? )
A.?4＋7i??????????????????????????????????B.?1＋3i??????????????????????????????????C.?4－4i??????????????????????????????????D.?－1＋6i
2.已知 OA=(5,?1),OB=(3,2) ， AB 对应的复数为 z ，则 z= （??? ）
A.?5?i????????????????????????????????B.?3+2i????????????????????????????????C.??2+3i????????????????????????????????D.??2?3i
3.向量 OZ1 对应的复数是5－4i，向量 OZ2 对应的复数是－5＋4i，则 OZ1 ＋ OZ2 对应的复数是( ??)
A.?－10＋8i??????????????????????????????????B.?10－8i??????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????D.?10＋8i
4.在 △ABC 中，已知 AB=4 ， AC=6 ， ∠BAC=60° ，点 D ， E 分别在边 AB ， AC 上，且 AB=2AD ， AC=3AE ，点 F 为 DE 中点，则 BF?DE 的值为（??? ）
A.?2???????????????????????????????????????????B.?3???????????????????????????????????????????C.?4???????????????????????????????????????????D.?5
5.如图，在半径为2的扇形 AOB 中， ∠AOB=3π4 ， P 是弧 AB 上的一个三等分点， M,N 分别是线段 OA ， OB 上的动点，则 PM?PN 的最大值为（??? ）
A.?2?????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????????D.?42
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 C
【解析】 BC=BA+AO+OC=?AB?OA+OC
=?1?5i?(?2+i)+3+2i=4?4i ，
故答案为：C.
2.【答案】 D
【解析】由题可知 AB=(?2,3) ，
故 AB 对应的复数为 z=?2+3i ，
则 z=?2?3i ，
故答案为：D.
3.【答案】 C
【解析】由题意可知 OZ1 ＝(5，－4)， OZ2 ＝(－5,4)，
∴ OZ1 ＋ OZ2 ＝(5，－4)＋(－5,4)＝(5－5，－4＋4)＝(0,0)．
∴ OZ1 ＋ OZ2 对应的复数是0.
故答案为:C.
4.【答案】 C
【解析】 BF?DE=(BD+DF)?(DA+AE)=(?12AB+12DE)?(?12AB+13AC)
=(?12AB?14AB+16AC)?(?12AB+13AC)=(?34AB+16AC)?(?12AB+13AC)
=38AB→2+118AC→2?13AB→?AC→=38×16+118×36?13×4×6×12=6+2?4=4。
故答案为：C．
5.【答案】 C
【解析】解析： ∠AOB=3π4 ， P 是弧 AB 上的一个三等分点，故 ∠POB=π2 ， ∠POA=π4 ，
PM?PN=(PO+OM)?(PO+ON)=PO2+PO?ON+PO?OM+OM?ON =4+0+2?|OM|cos3π4+|OM||ON|cos3π4=4?22|OM|?(2+|ON|)≤4
故当 |OM|=0 时， PM?PN 取最大值4，
故答案为：C。

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