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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第六章 平面向量及其应用
3810532765知识储备
知识储备
6.1.2平面向量的实际背景
零向量：长度(或模)为0的向量叫作零向量，记作0,零向量的方向是任意的.
单位向量：长度(或模)等于1个单位的向量，叫作单位向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫作平行向量.向量a,b平行，通常记作a//b.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫作相等向量.向量a与b相等，记作a=b.
共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.已知 a 与 b 是两个互相垂直的单位向量，若向量 ka+b 与向量 a?b 垂直，则实数 k =________.
【解析】因为向量 ka+b 与向量 a?b 垂直，
所以 (ka+b)?(a?b)=0 ，
所以 ka2+(1?k)a?b?b2=0 ，
因为 a 与 b 是两个互相垂直的单位向量，
所以 a?b=0 且 |a|=|b|=1 ，
所以 k?1=0 ，解得 k=1 .
故答案为：1

例2.对下列命题：（1）若向量 a 与 b 同向，且 |a|>|b| ，则 a>b ；（2）若向量 |a|=|b| ，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量 |a|=|b| ，若 a 与 b 的方向相同，则 a=b ；（4）由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行；（5）向量 a 与 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________
【解析】⑴向量不可比较大小，故（1）错误；
⑵向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误；
⑶当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；
⑷ 0 与任意向量平行，故（4）错误；
⑸若 a 与 b 有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.
故正确的命题个数为 1 .
故答案为：1.
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.下列命题中，正确命题的个数是(??? )
①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量 a 共线的单位向量是 a|a| .
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
2.与向量 a=(?1,?2,2) 共线的单位向量是（??? ）
A.?(?13,?23,23) 或 (13,23,?23)??????????????????????B.?(?13,?23,23)
C.?(13,23,?23)????????????????????????????????????????????????????? D.?(?13,?23,?23) 或 (13,23,?23)
3.已知向量 a=(1,?2) ，则与 a 平行的单位向量的坐标为（??? ）
A.?(?255,55)?????????????????????????????????????????????????B.?(?255,55) 或 (255,?55)
C.?(55,?255)?????????????????????????????????????????????????D.?(55,?255) 或 (?55,255)
4.下列说法正确的个数为（??? ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量 a 共线的单位向量不唯一
A.?0???????????????????????????????????????????B.?1???????????????????????????????????????????C.?2???????????????????????????????????????????D.?3
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 A
【解析】因为不同的单位向量的方向可能不相同，所以①错误；
相反向量的长度相等，但方向相反，则②错误；
因为共线的单位向量方向可能相反，所以它们不一定相等，则③错误；
与非零向量 a 共线的单位向量是 a|a| 或 ?a|a| ，则④错误；
故答案为：A
【分析】根据单位向量，相等向量，共线向量的定义进行判断即可.
2.【答案】 A
【解析】解：∵向量 a=(?1,?2,2) 的模为 |a|=1+4+4=3 ，
故与向量 a=(?1,?2,2) 共线的单位向量是 ±a|a| ，
即 a|a|=(?13,?23,23) 或 ?a|a|=(13,23,?23) .
故答案为：A.
【分析】求出 a=(?1,?2,2) 的 |a| ，再由与 a 共线的单位向量是 ±a|a| ，求出结果.
3.【答案】 D
【解析】由已知 |a|=12+(?2)2=5 ，所以与 a 平行的单位向量为 a|a| =(55,?255) 或 ?a|a|=(?55,255) ．
故答案为：D．
【分析】由单位向量的定义，计算 ±a|a| ，即得．
4.【答案】 B
【解析】零向量的方向是任意的，故①错；向量的模是非负数，故②错；
与非零向量 a 共线的单位向量不唯一，分别是 ±a|a| ，故③正确.
故答案为：B.

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