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差比数列
高考数列问题中以等差、等比数列为主要命题方向，题目难易都是围绕着两个特殊数列进行命制。前几年一般选填以性质为主，解答以计算为主，最近几年的命题特点明显改变，考查灵活多变，多以分析推理归纳为主，而不是再简单套用计算，体现考查了学生的学科综合素养，落实了四层四翼的育人原则。
下面以最近十年的数列问题进行逐一展示。
差比定义
等差、等比的定义是最基础也是最核心的知识，往往被学生忽视定义，试题中出现类似定义的形式，就需要考虑是不是差比数列，即便不是也有着千丝万缕的关系，不可忽视最基础的问题。题目没有指明差比数列，我们的第一反应也是去考虑是不是与差比数列有关联，有时问题就会迎刃而解。
1.直接证明型
例1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
跟踪：
(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
2.
需判断证明型
例2．（1）(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
（2）(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则
．
跟踪：1.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
(　　)
(　　)
A．3699块
B．3474块
C．3402块
D．3339块
2.(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
3.类差比型（转化求解）
例3
(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为
跟踪：
(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
基本量运算
应用性质，简化计算（现在是非主流方向，淡化技巧运算）
(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
跟踪：
(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为(　　)
A．
B．
C．
D．
2.差比基本量运算（主流方向）
例5
（1）(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)记为等差数列{an}的前n项和，，则
___________．
（2）(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
跟踪：
1.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等比数列的前项和．若，，则
．
2．
(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则
(　　)
A．
B．
C．
D．
3．差比混合型（常以等差（比）中项出现）
例6
(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
跟踪：(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　)
A．
B．
C．
D．
三.差比数列求最值（函数单调或基本不等式）
例7
(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
跟踪：(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设等比数列满足，，则的最大值为
．
课后巩固：
1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则(　　)
(A)100
(B)99
(C)98
(D)97
2．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，，则(　　)
A．21
B．42
C．63
D．84
3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
4．(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为________．
5．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则(　　)
(A)100
(B)99
(C)98
(D)97
6．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
8．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
求和的通项公式．
10．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若,求.
11．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)为数列的前项和．已知
(Ⅰ)求的通项公式：
12．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
已知数列满足=1，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；
13.(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．
(1)证明:;
(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．
14．（2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
(1)或；(2)
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差比数列
高考数列问题中以等差、等比数列为主要命题方向，题目难易都是围绕着两个特殊数列进行命制。前几年一般选填以性质为主，解答以计算为主，最近几年的命题特点明显改变，考查灵活多变，多以分析推理归纳为主，而不是再简单套用计算，体现考查了学生的学科综合素养，落实了四层四翼的育人原则。
下面以最近十年的数列问题进行逐一展示。
差比定义
等差、等比的定义是最基础也是最核心的知识，往往被学生忽视定义，试题中出现类似定义的形式，就需要考虑是不是差比数列，即便不是也有着千丝万缕的关系，不可忽视最基础的问题。题目没有指明差比数列，我们的第一反应也是去考虑是不是与差比数列有关联，有时问题就会迎刃而解。
1.直接证明型
例1．(2021年高考全国乙卷理科)记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
(1)证明：数列是等差数列;
【解析】由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
跟踪：
(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
【解析】由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列．
2.
需判断证明型
例2．（1）(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则
(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
解析：在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．
故选：C．
（2）(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则
．
【答案】
解析：为数列的前项和．若，①
当时，，解得，
当时，，②，
由①﹣②可得，
∴，
∴是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
跟踪：1.(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3699块
B．3474块
C．3402块
D．3339块
【答案】C
解析：设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以．
故选：C
2.(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
【答案】
解析:当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．
3.类差比型（转化求解）
例3
(2012高考数学新课标理科)数列满足，则的前60项和为
【答案】1830
解析：由得，
……①
……②,
再由②—①得
……③
由①得
由③得,
∴．
跟踪：
(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
解析：（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立．
那么时，也成立．
则对任意的，都有成立；
基本量运算
应用性质，简化计算（现在是非主流方向，淡化技巧运算）
(2012高考数学新课标理科)已知为等比数列，，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：∵①，由等比数列的性质可得，②
①、②联立方程组解得：=4，=-2或=-2，=4
当=4，=-2时，q3=，
∴=-8，=1，
∴+=-7
当=-2，=4时，q3=-2，则=-8，=1
∴+=-7
跟踪：
(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】法一：（基本量法）设公差为,,,联立解得,故选C．
法二:（性质法）因为,即,则,即,解得,故选C．
2.差比基本量运算（主流方向）
例5
（1）(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)记为等差数列{an}的前n项和，，则
___________．
【答案】4．
【解析】因，所以，即，所以．
（2）(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(　　)
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列的公比为，则，解得，，故选C．
另解：数感好的话由，立即会想到数列：，检验是否满足，可以迅速得出．
跟踪：
1.(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等比数列的前项和．若，，则
．
【答案】
解析：由，得，所以，又因为，所以，．
2．
(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．已知，，则(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：，
所以，故选A．
3．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为等差数列的前项和，,．则(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：∵为等差数列的前项和，，，∴，把，代入得∴，故选B．
3．差比混合型（常以等差（比）中项出现）
例6
(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
(1)求的公比；
【解析】（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
跟踪：(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】
A
【解析】数列的首项，设公差为，则由成等比数列可得，所以，即，整理可得，因为，所以，所以，故选A．
三.差比数列求最值（函数单调或基本不等式）
例7
(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值．
【解析】（1）设的公差为，由题意得．
由得，所以的通项公式为．
（2）由（1）得．
所以当时，取得最小值，最小值为．
跟踪：(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设等比数列满足，，则的最大值为
．
【答案】64
【解析】由于是等比数列，设，其中是首项，是公比．
∴，解得：．
故，∴
当或时，取到最小值，此时取到最大值．
所以的最大值为64．
课后巩固：
1．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则
(　　)
(A)100
(B)99
(C)98
(D)97
【答案】C
【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．
2．(2015高考数学新课标2理科)已知等比数列满足，，则(　　)
A．21
B．42
C．63
D．84
【答案】B
解析：设等比数列公比为，则，又因为，所以，解得，所以，故选B．
3．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】
C
【解析】设公差为,,,联立解得,故选C．
秒杀解析:因为,即,则,即,解得,故选C．
4．(2013高考数学新课标2理科)等差数列的前n项和为，已知，则的最小值为________．
【答案】－49
解析：由已知解得
，
由函数的单调性知，∴的最小值为－49．
5．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知等差数列前9项的和为27，，则(　　)
(A)100
(B)99
(C)98
(D)97
【答案】C
【解析】由等差数列性质可知：，故，而，因此公差∴．故选C．
6．(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
【答案】
解析：由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
7．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)
A．1盏
B．3盏
C．5盏
D．9盏
【答案】
B
【解析】解法一：常规解法
一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即
，塔的顶层为；由等比前项和可知：，解得
．
解法二：边界效应
等比数列为递增数列，则有，∴，解得，∴
．
【知识拓展】数列属于高考必考考点，一般占10分或12分，即两道小题或一道大题，其中必
有一道小题属于基础题，一道中档偏上题或压轴题，大题在17题出现，属于基础题型，高考所
占分值较大，在高中教学中列为重点讲解内容，也是大部分学生的难点，主要是平时教学题型难
度严重偏离高考考试难度，以及研究题型偏离命题方向，希望能引起注意；考试主线非常明晰，
8．(2021年高考全国甲卷理科)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选①②作条件证明③：
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列．
选②③作条件证明①：
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去．
综上可知为等差数列．
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知数列和满足，，，．
证明：是等比数列，是等差数列；
求和的通项公式．
【答案】见解析；，.
【官方解析】
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为，所以是首项为，公差为的等差数列．
由知，，．
所以，
．
10．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若,求.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得.
11．(2015高考数学新课标1理科)(本小题满分12分)为数列的前项和．已知
(Ⅰ)求的通项公式：
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
分析：（Ⅰ）先用数列第项与前项和的关系求出数列{}的递推公式，可以判断数列{}是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{}的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{}的通项公式，再用拆项消去法求其前项和．
解析：（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
12．(2014高考数学课标2理科)(本小题满分12分)
已知数列满足=1，．
(Ⅰ)证明是等比数列，并求的通项公式；
【解析】（Ⅰ）由，得，且
所以是首相为，公比为的等比数列。
因此，所以的通项公式为．
13.(2014高考数学课标1理科)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．
(1)证明:;
(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．
【解析】
(1)由题设,,两式相减
,由于,所以．
(2)由题设,,可得,由(1)知
假设为等差数列,则成等差数列,∴,解得;
证明时,为等差数列:由知
数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列
令则,∴
数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列
令则,∴
∴(),
因此,存在存在,使得为等差数列．
14．（2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)记为的前项和，若，求．
(1)或；(2)
【官方解析】（1）设的公比为，由题设得
由已知得，解得（舍去），或
故或
（2）若，则，由，得，此方和没有正整数解
若，则，由，得，解得
综上，．
【民间解析】（1）设等比数列的公比为，由，可得，所以
所以
当时，；当时，
（2）由（1）可知
当时，由即，即，所以；
当时，由即，即，无解
综上可知．
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