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第二十二章
二次函数
22.2
二次函数与一元二次方程
基础夯实练
01
二次函数与一元二次方程的关系及运用
1.(易错题)抛物线y＝(k－1)x2－x+1与x轴有交点,则k的取值范围是
(
)
A.k≠1
B.k≤
C.k<,且k≠1
D.k≤且k≠1
2.已知二次函数y＝ax2+2ax－3的部分图像如图,由图像可知关于x的一元二次方程ax2+2ax－3＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝
(
)
A.－1.3
B.－2.3
C.－0.3
D.－3.3
3.关于二次函数y＝x2+2x－8,下列说法正确的是
(
)
A.图像的对称轴在y轴的右侧
B.图像与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图像与x轴的交点坐标为(－2,0)和(4,0)
D.y的最小值为－9
4.(易错题)若函数y＝(a－1)x2－4x+2a的图像与x轴有且只有一个交点,则a的值为________
5.利用图像解一元二次方程x2－2x－1＝0时,我们采用的一种方法是在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x+1,两图像交点的横坐标就是该方程的解.
(1)请再给出一种利用图像求方程x2－2x－1＝0的解的方法；
(2)已知函数y＝x3的图像(如图),求方程x3－x－2＝0的解.(精确到0.1)
02
二次函数与不等式的关系及运用
6.抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图,其与x轴的一个交点的坐标为(－3,0),对称轴为直线x＝－1,则不等式ax2+bx+c<0的解集为
(
)
A.－3B.x>－3
C.x<1
D.x<－3或x>1
7.抛物线y1＝－x2+4x和直线y2＝2x的图像如图,那么不等式y1>y2的解集是
(
)
A.x<0
B.0C.0D.28.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与y轴交于点A(0,2),且经过点B(4,2),则不等式ax2+bx+c>2的解集为________
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图,根据图像解答下列问题:
(1)直接写出方程ax2+bx+c=2的根；
(2)直接写出不等式ax2+bx+c<0的解集
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10.抛物线y=x2+bx+3的对称轴1为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1(
)
A.2≤t<11
B.t≥2
C.6D.2≤t<6
11.抛物线y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(－4,0)两点,有下列四个结论:
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2,x2＝－4；
②若点C(－5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1③对于任意实数t,总有at2+bt≤a－b；
④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c＝p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个其中,正确的结论是________(填写序号)
12.已知关于x的方程x2－(2k－3)x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1,x2
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1<0,x2<0；
(3)若抛物线y＝x2－(2k－3)x+k2+1与x轴交于A,B两点,点A、点B到原点的距离分别为OA,OB,且OA+OB＝2OA·OB－3,求k的值
13.已知抛物线y＝x2,直线y＝(k+2)x－(2k－1)
(1)求证:无论k为什么实数,该抛物线与直线恒有两个交点
(2)设两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若x1,x2均为整数,求k的值
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14.(核心素养·直观想象)如图,抛物线y＝x2－7x+与x轴交于点A,B,把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1,将C1向左平移得到C2,C2与x轴交于点B,D,若直线y＝x+m与C1,C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是
(
)
A.－B.－C.－D.－15.某班数学兴趣小组对函数y＝|x2－2x|的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整:
(1)自变量x取全体实数,x与y的几组对应值列表如下:
其中m＝________
(2)根据上表数据,在如图的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图像的一部分,请画出该函数图像的另一部分
(3)观察函数图像,写出函数的一条性质:________________________________。
(4)进一步探究函数图像解决问题:
①方程＝有________个实数根；
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y＝－x+1,根据图像写出方程|x2－2x|＝－x+1的一个正数根约
为________(精确到0.1)
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《参考答案及解析》
22.2
二次函数与一元二次方程
1.D【解析】抛物线y＝(k－1)x2－x+1与x轴有交点,∴△＝(－1)2－4×(k－1)×1≥0,且k－1≠0,解得k≤且k≠1.故选D.
【易错总结】求字母参数的取值范围时易忽略二次函数y＝bx+c的隐含条件a≠0
当已知二次函数与x轴的交点情况确定字母参数的取值范围时,不仅要考虑△与0的大小关系,还要注意二次函数y＝ax2+bx+c的隐含条件a≠0.
2.D【解析】易知二次函数y＝ax2+2ax－3的图像的对称轴是直线x＝－1.由x1与x2对应的点关于对称轴对称,结合图像可得1.3－(－1)＝－1－x2,解得x2＝－3.3.故选D.
3.D【解析】二次函数y＝x2+2x－8＝(x+12－9＝(x－2)(x+4),∴该函数图像的对称轴是直线x＝－1,在y轴的左侧,选项A错误；当x＝0时,y＝－8,即该函数图像与y轴交于点(0,－),选项B错误；当y＝0时,(x－2)(x+4)＝0,解得x＝2或x＝－4,即该函数图像与x轴的交点坐标为(2,0)和(－4,0),选项C错误；当x＝－1时,该函数取得最小值y＝－9,选项D正确.故选D.
4.－1或1或2【解析】函数y＝(a－1)x2－4+2a的图像与x轴有且只有一个交点,∴分两种情况讨论:(1)当函数为二次函数时,△＝16－4(a－1)·2a＝0,且a－1≠0,解得a＝－1或a＝2；(2)当函数为一次函数时,a－1＝0,解得a＝1.综上可得,a的值为－1或1或2
【易错总结】对含字母系数的函数问题考虑不全面而致错
当题干未明确函数是否为二次函数时应对字母系数的取值范围进行讨论,在解题过程中,容易主观地认为函数y＝ax2+bx+为二次函数,而忽略函数为一次函数的情况
5.解：(1)答案不唯一,如在平面直
角坐标系中画出抛物线y＝x2－1和直线y＝2x,其交点的横坐标就是方程x2－2x－1＝0的解
(2)如答图,直线y＝x+2与函数y＝x的图像交于点B,得点B的横坐标x≈1.5,∴方程的近似解为x≈1.5.
6.A【解析】抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点的坐标为(－3,0),对称轴为直线x＝－1,∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(1,0).由图像可知,当y<0时,x的取值范围是－37.C【解析】由题图可知,抛物线y1＝x2+4x和直线y2＝2x的交点的坐标为(0,0),(2,4),根据抛物线在直线上方部分的x的取值范围得出不等式y1>y2的解集是08.02的解集为09.解：(1)方程ax2+bx+c＝2的根为x1＝x2＝2.
(2)不等式ax2+bx+c<0的解集为x<1或x>3.
10.A【解析】抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1,∴b＝－2,∴抛物线的解析式为y＝x2－2x+3,∴一元二次方程x2+bx+3－t＝0的实数根可以看成抛物线y＝x2－2x+3与直线y＝t的交点的横坐标.∵方程x2+bx+3－t＝0在－111.①③【解析】抛物线y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(－4,0)两点,∴一元二次方程a2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝2,x2＝－4,①正确∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝－1.∵a<0,∴抛物线的开口向下.又∵点C(－5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,∴y1>y2,②错误.当x＝－1时,函数取得最大值,最大值为a－b+c∴对于任意实数t,总有at2+bt+c≤a－b+c,即对于任意实数t,总有at2+bt≤a－b,③正确.对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c＝p(p为常数,p>0)的根为整数,则两个根分别为－3和1或－2和0或－1和－1,∴p的值有三个,④错误
12.解：(1)由题意可知,△＝[－(2k－3)]2－4(k2+1)>0,即－12k+5>0,∴k<
(2)∵,.x1<0,x2<0.
(3)依题意,设A(x1,0),B(x2,0)
∴OA+OB＝|x1|+|x2|＝－(x1+x2)＝－(2k－3),
OA·OB＝|x1|·|x2|＝
x1x2＝k2+1
∵OA+OB＝2OA·OB－3,∴－(2k－3)＝2(k2+1)－3,解得k1＝1,k2＝－2.
∵k<,∴k＝－2.
13.(1)证明：当x2＝(k+2)x－(2k－1)时,x2－(k+2)x+(2k－1)＝0,
∴b2－4ac＝(k+2)2－4(2k－1)＝k2－4k+8＝(k－2)2+4.
∵(k－2)2≥0,∴(k－2)2+4>0,
∴方程x2＝(k+2)x－(2k－1)总有两个不相等的实数根.
∴无论k为什么实数,该抛物线与直线恒有两个交点
(2)解∵x2－(k+2)x+(2k－1)＝0,且x1,x2均为整数,
∴x1+x2＝k+2,x1·x2＝2k－1都是整数,
∴k也为整数,(k－2)2+4也是整数且是完全平方数,∴(k－2)2+4＝4,∴解得k＝2.
【方法解读】此题要证明“无论k为什么实数,该抛物线与直线恒有两个交点”,只需证明b2－4ac的值大于0
14.c【解析】抛物线y＝－x2－7x+与x轴交于点A,B∴B(5,0),A(9,0),∴将C1向左平移4个单位长度后得到C2的解析式为y＝(x－3)2－2.∵当直线y＝x+m经过点B时,有2个交点,∴0＝+m,解得m＝－。∵当直线y＝x+m与抛物线C2相切时,有2个交点,x+m＝(x－3)2－2.整理,得x2－7x+5－2m＝0.∴△＝49－20+8m＝0,∴m＝－.如答图.∵若直线y＝x+m与C1,C2共有3个不同的交点,∴－【核心素养解读】此题主要体现了“直观想象”和“数学建模”的核心素养.求解过程的前半部分主要体现了“直观想象”的素养,对直线与抛物线交点的各种情况分别进行讨论分析,引导思维纵向发展,从而得到直线与C1,C2有两个交点时的情况,这个过程需要借助图形观察、分析、猜想；求解过程的后半部分是在前面直观想象的基础上构建方程(组)模型解决问题,是思维由感性向理性的升华
15.解：(1)1.25.
(2)如答图
(3)答案不唯一,如当x>2时,y随x的增大而增大
(4)①4.
②画出的直线y＝－x+1如答图
0.4.
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精品试卷·第
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