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不等关系与不等式
一、单选题
1．(2021·河北承德第一中学月考)下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则<
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，cb－d
D．若a>b，c>d，则ac>bd
2．已知a，b，c均为实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a2>b2　　
B．<
C．ln
2a2b　　
D．ac2>bc2
3．(2021·重庆南开中学月考)已知a，b均为实数，则下列说法一定成立的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ab>cd
B．若>，则aC．若cD．若|a|0
4．(2021·安徽六安省示范高中质量检测)已知实数a，b，c满足aA．>　　
B．a(c－b)<0
C．ac2>bc2　　
D．ab(b－a)>0
5．(2021·陕西西安中学月考)若bA．|b|<|c|　　
B．2b>2c
C．lg(c－b)<0　　
D．b3－c3<0
6．(2021·河南南阳统考)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
A．P≤Q　　
B．PC．P≥Q　　
D．P>Q
7．(2021·辽宁丹东阶段测试)已知a，b都是正数，则“loga33b>3”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．(2021·河北“五个一名校联盟”诊断)若p>1，0A．>1　　
B．<
C．m－pD．logmp>lognp
9．(2021·河南郑州重点高中期中联考)已知0A．aa　　
B．ab
C．ba　　
D．bb
10．(2021·福建厦门质量检查)已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　　)
A．xB．zC．zD．y二、多选题
11．(2021·山东夏津一中月考)若<<0，则下列结论不正确的是(　　)
A．a2>b2　　
B．abC.＋>2　　
D．|a|＋|b|>|a＋b|
12．(2020·山东潍坊二模)若a0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a－>b－　　
B．a－C．ln(b－a)>0　　
D．>
13．(2021·山东临沂质检)已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　)
A．ab>ac　　
B．abc<0
C．a2cD．ac(a－c)<0
14．(2021·四川绵阳诊断改编)若bA．>　　
B．ab>a2
C．|a|＋|b|>|a＋b|　　
D．>
15．已知下列四个结论正确的是(　　)
A．a>b?ac>bc
B．a>b?<
C．a>b>0，c>d>0?>
D．a>b>1，c<0?ac三、填空题
16．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有
．
17．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是
．
四、解答题
18．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
19．已知－1参考答案：
一、单选题
1．(2021·河北承德第一中学月考)下列命题正确的是(　C　)
A．若a>b，则<
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，cb－d
D．若a>b，c>d，则ac>bd
[解析]　本题考查不等式的性质．对于A，若a>b，则<，取a＝1，b＝－1不成立；对于B，若a>b，则a2>b2，取a＝0，b＝－1不成立；对于C，若a>b，cb－d，正确；对于D，若a>b，c>d，则ac>bd，即a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2不成立．故选C.
2．已知a，b，c均为实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　C　)
A．a2>b2　　
B．<
C．ln
2a2b　　
D．ac2>bc2
[解析]　∵a，b，c∈R，且a>b，不妨，令a＝1，b＝－1，则12＝(－1)2，可排除A；>＝－1，可排除B；1×02＝(－1)×02＝0，可排除D；对于C，当a>b时，由指数函数y＝2x的单调递增的性质可知，2a>2b，又因为对数函数y＝ln
x在(0，＋∞)上单调递增，所以ln
2a>ln
2b成立，故C正确．
3．(2021·重庆南开中学月考)已知a，b均为实数，则下列说法一定成立的是(　D　)
A．若a>b，c>d，则ab>cd
B．若>，则aC．若cD．若|a|0
[解析]　本题考查不等式的性质与不等关系．A项，不妨令a＝－1，b＝－2，c＝4，d＝1，显然满足a>b，c>d，但不满足ab>cd，故A不成立；B项，不妨令a＝1，b＝－1，显然满足>，但不满足a0，又因为b0，即b>±a，所以a＋b>0，故D一定成立．故选D.
[关键点拨]　本题要选择的是一定成立的，因而对于不成立的选项，不必证明，只要找到反例即可．
4．(2021·安徽六安省示范高中质量检测)已知实数a，b，c满足aA．>　　
B．a(c－b)<0
C．ac2>bc2　　
D．ab(b－a)>0
[解析]　本题考查不等式的性质．因为a0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则<，ac25．(2021·陕西西安中学月考)若bA．|b|<|c|　　
B．2b>2c
C．lg(c－b)<0　　
D．b3－c3<0
[解析]　本题考查不等式的性质，函数的单调性．A项，当b|c|，A错误；B项，因为b0，C错误；D项，因为b6．(2021·河南南阳统考)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　A　)
A．P≤Q　　
B．PC．P≥Q　　
D．P>Q
[解析]　不妨取a＝b＝，则P－Q＝(x＋y)2－x2－y2＝－(x－y)2≤0，∴P≤Q，故选A.
7．(2021·辽宁丹东阶段测试)已知a，b都是正数，则“loga33b>3”的(　B　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　本题考查充分条件、必要条件的判断，不等式的性质，由loga3b>1，由3a>3b>3，得a>b>1，∴“loga33b>3”的必要不充分条件．故选B.
[方法总结]　充分条件、必要条件的判定
(1)定义法：p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
(2)集合法：A?B，A是B的充分条件，B是A的必要条件；
(3)命题法：原命题成立，即若p则q真，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
8．(2021·河北“五个一名校联盟”诊断)若p>1，0A．>1　　
B．<
C．m－pD．logmp>lognp
[解析]　对于选项A，由01，所以0<<1，故A不正确；对于选项B，由于p－m>0，p－n>0，所以<等价于n(p－m)n－p，故C不正确：对于选项D，结合对数函数的图象可得当p>1，0lognp，故D正确．故选D.
9．(2021·河南郑州重点高中期中联考)已知0A．aa　　
B．ab
C．ba　　
D．bb
[解析]　∵0aa>ab，且ba>bb，
∴最大的是ba，故选C.
10．(2021·福建厦门质量检查)已知a>b>0，x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，则(　A　)
A．xB．zC．zD．y[解析]　∵x＝a＋beb，y＝b＋aea，z＝b＋aeb，
∴y－z＝a(ea－eb)，又a>b>0，e>1，
∴ea>eb，∴y>z，
z－x＝(b－a)＋(a－b)eb＝(a－b)(eb－1)，
又a>b>0，eb>1，∴z>x.综上，x二、多选题
11．(多选题)(2021·山东夏津一中月考)若<<0，则下列结论不正确的是(　AD　)
A．a2>b2　　
B．abC.＋>2　　
D．|a|＋|b|>|a＋b|
12．(多选题)(2020·山东潍坊二模)若a0，则下列不等式中一定成立的是(　BD　)
A．a－>b－　　
B．a－C．ln(b－a)>0　　
D．>
[解析]　本题考查利用函数的性质及不等式的性质比较大小．由函数f(x)＝x－在(－∞，－1)上为增函数可知，当a0，但不确定b－a与1的大小关系，故ln(b－a)与0的大小关系也不确定，故C错误；由a1，0<<1，而c>0，则>1>>0，故D正确．故选BD.
13．(2021·山东临沂质检)已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　BC　)
A．ab>ac　　
B．abc<0
C．a2cD．ac(a－c)<0
[解析]　∵a>b>c且ac<0，
∴a>0，c<0，a－b>0，a－c>0，
∴ab>ac，ac(a－c)<0，
∴选项A，D正确．故选B、C.
14．(2021·四川绵阳诊断改编)若bA．>　　
B．ab>a2
C．|a|＋|b|>|a＋b|　　
D．>
[解析]　对于A：－＝<0，故A不正确．对于B：∵a<0，∴ab>a2.正确．对于C：取b＝－2，a＝－1，显然b|a＋b|错，故C不正确．对于D：y＝为增函数，所以>正确．故选B、D.
15．已知下列四个结论正确的是(　CD　)
A．a>b?ac>bc
B．a>b?<
C．a>b>0，c>d>0?>
D．a>b>1，c<0?ac[解析]　当c＝0时，A不正确．当a>0>b时，B不正确．由于c>d>0，所以>>0，又a>b>0，所以>>0，C正确．易知函数y＝xα(α<0)在(0，＋∞)上单调递减，由于a>b>1，c<0，故ac三、填空题
16．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有
①②④
．
[解析]　运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，
②④正确．又正数大于负数，①正确，③错误．
17．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是
．
[解析]　∵0<α<，∴0<2α<π.又0≤β≤，
∴－≤－≤0.∴－<2α－<π，
即2α－∈.
四、解答题
18．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原票、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．
[解析]　设该单位职工有n人(n∈N
)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，
则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝nx.
所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.
当n＝5时，y1＝y2；当n>5时，y1y2.
因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．
19．已知－1[解析]　解法一：(待定系数法)：设2x－3y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，
则?
从而2x－3y＝－(x＋y)＋(x－y)，
又由已知得－2<－(x＋y)<，5<(x－y)<，
∴3<－(x＋y)＋(x－y)<8，即z∈(3，8)．
解法二：(线性规划法)：－1当目标函数z＝2x－3y经过点A时，z取值3，当z＝2x－3y经过点B时，z取值8，故z∈(3，8)．

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