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一元二次不等式及其解法
一、单选题
1．(2021·重庆一中期中)“2A．充分不必要条件　　
B．必要不充分条件
C．充要条件　　
D．既不充分也不必要条件
2．(2021·衡水中学调研卷)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为(　　)
A．2　　
B．3
C．7　　
D．8
3．(2021·山东临沂质检)函数y＝ln(2x＋1)＋的定义域为(　　)
A．　　
B．
C.　　
D．
4．(2021·湖南长沙雅礼中学月考)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)·(x－3)>0的解集是(　C　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1，3)
C．(－1，3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
5．(2021·山东枣庄三中学情调查)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于(　　)
A．－28　　
B．－26
C．28　　
D．26
6．(2021·山东淄博模拟)若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是(　)
A．(－∞，1)　　
B．(－∞，1]
C．(－1，1)　　
D．(－1，1]
7．(2021·广东广州期末)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－28．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是(　　)
A．(－3，5)　　
B．(－2，4)
C．[－3，5]　　
D．[－2，4]
9．(2021·江西南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(　　)
A．(0，1)　　
B．(－2，1)
C．(－2，0)　　
D．(－，)
二、多选题
10．(2021·山东洛阳一中月考题)不等式x2－2x－3≥3a－a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围可以为(　　)
A．(－∞，－1]　　
B．[－1，4]
C．[4，＋∞)　　
D．[－2，5]
11．下列四个解不等式，正确的有(　　)
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
12．(2021·山东聊城期末)若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是(　　)
A．－8　　
B．－5　　
C．1　　
D．4
三、填空题
13．(2021·山西大同一中模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)．
14．不等式－x2－3x＋4>0的解集为
．
15．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是
．
16．(2021·四川泸县四中线上月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2．
17．(2021·江西八校联考)已知f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是
．
四、解答题
18．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
19．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为?，求k的取值范围．
20．(2021·河北正定中学月考)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式，f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
参考答案：
一、单选题
1．(2021·重庆一中期中)“2A．充分不必要条件　　
B．必要不充分条件
C．充要条件　　
D．既不充分也不必要条件
[解析]　方程表示双曲线?(m－2)(6－m)>0?(m－2)(m－6)<0?22．(2021·衡水中学调研卷)已知A＝{x|x2－3x－4≤0，x∈N}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的真子集个数为(　B　)
A．2　　
B．3
C．7　　
D．8
[解析]　A＝{x|(x－4)(x＋1)≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤4，x∈N}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|(2x＋3)(x－2)>0，x∈Z}＝，∴A∩B＝{3，4}，其真子集个数为22－1＝3.
3．(2021·山东临沂质检)函数y＝ln(2x＋1)＋的定义域为(　B　)
A．　　
B．
C.　　
D．
[解析]　由题意可知：解得－4．(2021·湖南长沙雅礼中学月考)关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)·(x－3)>0的解集是(　C　)
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
B．(1，3)
C．(－1，3)
D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
[解析]　本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的求解．
关于x的不等式ax－b<0，即ax0，可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－15．(2021·山东枣庄三中学情调查)若不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab等于(　C　)
A．－28　　
B．－26
C．28　　
D．26
[解析]　本题考查根据一元二次不等式的解集求参数．∵不等式ax2＋bx－2<0的解集为，∴－2，是一元二次方程ax2＋bx－2＝0的两个实数根，且a>0.∴解得∴ab＝28.故选C.
6．(2021·山东淄博模拟)若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围是(　A　)
A．(－∞，1)　　
B．(－∞，1]
C．(－1，1)　　
D．(－1，1]
[解析]　“存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0”的否定为“对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0”，下面先求对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a≥0恒成立时a的范围．
①当a＝0时，该不等式可化为2x≥0，即x≥0，显然不合题意；
②当a≠0时，有解得a≥1.
综合①②得a的范围为[1，＋∞)，所以存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的a的取值范围为(－∞，1)．
7．(2021·广东广州期末)已知函数f(x)＝ax2－x－c，且不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2[解析]　∵不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－28．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是(　D　)
A．(－3，5)　　
B．(－2，4)
C．[－3，5]　　
D．[－2，4]
[解析]　关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a，1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4且a≥－2.又当a＝1时，不等式的解集为?，符合题意．所以a的取值范围是[－2，4]，故选D.
9．(2021·江西南昌重点校联考)如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是(　A　)
A．(0，1)　　
B．(－2，1)
C．(－2，0)　　
D．(－，)
[解析]　记f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，依题意有即解得0二、多选题
10．(2021·山东洛阳一中月考题)不等式x2－2x－3≥3a－a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围可以为(　AC　)
A．(－∞，－1]　　
B．[－1，4]
C．[4，＋∞)　　
D．[－2，5]
[解析]　x2－2x－3＝(x－1)2－4的最小值为－4，所以x2－2x－3≥3a2－a2对任意实数x恒成立，只需3a－a2≤－4，解得a≤－1或a≥4，故选A、C.
11．下列四个解不等式，正确的有(　BCD　)
A．不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是
C．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7D．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－1
[解析]　对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，
解得x>1或x<－，
∴不等式的解集为.故A错误；
对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，
∴(2x－1)(3x＋2)≥0，∴x≥或x≤－.故B正确；
对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴－7×(－1)＝，∴a＝3.故C正确；
对于D，依题意q，1是方程x2＋px－2＝0的两根，
q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确．
12．(2021·山东聊城期末)若“x2＋3x－4<0”是“x2－(2k＋3)x＋k2＋3k>0”的充分不必要条件，则实数k可以是(　ACD　)
A．－8　　
B．－5　　
C．1　　
D．4
[解析]　本题考查解一元二次不等式及根据充分、必要条件求参数值．由x2＋3x－4<0，解得－40，即(x－k)[x－(k＋3)]>0，解得xk＋3.由题意知(－4，1)?(－∞，k)∪(k＋3，＋∞)，所以k≥1或k＋3≤－4，即k∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)．故选ACD.
三、填空题
13．(2021·山西大同一中模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)(－3，1)
．
[解析]　作出函数f(x)的图象如图，
由图可知，函数f(x)为单调递减函数，
∵f(3－a2)2a，解得－314．不等式－x2－3x＋4>0的解集为
{x|－4．
[解析]　－x2－3x＋4>0?x2＋3x－4<0?(x＋4)(x－1)<0?－415．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是
．
[解析]　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.
16．(2021·四川泸县四中线上月考)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2∪
．
[解析]　本题考查一元二次不等式的解法．由ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪.
17．(2021·江西八校联考)已知f(x)＝则不等式x2·f(x)＋x－2≤0的解集是
{x|x<2}．
．
[解析]　原不等式可化为或
解得x<2.
四、解答题
18．解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
[解析]　x2－(a＋a2)x＋a3>0?(x－a2)(x－a)>0，
当a<0时，xa2；
当a＝0时，x<0或x>0；
当0a；
当a＝1时，x<1或x>1；
当a>1时，xa2.
综上可知：①当a<0或a>1时，不等式解集为{x|xa2}；
②当a＝0时，不等式解集为{x|x<0或x>0}；
③当a＝1时，不等式解集为{x|x>1或x<1}；
④当
0a}．
19．已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)．
(1)若不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若不等式的解集为，求k的值；
(3)若不等式的解集为R，求k的取值范围；
(4)若不等式的解集为?，求k的取值范围．
[解析]　(1)由不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}可知k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
∴(－3)＋(－2)＝，解得k＝－.
(2)由不等式的解集为
可知解得k＝－.
(3)依题意知解得k<－.
(4)依题意知解得k≥.
20．(2021·河北正定中学月考)已知f(x)＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若不等式，f(x)>(a－1)x2＋(2a＋1)x－3a－1对任意的x∈[－1，1]恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若a<0，解不等式f(x)>1.
[解析]　(1)原不等式等价于x2－2ax＋2a＋1>0对任意的x∈[－1，1]恒成立，
设g(x)＝x2－2ax＋2a＋1＝(x－a)2－a2＋2a＋1，x∈[－1，1]；　
①当a<－1时，g(x)min＝g(－1)＝1＋2a＋2a＋1>0，无解；
②当－1≤a≤1时，g(x)min＝g(a)＝－a2＋2a＋1>0，得1－③当a>1时，g(x)min＝g(1)
＝1－2a＋2a＋1>0，得a>1.
综上，实数a的取值范围为(1－，＋∞)．
(2)f(x)>1，即ax2＋x－a－1>0，即(x－1)(ax
＋a＋1)>0，
因为a<0，所以(x－1)(x＋)<0，
因为1－＝，
所以当－解集为；
当a＝－时，不等式可化为(x－1)2<0，不等式无解；
当a<－时，1>－，解集为.

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