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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第八章 立体几何初步
3810532765知识储备
知识储备
8.6空间直线、平面的垂直
两条异面直线所成的角的定义
已知两条异面直线a,b，经过空间任一点O分别作直线false，false，把直线false，false所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）
两条异面直线垂直的定义
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线a与直线b垂直，记作a⊥b
异面直线所成的角的范围
异面直线所成的角false必须是锐角或直角，即false的取值范围是false
[拓展深化]
(1)判定直线与平面垂直的方法
①利用直线与平面垂直的定义(可用反证法).
②利用直线与平面垂直的判定定理。
③利用平面与平面垂直的性质定理
④结合平行关系:a//b,a⊥αfalseb⊥α
(2)判定平面与平面重直的方法
①利用定义判断(证)二面角的平面角是直角，
②利用平面与平面垂直的判定定理，
-1524029845例题分析
例题分析
例1.在棱长为1的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中，点 M 是对角线 AC1 上的动点（点 M 与 A,C1 不重合），则下列结论正确的是________．
①存在点 M ，使得平面 A1DM⊥ 平面 BC1D ；
②存在点 M ，使得 DM// 平面 B1CD1 ；
③ △A1DM 的面积不可能等于 36 ；
④若 S1,S2 分别是 △A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影的面积，则存在点 M ，使得 S1=S2 ．
【解析】解：以 D1 为坐标原点， D1C1 ， D1A1 ， D1D 所在直线为 x ， y ， z 轴建立直角坐标系，
可得 A1(1 ，0， 0) ， D(0 ，0， 1) ， B(1 ，1， 1) ， C1(0 ，1， 0) ，
连接 B1C ，设平面 A1B1CD 与对角线 AC1 交于 M ，
由 B1C⊥BC1 ， DC⊥BC1 ，可得 BC1⊥ 平面 A1B1CD ，
存在点 M ，使得平面 A1DM⊥ 平面 BC1D ，故①正确；
由 BD//B1D1 ， A1D//B1C ，可得平面 A1BD// 平面 B1D1C ，
设平面 A1B1D 与对角线 AC1 交于 M ，可得 DM// 平面 B1CD1 ，故②正确；
设 M(t ， 1?t ， t) ， 0可得△ A1DM 的面积为 12·2·3t2?4t+32=22·3(t?23)2+16?36 ，
可得 t=23 时，△ A1DM 的面积等于 36 ，故③错误；
设△ A1DM 在平面 A1B1C1D1 与平面 BB1C1C 的正投影分别为△ A1D1T ，△ B1CN ，
由 M(t ， 1?t ， t) ，可得 T(t ， 1?t ， 0) ，可得 S1=12(1?t) ，
由 M(t ， 1?t ， t) ，可得 N(t ，1， t) ，可得 S2=122·2|t?12|=|t?12| ，
由 S1=S2 ，可得 t=0 或 23 ，故④正确．
故答案为：①②④．
例2.正四棱锥 S?ABCD 底面边长为 2 ，高为 1 ， E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥表面上运动，并且总保持 PE?AC=0 ，则动点 P 的轨迹的周长为________．
【解析】如图所示，取 SC ， DC 的中点 M ， F ，
则 EF//BD ， ME//SB ，由线面判定定理可知： EF// 平面 SBD ， EM// 平面 SBD ，而 EM∩EF=E ，所以平面 SBD// 平面 MEF ，设 O 是底面正方形的中心，所以正四棱锥 S?ABCD 的高为 OS ，则 OP=1 ，则有 OP⊥AC ，而 BD⊥AC,BD∩SO=O ，所以 AC⊥ 平面 SBD ，所以 AC⊥ 平面 MEF ，因为
PE?AC=0 ，所以有 PE⊥AC ，则动点 P 在四棱锥表面上运动的轨迹为△ MEF ， BD=AD2+AB2=22 ， SB=SD=SO2+(12BD)2=3 ，
则动点 P 的轨迹的周长为 l△MFE=12l△SDB=12(22+3+3)= 2+3 ．
故答案为： 2+3

-5715125095课堂小练
课堂小练
1.①垂直于同一直线的两条不同的直线平行；②垂直于同一平面的两条不同的直线平行；③平行于同一平面的两条不同的直线平行；④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个关于空间直线与平面的命题中真命题的个数是（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
2.下列命题中真命题的个数为（ ??）
①平行于同一平面的两直线平形；②平行于同一平面的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两直线平行；④垂直于同一平面的两平面垂直；
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
3.用 a,b,c 表示三条不同的直线， γ 表示平面，给出下列命题，其中说法正确命题的序号是（ ???）
①若 a//b ， b//c ，则 a//c ；②若 a⊥b ， b⊥c ，则 a⊥c ；③若 a//γ ， b//γ ，则 a//b ；④若 a⊥γ ， b⊥γ ，则 a//b .
A.?①②?????????????????????????????????????B.?②③?????????????????????????????????????C.?①④?????????????????????????????????????D.?③④
4.已知三条不重合的直线m,n,l 和两个不重合的平面α，β ,下列命题正确的是(? ??)
A.?若m//n，n ? α，则m// α???????????????????????????????B.?若α⊥β, α ∩ β=m， n⊥m ，则n⊥α.
C.?若l⊥n ，m⊥n,则l//m???????????????????????????????????????D.?若l⊥α，m⊥β, 且l⊥m ，则α⊥β
5.已知互不重合的直线 a,b ,互不重合的平面 α,β ,给出下列四个命题，正确命题的个数是（ ??）
①若 a // α ， a // β ， α∩β=b ，则 a // b ?? ②若 ， a⊥α ， b⊥β 则 a⊥b ③若 α⊥β ， α⊥γ ， β∩λ=a ，则 a⊥α ? ④若 α // β ， a // α ，则 a // β
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?480010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 B
【解析】对于①，在空间中，垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面，故①错误；
对于②，由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行，故②正确；
对于③，平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面，故③错误；
对于④，由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行，故④正确.
故答案为：B.
2.【答案】 C
【解析】对于①平行于同一平面的两直线可以相交，平行或异面，故①错；
对于②平行于同一平面的两个平面平行，故②对；
对于③垂直于同一平面的两直线平行；故③对；
对于④垂直于同一平面的两平面相交或平行；故④错；
故答案为：C.
3.【答案】 C
【解析】①若 a//b ， b//c ，根据平行的传递性可得 a//c ，即①正确；
②若 a⊥b ， b⊥c ，且 a,b,c 共面时， a,c 平行；故②错；
③若 a//γ ， b//γ ，则 a,b 可能平行，相交或异面；故③错；
④若 a⊥γ ， b⊥γ ，根据线面垂直的性质，可得 a//b ，故④正确.
故答案为：C.
4.【答案】 D
【解析】A选项，直线 m 可能在平面 α 内；B选项，如果直线 n 不在平面 β 内，不能得到 n⊥α ；C选项，直线 l 与 m 可能平行，可能异面，还可能相交；
故答案为：D .
5.【答案】 C
【解析】由题意，已知互不重合的直线 a,b 和互不重合的平面 α,β ，
在A中，由于 α∩β=b,a//α,a//β ，
过直线a平面 α,β 都相交的平面 γ ，记 α∩γ=d,β∩γ=c ，
则 a//d 且 a//c ，所以 d//c ，
又 d//b ，所以 a//b ，A是正确的；
在B中，若 α⊥β,a⊥α,b⊥β ，则由面面垂直和线面垂直的性质得 a⊥b ，所以是正确；
在C中，若 α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a ，则由线面垂直的判定定理得 a⊥α ，所以是正确；
在D中，若 α//β,a//α ，则 α//β 或 a?β ，，所以是不正确的，
故答案为：C.

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