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1216660012090400高一数学人教版（2019）必修第二册
【10.2事件的相互独立性】
【学习目标】事件的相互独立性定义的了解与认识
【难点突破】
知识点1：相互独立事件与互斥事件的概率计算
已知两个事件A,B,它们的概率为P(A),P(B),将A,B中至少有一个发生记为事件AfalseB,都发生记为事件AB,都不发生记为事件false,恰有一个发生记为事件false,至多有一个发生记为事件false
知识点2：事件的相互独立性
(1)定义:对任意两个事件A与B.如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立.
(2)性质:如果事件A与事件B相互独立,那么A与false,false不与B,false与B也相互独立
(3)"A与B相互独立"是“P(AB)=P(A)P(B)"的充要条件
(4)两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“false相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们的概率之积”
【例题分析】
7.有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中、每只球的放置相互独立.
（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；
（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率.
【答案】 （1）解：设“三只小球恰在两个盒子中”为事件 A ，则 P(A)=C31C22C42A2243=916 .
（2）解：设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件 B ，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件 C ，则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件： B+C .
P(B)=C31(1+2)43=964 ， P(C)=2+C32×343=1164
B 与 C 互斥，故 P(B+C)=P(B)+P(C)=964+1164=516 .
8.甲?乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲?乙在每局比赛中获胜的概率均为 12 ，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数
（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
【答案】 （1）解：因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了 4 局，且甲在第 1 局或第 2 局赢了，
当甲在第 1 局赢了，则乙在后面 3 局都赢了，此事件的概率为： 12?(12)3=116 ，
当甲在第 2 局赢了，则乙在第 1,3,4 局赢了，此事件的概率为： 12?12?(12)2=116
记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件 A ，则 P(A)=116×2=18 ；
（2）解：根据条件可知： X 可取 2,4,6 ，
当 X=2 时，包含甲或乙前 2 局连胜，此时 2 种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；
当 X=4 时，包含甲或乙前 2 局赢了 1 局，后 2 局都没赢，此时 4 种情况：{甲，乙，乙，乙}，
{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；
P(X=2)=2?(12)2=12 ，
P(X=4)=4?(12)4=14 ，
P(X=6)=1?P(X=2)?P(X=4)=14 ，
所以 X 的分布列为：
X
2 ?
4 ?
6
P
12
14
14
所以 E(X)=2×12+4×14+6×14=72 .
【小题演练】
例1.陈镜开(1935~2010)，新中国举重运动员，1956年在上海举行的“中苏举重友谊赛”中，他以133公斤的成绩，打破美国运动员C.温奇保特的56公斤级挺举世界纪录，这是中国运动员创造的第一个世界纪录1956~1964年期间，在上海?北京?莫斯科?莱比锡等国内外的重大举重比赛中，陈镜开先后9次打破最轻量级和次轻量级挺举世界纪录，举重比赛挺举项目中，运动员对所要重量有3次试举次数，只要一次试举成功即为完成本次所要重量的比赛，才有资格进入下轮所要更大重量的比赛，结合平时训练数据，某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)，则在挺举比赛中，他有资格进入下轮比赛的概率是（??? ）
A.?0.784???????????????????????????????????B.?0.84???????????????????????????????????C.?0.904???????????????????????????????????D.?0.936
例2.排球比赛的规则是2局3胜制（2局比赛中，优先取得3局胜利的一方，获得最终胜利，无平局），在某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的概率都相等，均为 34 ，前2局中乙队以 2:0 领先，则最后乙队获胜的概率是（??? ）
A.?916??????????????????????????????????????B.?1927??????????????????????????????????????C.?4064??????????????????????????????????????D.?3764
3.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 34 ，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ??）
A.?13?????????????????????????????????????????B.?25?????????????????????????????????????????C.?23?????????????????????????????????????????D.?45
4.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次，至少出现一次6点朝上的概率是(??? )
A.?125216???????????????????????????????????B.?25216???????????????????????????????????C.?31216???????????????????????????????????D.?91216
5.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 23 ，乙获胜的概率为 13 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为________.
6.一个袋子中有形状和大小完全相同的3个白球与2个黑球，每次从中取出一个球，取到白球得2分，取到黑球得3分.甲从袋子中有放回地依次取出3个球，则甲三次都取到白球的概率为________，甲总得分是7的概率为________.
【参考答案】
1.【答案】 D
【解析】解：设“该运动员进入下轮比赛”为事件 A ，
其对立事件 A 为“该运动员没有进入下轮比赛”，
事件 A 即该运动员 3 次试举都失败，
则 p(A)=(1?0.6)3=0.064 ，
则 p(A)=1?p(A)=1?0.064=0.936 ，
故答案为：D.
2.【答案】 D
【解析】由题意可知，事件“最后乙队获胜”的对立事件为 A: 最后 3 局均为甲队获胜，
由独立事件的概率公式可得 P(A)=(34)3=2764 ，
因此，则最后乙队获胜的概率是 1?P(A)=3764 .
故答案为：D.
3.【答案】 A
【解析】记事件 A: 甲获得冠军，事件 B: 比赛进行三局，
事件 AB: 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，
由独立事件的概率乘法公式得 P(AB)=C21?34?14?34=932 ，
对于事件 A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 AB ，
∴P(A)=(34)2+932=2732 ， ∴P(B|A)=P(AB)P(A)=932?3227=13 ，
故答案为：A.
4.【答案】 D
【解析】因为将一颗质地均匀的骰子抛掷一次出现6点朝上的概率为 16 ，
因此，先后抛掷三次，出现0次6点朝上的概率为 (1?16)3=125216 ，
所以至少出现一次6点朝上的概率是 1?125216=91216 .
故答案为：D.
5.【答案】 881
【解析】根据题意可得恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的情况为：甲第一局赢，第二局输，第三局和第四局赢，
则恰好进行了4局比赛结束且甲赢得比赛的概率为 23×13×23×23=881 。
故答案为： 881 。
6.【答案】 27125；54125
【解析】甲从袋中取出白球的概率为 35 ，取出黑球的概率为 25 ，所以甲从袋子中有放回地依次取出3个球，三次都取到白球的概率为 35×35×35=27125 ，
甲总得分是7的组合为取出2次白球1次黑球，概率为 C31×35×35×25=54125 ，
故答案为： 27125 ； 54125。

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