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2020-2021学年高一数学第二学期人教版（2019）必修第二册同步课堂
第七章 复数
3810532765知识储备
知识储备
7.3.2复数乘除运算的三角表示及其几何意义
1.根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，
false=false（cosfalse+isinfalse）·false（cosfalse+isinfalse）
=falsefalse（cosfalse+isinfalse）（cosfalse+isinfalse）
=falsefalse[(cosfalsecosfalse-sinfalsesinfalse)]
=falsefalse[cos（false+false）+isin（false+false）
则
false(cosfalse+isinfalse)·false(cosfalse+isinfalse)
=falsefalse[cos(false+false)+isin(false+false)]
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.
2.复数除法运算的三角表示
设false=false(cosfalse+isinfalse),false=false(cosfalse,+isinfalse),且false≠false.因为
false(cosfalse+isinfalse)·false[cos(false-false)+isin(false-false)]=false(cosfalse+isinfalse)，
所以根据复数除法的定义，有，
false[cos(false-false)+isin(false-false]
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
-1524029845例题分析
例题分析
例1.已知复数 z=(m2?m)+(m+3)i (m∈R) 在复平面内对应点Z.
（1）若 m=2 ，求 z?z ；
（2）若点Z在直线 y=x 上，求m的值.
【解析】 （1）解：∵ m=2 ，∴ z=2+5i ，∴ z?z=|z|2=(22+52)2=29
（2）解：若点Z在直线 y=x 上，则 m2?m=m+3 ，
即 m2?2m?3=0 ，解得 m=?1 或 m=3
例2.已知复数 z1,z2 在平面内对应的点分别为 A(?2,1) ， B(a,3) ，（ a∈R ）.
（1）若 |z1+z2|≤5 ，求a的值；
（2）若复数 z1·z2 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值.
【解析】 （1）解：由题意可知 z1=?2+i , z2=a+3i
∴ z1+z2=(a?2)+4i
∴ |z1+z2|2=(a?2)2+16
∴ (a?2)2+16≤25 即 (a?5)(a+1)≤0
∴ ?1≤a≤5
（2）解：由 z1=?2?i
∴ z1·z2=(?2?i)(a+3i)=(3?2a)?(a+6)i
由 z=z1·z2 对应的点在二、四象限的角分线上可知 (3?2a)?(a+6)=0
∴ a=?1
-5715125095课堂小练
课堂小练
1.已知复数 a?ii?i 在复平面内对应的点在二?四象限的角平分线上，则实数 a 的值为（??? ）
A.?2??????????????????????????????????????????B.?-1??????????????????????????????????????????C.?0??????????????????????????????????????????D.?-2
2.复数z满足 z(1?i)=2i ，则在复平面上复数z对应的点位于(??? )
A.?第一象限???????????????????????????B.?第二象限???????????????????????????C.?第三象限???????????????????????????D.?第四象限
3.复数 2i1+i= （?? ）
A.?1?i??????????????????????????????????B.??1?i??????????????????????????????????C.?1+i??????????????????????????????????D.??1+i
4.在复平面内，复数 5i3?4i （ i 为虚数单位）对应的点的坐标为（??? ）
A.?(3,4)?????????????????????????????B.?(?4,3)?????????????????????????????C.?(45,?35)?????????????????????????????D.?(?45,35)
5.若复数 z=a+i1?i 在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a的值可以是（??? ）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?0???????????????????????????????????????????C.?-1???????????????????????????????????????????D.?2
80010355600答案解析
答案解析
1.【答案】 D
【解析】化简复数 a?ii?i=?1?(a+1)i ，
因为复数 a?ii?i 在复平面内对应的点在二?四象限的角平分线上，
所以 a+1=?1 ，解得 a=?2 ，
故答案为：D.
【分析】首先化简复数，得到 a?ii?i=?1?(a+1)i ，利用二?四象限的角平分线上点的横纵坐标互为相反数，得到等量关系式，求得结果.
2.【答案】 C
【解析】 ∵z(1?i)=2i ,
∴z=2i1?i=2i(1+i)2=?1+i ,
∴z=?1?i ,
∴ 复数 z 对应的点位于第三象限，
故答案为：C
【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求出z,即可求解.
3.【答案】 C
【解析】 2i1+i= 2i(1?i)2=1+i ,
故答案为：C.

【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数的代数表达式。
4.【答案】 D
【解析】因为 5i3?4i=5i?(3+4i)(3?4i)(3+4i)=15i?2025=?45+35i ，
所以在复平面内，复数 5i3?4i （ i 为虚数单位）对应的点的坐标为 (?45,35) .
故答案为：D

【分析】运用复数除法的运算法则化简复数5i3?4i的表示，最后选出答案即可。
5.【答案】 B
【解析】依题意 z=(a+i)(1+i)(1?i)(1+i)=a?1+(a+1)i2 ，由于z在复平面内对应的点在第二象限，所以 {a?1<0a+1>0 ，解得 ?1故答案为：B

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