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一元二次方程小结与复习
知识梳理
1、一元二次方程的定义：
含有
一
个未知数，且未知数的最高次数为
2
次的
整式
方程。
2、一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠
0）
二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c。
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
√
√
×
×
×
×
1、一元二次方程3+x=2x(x+1)化成一般形式为
，其中二次项系数为
。
2、若关于x的方程（m+2）x2-3x-2=0是一元二次方程，则m的取值范围是
。
2x2+x-3=0
2
m
≠-2
你学过一元二次方程的哪些解法?
因式分解法
开平方法
配方法
公式法
下面我们来看看它们各有什么特点。
方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0)
开平方法
用开平方法解下列方程。
x2=3
(2x-3)2=9
解：x=±
∴x1=
x2=-
解：2x-3=±3
2x=3±3
∴x1=3
x2=0
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边同加一次项系数
一半的平方;
4.变形:化成
5.开平方，求解
“配方法”解方程的基本步骤
★一除、二移、三配、四化、五解.
用配方法解方程。
3x2-2x-5=0
解:
3x2-2x=5
x2-
x=
x2-
x+(
)2=
+(
)2
(x-
)2=
x-
=±
x=
±
∴x1=
x2=-1
用公式法解一元二次方程的前提是:
公式法
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
用公式法解方程。
3x2-5=2x
解:整理得：
3x2-2x-5=0
∵a=3,b=-2,c=-5
∴b2-4ac=4+60=64>0
∴x=
x=
∴
x1=
x2=-1
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够
分解,而右边等于零;
因式分解法
2.理论依据是:如果ab=0，则a=0或b=0.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
用分解因式法解方程。
5x2=4x
解:5x2-4x=0
x(5x-4)=0
∴
x=0或5x-4=0
∴
x1=0
x2=
2(x-3)2=x2-9
解:2(x-3)2=(x+3)(x-3)
2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0
(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0
(x-3)(x-9)=0
∴
x-3=0或x-9=0
∴
x1=3
x2=9
①
x2-3x+1=0
②
3x2-1=0
③
-3t2+t=0
④
x2-4x=2
⑤
2x2－x=0
⑥
5(m+2)2=8
⑦
3y2-y-1=0
⑧
2x2+4x-1=0
⑨
(x-2)2=2(x-2)
适合运用直接开平方法
；
适合运用因式分解法
；
适合运用公式法
；
适合运用配方法
；
精挑细选
解方程：
①
(x+1)(x-1)=2x
②
2(x-2)2+5(x-2)=0
③
(2m+3)2=2(4m+7)
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
我们知道：代数式b2-4ac对于一元二次方程的根起着关键的作用.
当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根。
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2
，则
x1+x2
=
x1·x2=
若方程x2+px+q=0(a≠0)的两根
为x1、x2
，则
x1+x2
=
x1·x2=
以x1、x2为两根的一元二次方程为：
x2－(x1+x2)x+x1·x2=0
一元二次方程根与系数关系
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.根的情况无法
1.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）中，若a与c异号，则方程（
）
2
、若关于的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则的取值范围是（
）
B.
且
C.
D.
且
提高应用
1、数字问题
2、增长率问题
4、面积问题
3、利润问题
注意：
①设要带有单位；
②解出方程后检验根的合理性。
一元二次方程的应用
复习一元二次方程
一定要注意解得的根
是否符合题意
2.甲公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司缴税的年平均增长率为多少?
3.某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出20件,每件盈利40元.为了尽快减少库存,商场决定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低1元时,平均每天能多售出2件.商场要想平均每天盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?
3.
如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.
说出下列方程用哪种方法解比较适当。
(3x-2)2=7
x2-6x-9=0
3x2-2x-1=0
(2x+3)2=(5x+1)2
直接开平方法
配方法
公式法
直接开平方法或分解因式法
返
回
1、要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
2、要组织一场篮球联赛,
每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
3、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会?
与小组成员间互赠贺卡有区别吗？
生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向
本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182
件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的
方程是（
）
A．x（x+1）=182
B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182
D．x（1-x）=182×2

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