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离散型随机变量的分布列
一、选择题
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为(　　)
A．　 B．
C．或 D．－或－
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…．则P(2＜X≤4)等于(　　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于(　　)
X －1 0 1
P a b c
A． B． C． D．
4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
5．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为(　　)
X －1 0 1 2 3
P




则下列各式正确的是(　　)
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝
C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
二、填空题
6．在射击的试验中，令X＝，如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________．
7．设离散型随机变量X的概率分布列为：
X －1 0 1 2 3
P
m


则P(X≤2)＝________．
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得3分的概率是________．
三、解答题
9．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
试求：
(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
10．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S．
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
素养达标
1．随机变量ξ的分布列如下．
ξ 0 1 2
P a b c
其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A． B． C． D．
2．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表．
X －2 －1 0 1 2 3
P





若P(X2＜x)＝，则实数x的值可以是(　　)
A．3 B．5 C．7 D．9
3．随机变量η的分布列如下：
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
4．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d的取值范围为________．
5.为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示：
AQI [0,50] [51,100] [101,150] [151,200] [201,300] 大于300
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 25 10
(1)从空气质量指数属于[0,50]，[51,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率；
(2)已知某企业每天的经济损失Y(单位：元)与空气质量指数X的关系式为Y＝
请写出该企业一天的经济损失Y的分布列．
一、选择题
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
X 0 1
P 9a2－a 3－8a
则常数a的值为(　　)
A．　 B．
C．或 D．－或－
A　[由离散型随机变量分布列的性质可得
解得a＝．]
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…．则P(2＜X≤4)等于(　　)
A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．
A　[2＜X≤4时，X＝3,4．
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．]
3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于(　　)
X －1 0 1
P a b c
A． B． C． D．
D　[由条件知，2b＝a＋c．
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝．
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－＝．]
4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
C　[P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X＜m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．]
5．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为(　　)
X －1 0 1 2 3
P




则下列各式正确的是(　　)
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝
C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
AB　[∵事件“X＝1.5”不存在，∴P(X＝1.5)＝0，∴A正确．
∵P(X＞－1)＝1－P(X＝－1)＝，∴B正确．∵P(2＜X＜4)＝P(X＝3)＝，P(X＜0)＝，∴C，D均不正确．故选AB．]
二、填空题
6．在射击的试验中，令X＝，如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________．
[答案]　
X 0 1
P 0.2 0.8
7．设离散型随机变量X的概率分布列为：
X －1 0 1 2 3
P
m


则P(X≤2)＝________．
　[P(X≤2)＝1－＝．]
8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
X 0 2 3
P a b c
则这名运动员得3分的概率是________．
　[由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝，b＝，c＝，所以得3分的概率是．]
三、解答题
9．设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
试求：
(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解]　由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3．
列表为
X 0 1 2 3 4
2X＋1 1 3 5 7 9
|X－1| 1 0 1 2 3
(1)2X＋1的分布列为
2X＋1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的分布列为
|X－1| 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
10．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S．
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解]　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有
P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝9)＝．
故ξ的分布列为
ξ 0 1 4 9
P



素养达标
1．随机变量ξ的分布列如下．
ξ 0 1 2
P a b c
其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为(　　)
A． B． C． D．
B　[由题意知解得b＝．
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝．故选B．]
2．(多选题)已知随机变量X的分布列如下表．
X －2 －1 0 1 2 3
P





若P(X2＜x)＝，则实数x的值可以是(　　)
A．3 B．5 C．7 D．9
BCD　[由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0,1,4,9，且P(X2＝0)＝，
P(X2＝1)＝＋＝，
P(X2＝4)＝＋＝，
P(X2＝9)＝．
∵P(X2＜x)＝＝＋＋，
∴实数x的取值范围是4＜x≤9，
故选BCD．]
3．随机变量η的分布列如下：
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.35 0.1 0.15 0.2
则x＝________，P(η≤3)＝________．
0　0.55　[由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0．故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55．]
4．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d的取值范围为________．
　[设X的分布列为
X x1 x2 x3
P a－d a a＋d
由离散型随机变量分布列的基本性质知
解得－≤d≤．]
5.为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示：
AQI [0,50] [51,100] [101,150] [151,200] [201,300] 大于300
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 25 10
(1)从空气质量指数属于[0,50]，[51,100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率；
(2)已知某企业每天的经济损失Y(单位：元)与空气质量指数X的关系式为Y＝
请写出该企业一天的经济损失Y的分布列．
[解]　(1)设ξ为选取的3天中空气质量等级为优的天数，则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝．
(2)由题意可知Y的取值范围为{0,220,1 480}．
P(Y＝0)＝P(0≤X≤100)＝＝，
P(Y＝220)＝P(101≤X≤300)＝＝，
P(Y＝1 480)＝P(X＞300)＝＝，
因此Y的分布列为
Y 0 220 1 480
P

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