资源简介

(共26张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
5.4三角函数的图象和性质
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
学习目标
1.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质（如：周期性、奇偶性、单调性、最值等）.
2.运用整体代换的思想，令ωx+φ＝t，借助y＝sin
t，y＝cos
t的性质研究函数y＝sin（ωx+φ），y＝cos（ωx+φ）的性质.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
新知学习
正弦函数、余弦函数的性质
【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？
【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等
【1】周期性：观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔2π个单位
长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的
变化规律.实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映.即自
变量
的值加上2π的整数倍时所对应的函数值，与
所对应的函数值相等.数学
上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律.
【导学2】正弦函数
和余弦函数
的定义域和值域是什么？
【解答】定义域都是R，值域都是[-1，1]
正弦函数、余弦函数的性质
【定义】一般地，设函数
的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一
个
都有
，且
.那么函数
就叫做
周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
周期函数的周期不止一个.例如2π，4π，6π以及-2π，-4π，-6π等.都是正弦
函数的周期.
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做
的最小正周期.
根据上述定义，有如下结论：
【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，最小正周期是2π
正弦函数、余弦函数的性质
【周期函数的理解】
①对周期函数与周期定义中的“当
取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中
“每一个”的要求.如果只是对某些
有
，那么T就不是
的周期.
②自变量
本身加的常数才是最小正周期.如
中T不是最小正周
期，因为
，所以
才是最小正周期.
③周期函数的周期不唯一.若T是函数
的最小正周期，则
也是
函数
的周期.
④并不是所有的周期函数都有最小正周期.例如，对于函数
所有非零实数T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小
正周期.
正弦函数、余弦函数的性质
【例1】求下列函数的周期：
【解】
由周期函数的定义可知，原函数
的周期为.
令由得，且的周期为，即
于是所以由周期函数的
定义可知，原函数的周期为π.
奇偶性
【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线
关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，
只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.
②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)
对称.
③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.
Ⅰ.函数的对称轴是直线，对称中心是.
Ⅱ.函数的对称轴是直线，对称中心是.
【1】等式是否成立？如果这个成立，能否说是正弦函数
的一个周期？为什么？
【解】等式成立，但不能说是正弦函数
的一个周期，因为对定义域内任意，
不一定等于，
如，所以不是正弦函数的一个周期.
即时巩固
【2】求下列函数的周期
【解】
因为
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
因为
由周期函数的定义可知，原函数的周期为
【注意】本题也可以直接用公式求解：
即时巩固
【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
【解】(1)奇函数
(2)偶函数
(3)奇函数
(4)奇函数
即时巩固
探究与发现
【探究】从前面的例子可以看出，函数及函数
（其中，，为常数，且，）的周期仅与自变量的系数有关.那么，
如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
【函数和函数的周期】
事实上，令，那么由得，且函数及函数
的周期都是
因为
，所以自变量增加，函数值
就重复出现，并且增加量小于时，函数值不会重复出现.即是使得等式
，成
立的最小正数，从而这两个函数的周期为
探究与发现
【思考】上述求函数和函数
周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即下列命题“如果函数
的周期是T，那么函数的周期是
”是否成立？
【解答】上述命题是成立的.一般地，若函数的周期是T，那么函数
的
周期为
单调性
【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如
讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
如图可以看到：当
由
增大到
时，曲线逐渐上升，
的值由1减小
到-1.
的值变化情况如图所示：
这也就是说，正弦函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减.
单调性
正弦函数在每一个闭区间
上都单调递增，其值从-1增
大到1；在每一个闭区间
上都单调递减，其值从1减小到-1.
由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：
单调性
余弦函数在每一个闭区间
上都单调递增，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间
上都单调递减，其值从1减小到-1.
同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：
最大值与最小值
【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：
①正弦函数当且仅当
时取得最大值1，
当且仅当
时取得最小值-1；
②余弦函数当且仅当
时取得最大值1，
当且仅当
时取得最小值-1；
【拓展】①正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷.
②正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数.
③正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形.
R
R
[-1，1]
[-1，1]
最小正周期为2π
最小正周期为2π
奇函数
偶函数
在每一个闭区间上单调递增；
在每一个闭区间上单调递减
在每一个闭区间上单调递增；
在每一个闭区间上单调递减
当时，
当时，
当时，
当时，
对称中心为；
对称轴为直线
对称中心为；
对称轴为直线
【正弦函数和余弦函数的性质对比】
随堂小测
1.(2021·金华十校期末)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性
A.与ω有关，且与φ有关
B.与ω有关，但与φ无关
C.与ω无关，且与φ无关
D.与ω无关，但与φ有关
解析　因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos
ωx，为偶函数；
＝±sin
ωx，为奇函数.
所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关.
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
∴f(x)＝－cos
2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos
2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
±π
4.函数y＝cos
x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________.
(－π，0]
解析　因为y＝cos
x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，所以只有－π即x＝4kπ－π，k∈Z时，ymax＝5，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ－π，k∈Z}；
即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymin＝1，
此时自变量x的集合为{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}.
课堂小结
1.求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin
x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝
.
2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法
4.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
5.求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第2课时
单调性与最值
课标解读
课标要求
素养要求
1.掌握
的单调性,并能利用单调性比较大小.
2.会求函数
及
(其中
为常数,且
)的单调区间.
3.掌握
的最大值与最小值,并会求简单函数的值域和最值.
1.直观想象——能利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.
2.数学运算——会根据正弦函数、余弦函数的性质求解与单调性有关的问题.
自主学习·必备知识
要点一
单调性
正弦函数在每一个闭区间
上都①
单调递增
,其值从-1②
增大
到1;在每一个闭区间
上都③
单调递减
,其值从1④
减小
到-1.
余弦函数在每一个闭区间
上都⑤
单调递增
,其值从-1⑥
增大
到1;在每一个闭区间
上都⑦
单调递减
,其值从1⑧
减小
到-1.
要点二
最大值与最小值
正弦函数当且仅当
时取得最⑨
大
值1,当且仅当
时取得最⑩
小
值-1;
余弦函数当且仅当
时取得最?
大
值1,当且仅当
时取得最?
小
值-1.
自主思考
1.函数
和
的单调递减区间为
（其中
）,请求出
的值.
答案：提示
由正弦函数和余弦函数的单调性可知
.
2.函数
在图象的什么位置取得最大（小）值？
答案：提示
函数
在图象的波峰（波谷）取得最大（小）值.
名师点睛
1.函数
的单调递增区间不唯一.
2.函数
的最大值唯一,取最大值时的
的值不唯一.
3.对正弦、余弦（型）函数最值的三点说明
（1）明确正弦、余弦函数的有界性,即
.
（2）函数
的最值不一定是1或-1,要依据函数的定义域
来决定.
（3）求形如
的函数的最值,通常利用“整体代换”,即令
,将函数转化为
的形式求最值.
互动探究·关键能力
探究点一
正弦、余弦（型）函数的单调性
精讲精练
例
（1）函数
的单调递减区间为
.
（2）求函数
的单调区间.
答案：（1）
解析：（1）
,
令
,
解得
,
又
,
所以
,
即函数的单调递减区间为
.
答案：（2）令
,
即
,
所以
.
所以单调递增区间为
.
令
,
即
,
所以
,
所以单调递减区间为
.
所以函数
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
解题感悟
正弦、余弦（型）函数的单调区间的求解技巧
（1）结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间．
（2）确定函数
（或
的单调区间的方法：可采用“换元”法整体代换,若
则可利用诱导公式将
的系数转变为正数．
迁移应用
1.函数
,
的单调递增区间是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：令
,
解得
,
又
,所以
,故选D.
2.函数
的单调递减区间为
.
答案：
解析：因为
,
所以
的单调递增区间就是
的单调递减区间.令
,
解得
.
所以函数
的单调递减区间为
.
探究点二
比较三角函数值的大小
精讲精练
例
比较下列各组数的大小．
（1）
与
;
（2）
与
（3）
与
.
答案：（1）
,
.
因为
,且
在
上单调递减,
所以
,即
.
（2）
.
因为
在
上单调递增,
所以
即
.
故
.
（3）
,
.
因为函数
在
上单调递增,而
,
所以
,
所以
.
故
.
解题感悟
比较三角函数值大小的步骤
（1）异名函数化为同名函数;
（2）利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上;
（3）利用函数的单调性比较大小．
迁移应用
1.比较下列各组数的大小.
（1）
与
（2）
与
;
（3）
与
.
答案：（1）因为函数
在
上单调递减,且
所以
.
（2）
,
.
因为函数
在
上单调递减,且
,
所以
,故
.
（3）因为
,
所以
,
因为
在
上单调递减,
又
,且
,
所以
,即
.
探究点三
正弦、余弦（型）函数的最值问题
精讲精练
例
已知函数
.
（1）求函数的值域;
（2）求函数取得最小值时
的取值集合．
答案：
（1）
.
因为
,所以
,
所以函数
的值域为
.
（2）因为
,
所以当
时,
,
此时
的取值集合为
.
解题感悟
（1）形如
（或
的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对
正负的讨论．
（2）形如
（或
的函数,可先由定义域求得
的范围,然后求得
（或
的范围,最后求得值域（最值）．
（3）形如
的函数,可利用换元思想,设
,转化为二次函数
求最值．
的范围需要根据定义域来确定．
迁移应用
1.求下列函数的最大值和最小值.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）当
时,
,由函数图象（图略）知,
.
所以
在
上的最大值和最小值分别为
.
（2）
.
因为
,所以
.
当
时,
当
时,
.
评价检测·素养提升
1.
的值域是(
)
A.
B.
,
C.
D.
答案：
2.函数
在区间
上(
)
A.单调递增
B.单调递减
C.先减后增
D.先增后减
答案：
3.函数
的最大值为
,此时自变量的取值集合为
.
答案：7;
解析：
当
,
即
时,
.
4.
从大到小排序为
.
答案：
解析：
因为
,
又函数
在
上单调递减,所以
.
5.求函数
的单调递增区间.
答案：
函数
的单调递增区间即为函数
的单调递减区间,
令
,解得
,
故函数的单调递增区间为
.
素养演练
直观想象——正弦函数的对称性
1.函数
的图象的对称轴方程是
,对称中心的坐标是
.
审：已知函数解析式,求对称轴方程与对称中心的坐标.
联：根据正弦函数的周期性知,过函数图象的最高点或最低点且与
轴垂直的直线均是对称轴,而函数图象与
轴的交点均为对称中心．
解：要使
,则
,所以
,
即对称轴方程为
,
而函数
的图象与
轴的交点即为对称中心,所以令
,即
,
所以
②
,即
,
故函数
的图象的对称中心的坐标为③
解析：思：正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与
轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题,培养直观想象的核心素养．
迁移应用
1.当
时,函数
取得最小值,则函数
是(
)
A.奇函数且图象关于点
对称
B.偶函数且图象关于点
对称
C.奇函数且图象关于直线
对称
D.偶函数且图象关于点
对称
答案：
解析：因为
时函数
取得最小值,
所以
,可得
,所以
,解得
,
所以
,
所以
,
所以函数
是奇函数且图象关于直线
对称,故选C.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的最大值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：
2.下列关系式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.若函数
同时满足下列三个性质：①最小正周期为
;②图象关于直线
对称;③在区间
上是增函数.则
的解析式可以是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.若
在区间
上的最大值为
,则
的值为(
)
A.1
B.2
C.
D.
答案：
解析：由题意可知
在区间
上为增函数,且
,
即
,所以有
,即
,因为
,所以
.
5.（2020陕西延安第一中学高一检测）下列函数中既是偶函数又在
上是增函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
为偶函数,在
内单调递减,所以选项A不符合题意.
因为
为偶函数,在
内单调递增,所以选项B符合题意;
因为
为奇函数,所以选项C不符合题意;
因为
为偶函数,在
内单调递减,所以选项D不符合题意.
故选B.
6.（2021陕西榆林高一检测）设函数
,则下列结论错误的是(
)
A.
的一个周期为
B.
的图象关于直线
对称
C.
的一个零点为
D.
在
内单调递减
答案：
解析：因为
的周期为
,所以
的一个周期为
,故选项A中结论正确;
因为
图象的对称轴为直线
,所以
的图象关于直线
对称,故选项B中结论正确;
.令
,得
,当
时,
,所以
的一个零点为
,故选项C中结论正确;
因为
的递减区间为
,递增区间为
,所以（
是递减区间,
是递增区间,故选项D中结论错误.故选D.
7.函数
的最大值为
.
答案：
解析：因为
,
所以
.所以
.
8.函数
的值域为
.
答案：
9.
的最大值为5,则
.
答案：
10.（2021吉林四平高一月考）已知函数
是奇函数,且
.
（1）求
;
（2）求函数
的单调增区间.
答案：（1）因为函数
是奇函数,所以
,解得
.又
,所以
.
（2）由（1）得
.
令
,
解得
.
所以
的单调增区间为
.
素养提升练
11.（多选）（2020山东聊城高一检测）若函数
在
上单调递增,则
可以是(
)
A.1
B.2
C.
D.
答案：C;
D
解析：因为
在
上单调递增,所以
,
所以由
,
得
,即函数的单调递增区间为
.
依题意,得
,解得
,故选CD.
12.已知函数
,其中
,若
的值域是
,则实数
的取值范围是
.
答案：
解析：因为
的值域是
,
所以由函数的图象和性质可知
,
解得
.
13.（2021黑龙江漠河一中高一月考）已知函数
在区间
上是增函数,则下列结论正确的是
（将所有符合题意的序号填在横线上）．
①函数
在区间
上是增函数;
②满足条件的正整数
的最大值为3;
③
.
答案：
①②③
解析：由
,可知
为奇函数,
因为函数
在区间
上是增函数,
所以函数
在区间
上是增函数,结论①正确;
由
,可得
,即满足条件的正整数
的最大值为3,故结论②正确;
由于
,且由题意可得对称轴
,
故
,故结论③正确.
14.已知函数
的最大值为
,最小值为
.
（1）求
的值;
（2）求函数
的最小值,并求出对应的
的取值集合.
答案：（1）易知
,
因为
,所以
.
所以
所以
.
（2）由（1）知
,
因为
,
所以
,
所以
的最小值为-2,
此时
,所以
,则
,即对应的
的取值集合为
.
创新拓展练
15.已知
,是否存在常数
,使得
的值域为
？若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
答案：因为
,
所以
,
所以
.
假设存在这样的有理数
,则
当
时,
解得
（不符合题意,舍去）;
当
时,
解得
故a,b存在,且
.
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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第1课时
周期性与奇偶性
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
2.会求函数
及
的周期.
3.掌握
的奇偶性,会判断简单函数的奇偶性.
直观想象、数学运算——会用正弦函数、余弦函数的性质求周期、判断奇偶性.
自主学习·必备知识
要点一
周期性
一般地,设函数的
定义域为
,如果存在一个非零常数
,使得对每一个
都有
.那么函数
就叫做①
周期函数
.非零常数
叫做这个函数的周期.
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
的②
最小正周期
.
正弦函数是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是③
.类似地,余弦函数也是周期函数.
都是它的周期,最小正周期是④
.
要点二
奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
自主思考
1.已知函数
,存在一个非零常数
,使得对无数个
,都有
,那么非零常数
是不是这个函数的周期?
答案：提示不是无数个
并不能代表定义域中所有的
,只有当定义域中.的每一个
都满足时,
才是周期.
2.诱导公式
体现了函数的什么性质?
答案：提示奇偶性.
名师点睛
1.若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,若函数的图象关于
轴对称,则该函数是偶函数．
2.求形如
的函数图象的对称轴和对称中心时,常常运用换元法,令
,将函数转化为
求解.
互动探究·关键能力
探究点一
函数的周期性
精讲精练
例
求下列函数的最小正周期.
（1）
（2）
.
答案：
（1）因为
,
即
,
所以函数
的最小正周期为
.
（2）作出函数
的图象,如图所示.
由图象可知最小正周期为
.
解题感悟
求函数最小正周期的常用方法
（1）定义法：利用周期函数的定义求解;
（2）公式法：形如
和
（其中
,为常数,且
）的函数的周期
;
（3）图象法：作出函数的图象,通过观察图象得到最小正周期.
迁移应用
1.设
,若函数
的最小正周期是
,则
.
答案：2
解析：由题意知
,且
,
所以
.
2.求下列函数的最小正周期.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）由
,可得函数的最小正周期为4.
（2）由
,得函数
的最小正周期为
.
探究点二
函数的奇偶性
精讲精练
例
判断下列函数的奇偶性．
（1）
;
（2）
;
（3）
.
答案：（1）函数的定义域为
,关于原点对称.
因为
,
所以
，所以
是偶函数.
（2）函数的定义域为
,关于原点对称.
因为
,所以
为奇函数.
（3）由
得
,
所以函数的定义域为
,定义域关于原点对称.
当
时,
,
所以
既是奇函数又是偶函数.
解题感悟
判断函数奇偶性的“三步曲”
一看：看函数的定义域是否关于原点对称;
二求：求
与
的关系;
三判断：
恒等式
奇偶性
偶函数
奇函数
,且
既是奇函数,又是偶函数
,且
非奇非偶函数
迁移应用
1.判断下列函数的奇偶性.
（1）
;
（2）
;
（3）
.
答案：（1）因为
,关于原点对称,
,
所以
为奇函数．
（2）因为
,关于原点对称,
,
所以
为偶函数．
（3）因为
,关于原点对称,
,
,且
,所以
为非奇非偶函数.
探究点三
函数周期性与奇偶性的综合运用
精讲精练
例
定义在
上的函数
既是偶函数,又是周期函数,若
的最小正周期为
,且当
时,
,则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
解题感悟
与三角函数奇偶性有关的结论
（1）要使
为奇函数,则
;
（2）要使
为偶函数,则
（3）要使
为奇函数,则
（4）要使
为偶函数,则则
;．
迁移应用
1.若
是奇函数,且
,当
时,
,求
的值.
答案：因为
,
所以
,所以
,
即
的最小正周期为2,
所以
.
又因为
为奇函数,
且
时,
,
所以
,
故
.
评价检测·素养提升
1.函数
是(
)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案：
解析：
,
因为
,且
,
所以
为奇函数.
2.如图所示的是定义在
上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是(
)
A.B.
C.D.
答案：
解析：观察题中图象易知,只有D选项中的图象不是周期函数的图象．
3.设函数
,则
是(
)
A.最小正周期为
的奇函数
B.最小正周期为
的偶函数
C.最小正周期为
的奇函数
D.最小正周期为
的偶函数
答案：
解析：因为
,
所以
,又
,
所以
是最小正周期为
的偶函数.
4.函数
是
上的周期为4的偶函数,且
,则
.
答案：3
5.已知
为奇函数,且周期为
,若
,则
.
答案：1
解析：因为
,
所以
.
素养演练
直观想象——周期函数的求解和图象识别
1.已知定义在
上的偶函数
的最小正周期是
,当
时,
.
（1）求
的值;
（2）求
时
的解析式.
解析：由题意可知,函数图象关于y轴对称,画出函数的图象,如图,
由图象可得
,
则
.
答案：（1）
.
（2）
.
素养探究：直观想象就是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决问题的思维过程.三角函数的对称性问题常常通过数形结合解决.
迁移应用
1.设函数
满足
,则函数
的图象可以是(
)
A..B.
C.D.
答案：
解析：由
,得
是偶函数,
图象关于
轴对称.
由
,得
的周期为2.
故选B.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的图象关于(
)
A.
轴对称
B.原点对称
C.
轴对称
D.直线
对称
答案：
2.（2021陕西西安铁一中学高一月考）已知函数
是定义在
上的奇函数,则
的一个可能取值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020湖北恩施高一月考）函数
的大致图象是(
)
A.B.
C.D.
答案：
4.下列函数中,周期为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由周期公式知选项A中的函数的周期为
.选项B中的函数的周期为
.
因为
的周期为
,所以
的周期为
.选项D中的函数的周期为
.故选D.
5.（2021陕西铜川第一中学高一月考）已知函数
,则下列说法正确的是(
)
A.
是周期为
的奇函数
B.
是周期为
的偶函数
C.
是周期为
的偶函数
D.
是周期为
的非奇非偶函数
答案：
解析：
,排除选项B,
又
,
所以
,
所以
为非奇非偶函数.
6.函数
的最小正周期不大于2,则正整数
的最小值应是
.
答案：13
7.已知
,函数
为奇函数,则
等于
.
答案：
0
解析：
因为
在
上为奇函数,
所以
,所以
.
8.判断下列函数的奇偶性.
（1）
（2）
.
答案：
（1）易知
的定义域为
,关于原点对称,
因为
,
所以
．
所以函数
是奇函数．
（2）对任意
,
所以
.
所以
的定义域为
,关于原点对称.
因为
,
所以函数
是偶函数.
9.已知函数
.
（1）画出函数的简图;
（2）此函数是周期函数吗？若是,求其最小正周期;若不是,请说明理由.
答案：
（1）
函数图象如图所示：
（2）由图象知该函数是周期函数,最小正周期是
.
素养提升练
10.（2021湖南郴州高一检测）下列函数中是奇函数,且最小正周期为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
,得
为偶函数,故选项A不符合题意;
由
可知,
为偶函数,故选项B不符合题意;
由
可知,
为偶函数,故选项C不符合题意;
由
可知,
为奇函数,且最小正周期为
,
故选D.
11.（2021广东东莞高一检测）已知
,且
为偶函数,则
.
答案：
解析：因为
,
所以
,
又因为
为偶函数,
所以
,
所以
,
因为
,所以
.
12.设
是定义域为
,最小正周期为
的函数,若
则
.
答案：
解析：
.
13.（2021山东东营一中高一月考）已知
是最小正周期为
的偶函数,且当
时,
,则当
时,
的解析式为
．
答案：
解析：
当
时,
,
因为当
时,
,
所以
.
又
是以
为周期的偶函数,
所以
,
所以当
时,
的解析式为
.
创新拓展练
14.已知函数
为
上的偶函数,且
.
（1）求函数
的最小正周期,并分别计算
的值;
（2）函数
的图象是否关于直线
对称？请说明理由．
答案：（1）因为
满足
,
所以
,
故函数
的最小正周期为
.
由函数
是偶函数,且
,
可得
,
（2）函数
的图象关于直线
对称.理由如下：
由（1）知
．
又因为函数
为
上的偶函数,
所以
.
故函数
的图象关于直线
对称.
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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第1课时
周期性与奇偶性
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.
2.会求函数
及
的周期.
3.掌握
的奇偶性,会判断简单函数的奇偶性.
直观想象、数学运算——会用正弦函数、余弦函数的性质求周期、判断奇偶性.
自主学习·必备知识
要点一
周期性
一般地,设函数的
定义域为
,如果存在一个非零常数
,使得对每一个
都有
.那么函数
就叫做①
.非零常数
叫做这个函数的周期.
如果在周期函数
的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做
的②
.
正弦函数是周期函数，
都是它的周期，最小正周期是③
.类似地,余弦函数也是周期函数.
都是它的周期,最小正周期是④
.
要点二
奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
自主思考
1.已知函数
,存在一个非零常数
,使得对无数个
,都有
,那么非零常数
是不是这个函数的周期?
2.诱导公式
体现了函数的什么性质?
名师点睛
1.若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,若函数的图象关于
轴对称,则该函数是偶函数．
2.求形如
的函数图象的对称轴和对称中心时,常常运用换元法,令
,将函数转化为
求解.
互动探究·关键能力
探究点一
函数的周期性
精讲精练
例
求下列函数的最小正周期.
（1）
（2）
.
解题感悟
求函数最小正周期的常用方法
（1）定义法：利用周期函数的定义求解;
（2）公式法：形如
和
（其中
,为常数,且
）的函数的周期
;
（3）图象法：作出函数的图象,通过观察图象得到最小正周期.
迁移应用
1.设
,若函数
的最小正周期是
,则
.
2.求下列函数的最小正周期.
（1）
;
（2）
.
探究点二
函数的奇偶性
精讲精练
例
判断下列函数的奇偶性．
;
;
.
解题感悟
判断函数奇偶性的“三步曲”
一看：看函数的定义域是否关于原点对称;
二求：求
与
的关系;
三判断：
恒等式
奇偶性
偶函数
奇函数
,且
既是奇函数,又是偶函数
,且
非奇非偶函数
迁移应用
1.判断下列函数的奇偶性.
（1）
;
;
.
探究点三
函数周期性与奇偶性的综合运用
精讲精练
例
定义在
上的函数
既是偶函数,又是周期函数,若
的最小正周期为
,且当
时,
,则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
解题感悟
与三角函数奇偶性有关的结论
（1）要使
为奇函数,则
;
（2）要使
为偶函数,则
（3）要使
为奇函数,则
（4）要使
为偶函数,则则
;．
迁移应用
1.若
是奇函数,且
,当
时,
,求
的值.
评价检测·素养提升
1.函数
是(
)
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
2.如图所示的是定义在
上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是(
)
A.B.
C.D.
3.设函数
,则
是(
)
A.最小正周期为
的奇函数
B.最小正周期为
的偶函数
C.最小正周期为
的奇函数
D.最小正周期为
的偶函数
4.函数
是
上的周期为4的偶函数,且
,则
.
5.已知
为奇函数,且周期为
,若
,则
.
素养演练
直观想象——周期函数的求解和图象识别
1.已知定义在
上的偶函数
的最小正周期是
,当
时,
.
（1）求
的值;
（2）求
时
的解析式.
素养探究：直观想象就是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决问题的思维过程.三角函数的对称性问题常常通过数形结合解决.
迁移应用
1.设函数
满足
,则函数
的图象可以是(
)
A..B.
C.D.
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的图象关于(
)
A.
轴对称
B.原点对称
C.
轴对称
D.直线
对称
2.（2021陕西西安铁一中学高一月考）已知函数
是定义在
上的奇函数,则
的一个可能取值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020湖北恩施高一月考）函数
的大致图象是(
)
A.B.C.D.
4.下列函数中,周期为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2021陕西铜川第一中学高一月考）已知函数
,则下列说法正确的是(
)
A.
是周期为
的奇函数
B.
是周期为
的偶函数
C.
是周期为
的偶函数
D.
是周期为
的非奇非偶函数
6.函数
的最小正周期不大于2,则正整数
的最小值应是
.
7.已知
,函数
为奇函数,则
等于
.
8.判断下列函数的奇偶性.
（1）
.
9.已知函数
.
（1）画出函数的简图;
（2）此函数是周期函数吗？若是,求其最小正周期;若不是,请说明理由.
素养提升练
10.（2021湖南郴州高一检测）下列函数中是奇函数,且最小正周期为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
11.（2021广东东莞高一检测）已知
,且
为偶函数,则
.
12.设
是定义域为
,最小正周期为
的函数,若
则
.
13.（2021山东东营一中高一月考）已知
是最小正周期为
的偶函数,且当
时,
,则当
时,
的解析式为
．
创新拓展练
14.已知函数
为
上的偶函数,且
.
（1）求函数
的最小正周期,并分别计算
的值;
（2）函数
的图象是否关于直线
对称？请说明理由．
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5.4
三角函数的图象与性质
5.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第2课时
单调性与最值
课标解读
课标要求
素养要求
1.掌握
的单调性,并能利用单调性比较大小.
2.会求函数
及
(其中
为常数,且
)的单调区间.
3.掌握
的最大值与最小值,并会求简单函数的值域和最值.
1.直观想象——能利用正弦函数、余弦函数的单调性比较大小.
2.数学运算——会根据正弦函数、余弦函数的性质求解与单调性有关的问题.
自主学习·必备知识
要点一
单调性
正弦函数在每一个闭区间
上都①
,其值从-1②
到1;在每一个闭区间
上都③
,其值从1④
到-1.
余弦函数在每一个闭区间
上都⑤
,其值从-1⑥
到1;在每一个闭区间
上都⑦
,其值从1⑧
到-1.
要点二
最大值与最小值
正弦函数当且仅当
时取得最⑨
值1,当且仅当
时取得最⑩
值-1;
余弦函数当且仅当
时取得最?
值1,当且仅当
时取得最?
值-1.
自主思考
1.函数
和
的单调递减区间为
（其中
）,请求出
的值.
2.函数
在图象的什么位置取得最大（小）值？
名师点睛
1.函数
的单调递增区间不唯一.
2.函数
的最大值唯一,取最大值时的
的值不唯一.
3.对正弦、余弦（型）函数最值的三点说明
（1）明确正弦、余弦函数的有界性,即
.
（2）函数
的最值不一定是1或-1,要依据函数的定义域
来决定.
（3）求形如
的函数的最值,通常利用“整体代换”,即令
,将函数转化为
的形式求最值.
互动探究·关键能力
探究点一
正弦、余弦（型）函数的单调性
精讲精练
例
（1）函数
的单调递减区间为
.
（2）求函数
的单调区间.
解题感悟
正弦、余弦（型）函数的单调区间的求解技巧
（1）结合正弦、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间．
（2）确定函数
（或
的单调区间的方法：可采用“换元”法整体代换,若
则可利用诱导公式将
的系数转变为正数．
迁移应用
1.函数
,
的单调递增区间是(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
的单调递减区间为
.
探究点二
比较三角函数值的大小
精讲精练
例
比较下列各组数的大小．
与
;
与
与
.
解题感悟
比较三角函数值大小的步骤
（1）异名函数化为同名函数;
（2）利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上;
（3）利用函数的单调性比较大小．
迁移应用
1.比较下列各组数的大小.
（1）
与
与
;
与
.
解题感悟
（1）形如
（或
的函数,可利用正弦函数、余弦函数的有界性,注意对
正负的讨论．
（2）形如
（或
的函数,可先由定义域求得
的范围,然后求得
（或
的范围,最后求得值域（最值）．
（3）形如
的函数,可利用换元思想,设
,转化为二次函数
求最值．
的范围需要根据定义域来确定．
迁移应用
1.求下列函数的最大值和最小值.
（1）
;
（2）
.
评价检测·素养提升
1.
的值域是(
)
A.
B.
,
C.
D.
2.函数
在区间
上(
)
A.单调递增
B.单调递减
C.先减后增
D.先增后减
3.函数
的最大值为
,此时自变量的取值集合为
.
4.
从大到小排序为
.
5.求函数
的单调递增区间.
素养演练
直观想象——正弦函数的对称性
1.函数
的图象的对称轴方程是
,对称中心的坐标是
.
解析：思：正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点,即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值;正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与
轴的交点,即此时的正弦值、余弦值为0.通过该类问题,培养直观想象的核心素养．
迁移应用
1.当
时,函数
取得最小值,则函数
是(
)
A.奇函数且图象关于点
对称
B.偶函数且图象关于点
对称
C.奇函数且图象关于直线
对称
D.偶函数且图象关于点
对称
课时评价作业
基础达标练
1.函数
的最大值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.下列关系式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
3.若函数
同时满足下列三个性质：①最小正周期为
;②图象关于直线
对称;③在区间
上是增函数.则
的解析式可以是(
)
A.
B.
C.
D.
4.若
在区间
上的最大值为
,则
的值为(
)
A.1
B.2
C.
D.
5.（2020陕西延安第一中学高一检测）下列函数中既是偶函数又在
上是增函数的是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（2021陕西榆林高一检测）设函数
,则下列结论错误的是(
)
A.
的一个周期为
B.
的图象关于直线
对称
C.
的一个零点为
D.
在
内单调递减
7.函数
的最大值为
.
8.函数
的值域为
.
9.
的最大值为5,则
.
10.（2021吉林四平高一月考）已知函数
是奇函数,且
.
（1）求
;
（2）求函数
的单调增区间.
素养提升练
11.（多选）（2020山东聊城检测）若函数
在
上单调递增,则
可以是(
)
A.1
B.2
C.
D.
12.已知函数
,其中
,若
的值域是
,则实数
的取值范围是
.
13.（2021黑龙江漠河一中高一月考）已知函数
在区间
上是增函数,则下列结论正确的是
（将所有符合题意的序号填在横线上）．
①函数
在区间
上是增函数;
②满足条件的正整数
的最大值为3;
③
.
14.已知函数
的最大值为
,最小值为
.
（1）求
的值;
（2）求函数
的最小值,并求出对应的
的取值集合.
15.已知
,是否存在常数
,使得
的值域为
？若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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