资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
5.5
三角恒等变换
5.5.2
简单的三角恒等变换
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想.
3.掌握辅助角公式及其应用.
数学运算——能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明.
加练课6
三角恒等变换的综合应用
学习目标
进一步掌握三角函数公式,熟练地进行三角恒等变换,进而求解相关问题.
自主检测·必备知识
一、概念辨析,判断正误
1.
.(
×
)
2.存在
,使得
成立.(
√
)
3.
(
√
)
4.对任意
都成立.(
×
)
5.对于任意的角
都不成立.(
×
)
二、夯实基础,自我检测
6.下列各式中,值为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
.
.
.故选B.
7.
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：原式
.
8.
.
答案：
9.
.
答案：
10.已知
,则
.
答案：
解析：由已知得
,解得
,
所以
.
互动探究·关键能力
探究点一
灵活变角思想的应用
精讲精练
类型1
和与差变换
例1
已知
,且
,则
的值为
.
答案：
解析：因为
,
所以
,
所以
,
,
所以
,
所以
.
解题感悟
用已知的角来表示未知的角,再利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式展开,进而解决此类问题.
拆角、拼角技巧：
；
；
；
类型2
倍角与半角变换
例2
已知函数
,则
的最大值和最小值分别为
.
答案：
2,-1
解析：
.
因为
,
所以当
时,
取得最大值2;
当
时,
取得最小值-1.
故
的最大值和最小值分别为2,-1.
解题感悟
与半角和倍角有关的三角函数问题,主要是用二倍角公式的正用、逆用或变形用解决,特别是二倍角的余弦公式.
迁移应用
1.已知锐角
满足
,则
的值为
.
答案：
解析：因为
是锐角,所以
,所以
.
因为
,所以
,
所以
.
因为
,所以
,
所以
.
2.已知函数
,则
的最小正周期为
.
答案：
解析：
,
所以
的最小正周期
.
探究点二
整体换元思想的应用
精讲精练
例
求函数
的最值及取到最值时
的值.
答案：设
,
则
,
所以
,
所以
.
则
.
当
即
时,
.
此时,由
,解得
或
.
当
,即
时,
.
此时,由
,
得
.
综上,当
或
时,
取得最小值,
;
当
时,
取得最大值,
.
解题感悟
在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设出来,要特别注意新元的取值范围.
迁移应用
1.求函数
的值域.
答案：令
,
则
,所以
,
又
所以
.当
时,
当
时,
.
综上,函数
的值域为
.
探究点三
构建方程（组）思想的应用
精讲精练
例
已知锐角三角形
中,
.
（1）求
;
（2）设
,求
边上的高.
答案：（1）因为
,
所以
所以
所以
.
（2）因为
,
所以
,
即
.
将
代入上式并整理得,
,
解得
（负值舍去）,
所以
.
设
边上的高为
,
则
,
由
,得
,
所以
边上的高等于
.
解题感悟
在三角恒等变换中,需将所求三角函数或一个代数式整体视为一个“元”,参与计算和推理,由已知条件化简,变形构造方程（组）,应用方程思想求解变量的值.
迁移应用
1.设当
时,函数
取得最大值,求
的值.
答案：由题意得
.
设
,
则
.
因为
,所以
,所以
.
又因为
时,
取得最大值,
所以
.
又
,
所以
即
.
评价检测·素养提升
1.若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
可得,
，
,故选D.
2.（2020延边高一检测）已知锐角
满足
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
为锐角,
,
,
所以
,
所以
.
3.（2021山西朔州高一期末）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
得
,
因为
,所以
因此
可化为
,
又
所以
解得
.故选B.
4.已知
,则
.
答案：
解析：因为
,所以
.
所以
,解得
.
素养演练
逻辑推理、数学运算——求角的大小
1.(2020湖北荆州高一检测)设
,且
,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：由
,得
,
即
,
所以
.
因为
,
所以
,
,
由
,得
,所以
.故选B.
素养探究：本题考查同角三角函数间的基本关系,两角差的正弦公式.在有范围限制的情况下求三角函数值或角的题目中,容易因为忽略角的范围而产生增根．考查数学运算、逻辑推理核心素养.
迁移应用
1.已知
,则
的值为
,
的值为
.
答案：1;
解析：由
,
得
,则
.
所以
.
因为
,
所以
,
所以
.
2.已知
,且
,则角
的值为
.
答案：
或
解析：因为
,
,
所以原式可化为
,
解得
或
.
因为
,
所以
,
故
或
,
即
或
.
课时评价作业
基础达标练
1.
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2021云南玉溪一中高一月考）
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2020广东广州高一测试）已知
为锐角,
,则
(
)
A.
B.3
C.
D.-3
答案：
4.若
都是锐角,且
,则
(
)
A.
B.
C.
或
D.
答案：
解析：因为
都是锐角,
且
,
所以
,
从而
,故选A.
5.（多选）若
,则
的可能值是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
解析：
由题意得,
,
所以
或
都合适.
6.（多选）（2021山东日照高一检测）下列几个式子,结果为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
;
解析：对于
,因为
,
所以
所以
对于
原式
对于
,原式
;
对于
原式
.故选AB
.
7.（2021河南洛阳高一检测）已知
,则
.
答案：
解析：由
,得
,所以
,从而
.
8.（2021河南豫南高一期末）
.
答案：2
解析：
.
9.（2021湖南岳阳一中高一期末）已知函数
.
（1）求函数
的最大值及相应的
的值;
（2）求函数
的单调增区间.
答案：（1）
,
当
,即
时,
.
（2）由题意得,
,即
,
所以函数
的单调增区间为
.
素养提升练
10.已知
均为锐角,且
,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,
所以
,
展开可得
,整理得
,两边同时除以
,
得
,故选A.
11.(2020湖南湘东高一测试)已知
,则
等于(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
答案：
解析：因为
,
所以
,
所以
,
所以
,
所以
.故选C.
12.(2021河北邯郸高一期末)已知
,
，则
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
,故选B.
创新拓展练
13.已知函数
.
（1）求函数
在区间
上的最值;
（2）若
,求
的值.
解析：命题分析
本题考查两角和的正弦公式,正弦函数的性质,二倍角的正弦、余弦公式,考查直观想象、数学运算的核心素养.
答题要领
（1）先利用两角和的正弦公式将
变形,再利用正弦函数的图象与性质求
在区间
上的最值;
（2）用二倍角的正弦、余弦公式求
,最后用两角差的正弦公式求
的值
答案：（1）由题意得
.
因为
,所以
,所以
,
所以
,
即函数
在区间
上的最大值为
,最小值为
.
（2）因为
,
所以
,所以
,
所以
.
方法感悟
三角函数在给定区间上的最值问题,一般是根据三角函数公式将函数转化为
的形式,再利用正弦函数的图象性质求解.
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5.5
三角恒等变换
5.5.2
简单的三角恒等变换
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想.
3.掌握辅助角公式及其应用.
数学运算——能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明.
加练课6
三角恒等变换的综合应用
学习目标
进一步掌握三角函数公式,熟练地进行三角恒等变换,进而求解相关问题.
自主检测·必备知识
一、概念辨析,判断正误
1.
.(
)
2.存在
,使得
成立.(
)
3.
(
)
4.对任意
都成立.(
)
5.对于任意的角
都不成立.(
)
二、夯实基础,自我检测
6.下列各式中,值为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
7.
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
8.
.
9.
.
10.已知
,则
.
互动探究·关键能力
探究点一
灵活变角思想的应用
精讲精练
类型1
和与差变换
例1
已知
,且
,则
的值为
.
解题感悟
用已知的角来表示未知的角,再利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式展开,进而解决此类问题.
拆角、拼角技巧：
；
；
；
类型2
倍角与半角变换
例2
已知函数
,则
的最大值和最小值分别为
.
解题感悟
与半角和倍角有关的三角函数问题,主要是用二倍角公式的正用、逆用或变形用解决,特别是二倍角的余弦公式.
迁移应用
1.已知锐角
满足
,则
的值为
.
2.已知函数
,则
的最小正周期为
.
探究点二
整体换元思想的应用
精讲精练
例
求函数
的最值及取到最值时
的值.
解题感悟
在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理,这个“元”可以明确地设出来,要特别注意新元的取值范围.
迁移应用
1.求函数
的值域.
探究点三
构建方程（组）思想的应用
精讲精练
例
已知锐角三角形
中,
.
（1）求
;
（2）设
,求
边上的高.
解题感悟
在三角恒等变换中,需将所求三角函数或一个代数式整体视为一个“元”,参与计算和推理,由已知条件化简,变形构造方程（组）,应用方程思想求解变量的值.
迁移应用
1.设当
时,函数
取得最大值,求
的值.
评价检测·素养提升
1.若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020延边高一检测）已知锐角
满足
,则
的值为(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021山西朔州高一期末）已知
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
4.已知
,则
.
素养演练
逻辑推理、数学运算——求角的大小
1.(2020湖北荆州高一检测)设
,且
,则(
)
A.
B.
C.
D.
素养探究：本题考查同角三角函数间的基本关系,两角差的正弦公式.在有范围限制的情况下求三角函数值或角的题目中,容易因为忽略角的范围而产生增根．考查数学运算、逻辑推理核心素养.
迁移应用
1.已知
,则
的值为
,
的值为
.
2.已知
,且
,则角
的值为
.
课时评价作业
基础达标练
1.
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2021云南玉溪一中高一月考）
(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2020广东广州高一测试）已知
为锐角,
,则
(
)
A.
B.3
C.
D.-3
4.若
都是锐角,且
,则
(
)
A.
B.
C.
或
D.
5.（多选）若
,则
的可能值是(
)
A.
B.
C.
D.
6.（多选）（2021山东日照高一检测）下列几个式子,结果为
的是(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2021河南洛阳高一检测）已知
,则
.
8.（2021河南豫南高一期末）
.
9.（2021湖南岳阳一中高一期末）已知函数
.
（1）求函数
的最大值及相应的
的值;
（2）求函数
的单调增区间.
素养提升练
10.已知
均为锐角,且
,则(
)
A.
B.
C.
D.
11.(2020湖南湘东高一测试)已知
,则
等于(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
12.(2021河北邯郸高一期末)已知
,
，则
的值等于(
)
A.
B.
C.
D.
创新拓展练
13.已知函数
.
（1）求函数
在区间
上的最值;
（2）若
,求
的值.
方法感悟
三角函数在给定区间上的最值问题,一般是根据三角函数公式将函数转化为
的形式,再利用正弦函数的图象性质求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
5.5
三角恒等变换
5.5.2
简单的三角恒等变换
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想.
3.掌握辅助角公式及其应用.
数学运算——能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明.
自主学习·必备知识
要点一
半角公式
.
.
.
要点二
积化和差公式与和差化积公式
1.积化和差公式：
.
.
.
.
2.和差化积公式:
.
.
.
.
自主思考
1.如何根据
求
?
2.如何根据
求
?
3.试判断
和
+
的大小.
名师点睛
1.
与
,
的关系为
.
2.三角函数式的化简要将异角化同角,复角化单角,异次化同次等,化简要求是项数尽量少,次数尽量低,函数种类尽量少,能求值的必须求出函数值,数值结果也要化为最简形式．遵循“三看”原则：
（1）一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
（2）二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
（3）三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等．
3.辅助角公式
一般地,辅助角
的取值范围是（0,
）.辅助角公式中,
的终边经过点
,且
（或由
和
共同确定）.
互动探究·关键能力
探究点一
半角公式的应用
精讲精练
例已知
,且
,求
.
解题感悟
已知
的某个三角函数值,求关于
的三角函数值的一般步骤：
（1）根据
的取值范围,利用同角三角函数的基本关系式求得
的其他三角函数值;
（2）注意
的取值范围,代入半角公式计算即可.
迁移应用
1.已知
,则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
探究点二
积化和差公式与和差化积公式的应用
精讲精练
例
（1）把下列各式化成和或差的形式.
①
；
②
.
解题感悟
应用三角恒等变换化简时的注意事项
1.观察分析三角函数式中的各角的联系（互余或互补）,可以利用诱导公式变角和变名,对三角函数式进行化简.
2.观察三角函数式的名称和结构,灵活对公式进行正用、逆用或变形用.
迁移应用
1.把下列各式化成和或差的形式.
（1）
（2）
.
2.把下列各式化成积的形式.
（1）
;
（2）
.
探究点三
辅助角公式的应用
精讲精练
例
（2020山东潍坊高一检测）已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期;
（2）求函数
的最大值以及相应的
的值.
解题感悟
形如
的函数,都可以化为
的形式.
若
,则可以先利用三角函数的诱导公式变角和变名后,再化简.
迁移应用
（2021湖北天门高一期末）已知函数
.
（1）写出
的单调区间;
（2）求
在
上的值域.
评价检测·素养提升
1.已知
,则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
2.函数
，则
(
)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
3.化简：
(
)
A.
B.
C.
D.
4.化简：
.
5.已知函数
图象的一条对称轴是直线
,则函数
的最大值是
.
素养演练
数学运算——三角恒等变换公式的应用
1.已知
,求
和
的值.
思：本题两种解法的比较:求
利用解法一简单,求
利用解法二简单.一般地,已知两个三角函数值的和与差,求两角和与差的正弦值或余弦值,往往采用和差化积或者平方后求和与差的方法进行运算.
迁移应用
1.已知
,求
的值.
课时评价作业
基础达标练
1.设
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
2.（2020河南安阳林州一中高一月考）设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
3.（2021河北邢台高一检测）已知
,则
的值为(
)
A.
B.
C.1
D.0
4.已知
,且
,则
(
)
A.
B.9
C.-3
D.3
5.（多选）（2020山东高唐第一中学高一检测）已知函数
,则下列说法中正确的有(
)
A.
的最大值为2
B.
的最小正周期为
C.
的图象关于直线
对称
D.
在
上单调递增
6.（2020吉林延边第二中学高一月考）在
中,若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
7.（2021江西上饶高一期中）已知函数
,当
时,
取得最大值,则
的值为
.
8.若
,则
.
9.已知
.
（1）求
;
（2）求
的值.
10.求值：
.
素养提升练
11.（2021安徽芜湖高一期末）设函数
在区间
上的最小值为-4,则
的值等于(
)
A.4
B.-6
C.-4
D.-3
12.（2020湖北黄冈高一检测）在
中,若
,则下列等式中一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
13.（2021北京人大附中高一期末）函数
的最大值为
.
14.
.
15.求证：
.
创新拓展练
16.设函数
的图象关于直线
对称,其中
为常数,且
.
（1）求函数
的最小正周期;
（2）若
的图象经过点
,求函数
的值域.
方法感悟
解决三角函数图象与性质的综合问题的方法：先将
化为
的形式,然后用辅助角公式化为
的形式,再借助
的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
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人教A版（2019）
必修第一册
5.5三角恒等变换
5.5.2
简单的三角恒等变换
学习目标
能用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
两角差的余弦公式
【尝试】尝试用和(差)角公式、二倍角公式两个工具进行三角恒等变换
（1）试用cosα表示
，
,
?
?
?
解：在倍角公式
中，用α代替2α，用
代替α，得
?
?
?
所以
?
在倍角公式
中，用α代替2α，用
代替α，得
?
?
?
所以
?
作商，得
?
两角差的余弦公式
【半角公式】刚才的结果还可以表示为：
?
?
?
以上三个公式称为半角公式，符号由α所在象限决定
【记忆方法】半角公式带根号，是正是负看半角；
1
加或者减余弦，根号分母都是
2
.
【问题】
与
之间有什么关系？
?
【解答】
?
两角差的余弦公式
【万能公式】万能公式是半角的正切与一倍角之间的互换公式：
有了万能公式，只需要知道一个角的正切，就可以求出二倍角的正弦余弦正切值.
?
?
?
【例1】求证：
【证明】(1)因为
?
?
?
(1)+(2)得
?
即
?
(2)
由(1)有
?
设
，则有
?
?
代入①中，有
?
换元法
即时巩固
【例2】已知
，且
，求
和
的值.
【解】∵
，∴
?
?
?
∴
?
∴
?
?
即时巩固
【例3】已知一个等腰三角形的顶角的余弦等于
，求这个三角形的底角的正切.
【解】设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有
?
?
由题意知
，
?
所以
?
?
?
所以
即时巩固
【例4】求下列函数的周期、最大值和最小值.
【解】
辅助角公式
?
?
?
?
即周期为2π,最大值为2,最小值为-2.
?
?
令
，则
，所以
?
?
即
，周期为2π，最大值为5，最小值为-5
?
即时巩固
积化和差公式与和差化积公式
①积化和差公式
?
?
?
?
积化和差公式与和差化积公式
②和差化积公式
?
?
?
?
?
?
【题】化简：
①三角函数式的化简
?
【解】∵
，∴
?
?
又∵
，且
?
?
∴原式=
?
∵
，∴
，所以
，原式=
?
?
?
?
常见题型汇总
【题】已知α为钝角，β为锐角，且
，
，求
的值.
②三角函数式的求值
【解】因为α为钝角，β为锐角，
，
，所以
?
?
?
?
所以
?
因为
,所以
，即
?
?
?
所以
?
常见题型汇总
【题】已知
,求证:
③三角函数式的证明
【解】由题意有
?
?
?
?
?
；②2-①2，得
?
?
?
?
?
?
常见题型汇总
【题】已知在△ABC中，
,求证：△ABC是直角三角形
④在三角形中的应用
【证明】由题意有
，∴
常见题型汇总
?
?
?
利用和差化积公式，得
?
又∵
，∴
?
∵
，∴
，两边平方，得
?
?
?
即
，∴
?
?
∴
，即
或
.
A或者B有一个为直角
?
?
∴△ABC是直角三角形
随堂小测
课堂小结
1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.
3.研究形如f(x)＝asin
x＋bcos
x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，
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5.5
三角恒等变换
5.5.2
简单的三角恒等变换
课标解读
课标要求
素养要求
1.能用二倍角公式推导出半角公式.
2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧,掌握三角恒等变换的基本思想.
3.掌握辅助角公式及其应用.
数学运算——能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及证明.
自主学习·必备知识
要点一
半角公式
.
.
.
要点二
积化和差公式与和差化积公式
1.积化和差公式：
.
.
.
.
2.和差化积公式:
.
.
.
.
自主思考
1.如何根据
求
?
答案：提示
.
2.如何根据
求
?
答案：提示
.
3.试判断
和
+
的大小.
答案：提示︰
因为
·
,且
,所以
.
名师点睛
1.
与
,
的关系为
.
2.三角函数式的化简要将异角化同角,复角化单角,异次化同次等,化简要求是项数尽量少,次数尽量低,函数种类尽量少,能求值的必须求出函数值,数值结果也要化为最简形式．遵循“三看”原则：
（1）一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
（2）二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”;
（3）三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,如“遇到分式要通分”等．
3.辅助角公式
一般地,辅助角
的取值范围是（0,
）.辅助角公式中,
的终边经过点
,且
（或由
和
共同确定）.
互动探究·关键能力
探究点一
半角公式的应用
精讲精练
例已知
,且
,求
.
答案：因为
所以
即
是第二象限角,所以
所以
.
解题感悟
已知
的某个三角函数值,求关于
的三角函数值的一般步骤：
（1）根据
的取值范围,利用同角三角函数的基本关系式求得
的其他三角函数值;
（2）注意
的取值范围,代入半角公式计算即可.
迁移应用
1.已知
,则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,所以
.
探究点二
积化和差公式与和差化积公式的应用
精讲精练
例
（1）把下列各式化成和或差的形式.
①
；
②
.
答案：（1）①原式
.
②原式
.
（2）把下列各式化成积的形式.
①
；
②
.
答案：（2）①原式
.
②原式
.
解题感悟
应用三角恒等变换化简时的注意事项
1.观察分析三角函数式中的各角的联系（互余或互补）,可以利用诱导公式变角和变名,对三角函数式进行化简.
2.观察三角函数式的名称和结构,灵活对公式进行正用、逆用或变形用.
迁移应用
1.把下列各式化成和或差的形式.
（1）
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
2.把下列各式化成积的形式.
（1）
;
（2）
.
答案：（1）原式
.
（2）原式
.
探究点三
辅助角公式的应用
精讲精练
例
（2020山东潍坊高一检测）已知函数
.
（1）求函数
的最小正周期;
（2）求函数
的最大值以及相应的
的值.
答案：（1）
.
函数
的最小正周期
.
（2）函数
的最大值为2,
由
,得
,所以函数
取得最大值2时,相应的
的值为
.
解题感悟
形如
的函数,都可以化为
的形式.
若
,则可以先利用三角函数的诱导公式变角和变名后,再化简.
迁移应用
（2021湖北天门高一期末）已知函数
.
（1）写出
的单调区间;
（2）求
在
上的值域.
答案：（1）
.
由
,
得
.
由
,
得
.
综上,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
.
（2）由（1）知
,因为
,所以
,
所以
,
所以函数
在
上的值域为
.
评价检测·素养提升
1.已知
,则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.函数
，则
(
)
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
答案：
3.化简：
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.化简：
.
答案：1
解析：原式
.
5.已知函数
图象的一条对称轴是直线
,则函数
的最大值是
.
答案：
解析：由于函数
的图象关于直线
对称,
则
,
所以
,解得
,
所以
,所以
.
素养演练
数学运算——三角恒等变换公式的应用
1.已知
,求
和
的值.
审：要求两角差与和的余弦值,可以将条件等式进行变形再运算.
联：联想和差化积公式,对三角函数的名称进行变换.
答案：解：解法一：由
两边平方,得
①
,
由
两边平方,得
②
,
得
.
得
③
,
即
,
所以
.
解法二：由和差化积公式,得
,
,
得
即
,
所以
.
得⑥
,
所以
.
思：本题两种解法的比较:求
利用解法一简单,求
利用解法二简单.一般地,已知两个三角函数值的和与差,求两角和与差的正弦值或余弦值,往往采用和差化积或者平方后求和与差的方法进行运算.
迁移应用
1.已知
,求
的值.
答案：因为
,
所以
.
因为
,
所以
.
易知
,
所以
,
所以
,
所以
.
课时评价作业
基础达标练
1.设
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
2.（2020河南安阳林州一中高一月考）设
,则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
3.（2021河北邢台高一检测）已知
,则
的值为(
)
A.
B.
C.1
D.0
答案：
解析：
,
则函数
的最小正周期为
,
且
，
所以
4.已知
,且
,则
(
)
A.
B.9
C.-3
D.3
答案：
解析：由
,得
,所以
.
5.（多选）（2020山东高唐第一中学高一检测）已知函数
,则下列说法中正确的有(
)
A.
的最大值为2
B.
的最小正周期为
C.
的图象关于直线
对称
D.
在
上单调递增
答案：
;
;
解析：因为
,
所以
,函数
的最小正周期
.故A中说法错误,B中说法正确.
当
时,
,所以直线
为
图象的一条对称轴.故C中说法正确.
当
时,
,所以
在
上单调递增.故D中说法正确.故选BCD.
6.（2020吉林延边第二中学高一月考）在
中,若
,则
(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：
.
7.（2021江西上饶高一期中）已知函数
,当
时,
取得最大值,则
的值为
.
答案：1
解析：因为
,其中
,
所以
依题意
，解得
.
8.若
,则
.
答案：
解析：由题意得
,
,
故
.
9.已知
.
（1）求
;
（2）求
的值.
答案：（1）因为
,所以
，
又因为
,所以
,
所以
.
（2）
.
10.求值：
.
答案：原式
.
素养提升练
11.（2021安徽芜湖高一期末）设函数
在区间
上的最小值为-4,则
的值等于(
)
A.4
B.-6
C.-4
D.-3
答案：
解析：
.
当
时,
,
所以
,所以
.
12.（2020湖北黄冈高一检测）在
中,若
,则下列等式中一定成立的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
解析：因为
,
所以
,所以
.
因为
,
所以
,
所以
,所以
.
13.（2021北京人大附中高一期末）函数
的最大值为
.
答案：
解析：因为
其中
,
因此函数
的最大值为
.
14.
.
答案：
解析：
.
15.求证：
.
答案：证明
左边
右边,
所以原等式成立.
创新拓展练
16.设函数
的图象关于直线
对称,其中
为常数,且
.
（1）求函数
的最小正周期;
（2）若
的图象经过点
,求函数
的值域.
解析：命题分析
本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,函数的值域,考查运算求解的能力,考查直观想象与数学运算的核心素养.
答题要领
（1）先由二倍角公式,两角差的正弦公式将
转化为
,再根据其图象关于直线
对称求
的值,由周期公式求
的最小正周期.
（2）根据
的图象经过点
,求
的值,由正弦函数的性质求值域.
答案：（1）因为
.
由直线
是
图象的一条对称轴,
可得
.
所以
,
即
.
又
,所以
,所以
的最小正周期是
.
（2）由（1）知,
,由
的图象过点
,
得
,即
,
故
,
所以函数
的值域为
.
方法感悟
解决三角函数图象与性质的综合问题的方法：先将
化为
的形式,然后用辅助角公式化为
的形式,再借助
的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
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