资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
5.1
任意角和弧度制
5.1.2
弧度制
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，熟悉特殊角的弧度数.
1.数学运算——会进行弧度制与角度制的转换.会求扇形的弧长和扇形的面积.
2.直观想象——会根据题意作出扇形.
自主学习·必备知识
要点一
角度制
角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的
.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做①
角度制
.
要点二弧度制
规定;长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号
表示，读作弧度，即在半径为
的圆中，弧长为
的弧所对的圆心角为
，那么
，其中
，
的正负由角
的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个②
正数
，负角的弧度数是一个③
负数
，零角的弧度数是0
要点三弧度与角度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）;用角度制和弧度制度量任―非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是
，而在角度制下的度数是360，所以
，
④
，
，反过来有
⑤
要点四特殊角的度数与弧度数度
度
弧度
0
⑥
⑦
⑧
要点五
角度制与弧度制下的扇形的弧长公式与面积公式
半径为
.圆心角为
的扇形的弧长公式和面积公式分别是
⑨
，
⑩
，将
转换为弧度，得
，于是，
?
，将
代人上式，即得
.
自主思考
1.1弧度的角=1度的角，这种说法正确吗?
答案：提示错误.1弧度的角与1度的角所指的含义不同，大小也不同.
2.角的大小与圆的半径有关吗?
答案：提示无关.
3.“度”与“弧度"都是角的度量单位，能省略吗?
答案：提示用“度”"作为角的度量单位时，“度”(即“
”)不能省略，而用“弧度”作为角的度量单位时，“弧度”二字或“
”通常省略不写.
名师点睛
1.以“弧度”为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如
，就是说
是2弧度，以“度”为单位表示角的大小时，“度”不能省略.
2.在应用扇形面积公式
时，要注意
的单位是“弧度”.
3.由
中任意的两个量可以求出另外的两个量.
互动探究·关键能力
探究点一
角度与弧度的换算
精讲精练
例已知
试比较
的大小.
答案：
因为1弧度
所以
因为
所以
.
解题感悟
角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式
是关键，由它可以得到：度数
弧度数，弧度数
度数．
迁移应用
1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
（1）
（2）
（3）2；（4）
.
答案：（1）
.
（2）
.
（3）
.
（4）
.
探究点二
用弧度制表示角
精讲精练
例（1）用弧度制表示与
角终边相同的角
的集合为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角
的集合为
.
答案：
（1）
（2）
解析：（1）
，故与
角终边相同的角的集合为
.故选D.
（2）终边落在射线
上的角为
即
.
终边落在射线
上的角为
即
，
故终边落在阴影部分内（包括边界）的角
的集合为
.
解题感悟
弧度制下与角
终边相同的角的表示
在弧度制下，与角
的终边相同的角可以表示为
即与角
终边相同的角可以表示成
加上
的整数倍.
迁移应用
1.用弧度制表示终边落在下列如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
（1）
（2）
答案：（1）
角的终边与
角的终边相同，将
化为弧度，即
，因为
，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
（2）因为
，这两个角的终边所在的直线相同，所以终边在直线
上的角为
，又终边在
轴上的角为
，
所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
.
探究点三
扇形的弧长和面积问题
精讲精练
例（易错题）已知扇形的半径为rcm，面积为
，扇形的周长为
.
（1）求函数
的解析式与定义域；
（2）求
的最大值以及对应的圆心角的绝对值.
答案：（1）设扇形的弧长为l，依题意，得
，即
，
所以
.
设扇形的圆心角为
，显然
，
由
，得
，
所以
由
，
解得
，
所以函数
的定义域为
.
（2）由（1）得
，当且仅当
时，
.
此时
，对应的圆心角的绝对值
易错警示
在求关于扇形面积的函数的定义域时，常因忽视圆心角的取值范围，将半径的取值范围扩大为
而出现错误.
解题感悟
弧度制下的扇形问题
（1）弧度制下扇形的面积公式是
（其中
是扇形的弧长，
是扇形的半径，
是扇形的圆心角的弧度数）．
（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程（组）求解．注意：运用弧度制下的扇形的弧长公式及面积公式的前提是
为弧度．
迁移应用
1.已知扇形的周长为
，圆心角为
，则扇形的面积为
.
答案：
解析：
设扇形的半径为
，弧长为
，由圆心角为
，依据弧长公式可得
，从而扇形的周长为
，解得
，则
，故扇形的面积
.
2.已知一半径为
的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么该扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
答案：
设扇形的弧长为l，由题意得
，所以
，所以扇形的圆心角是
，扇形的面积是
评价检测·素养提升
课堂检测
1.下列命题中正确的是(
)
A.“度”与“弧度”是度量角的相同的度量单位
B.
的角是周角的
的角是周角的
C.
的角比
的角要大
D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
答案：
2.若
，则
是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
答案：
3.时针经过一小时，转过的角为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
4.
化为弧度为
，
化为角度为
.
答案：
;
解析：
.
5.一个扇形的面积为
，周长为
，求圆心角的弧度数．
答案：
设扇形的半径为
，弧长为
，圆心角为
，则
.
根据扇形的面积公式
，
得
.联立得
解得
，所以
.
素养演练
数学运算——图形的识别、解读和计算
1.（2020山东济南高一期末）《九章算术》是体现我国古代数学成就的著作，其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式:弧田的面积
（弦×矢+矢
弧田（如图中的阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”为半径与圆心到弦的距离之差，现有弧长为
米，半径为2米的弧田，则按照上述经验公式计算得到的弧田的面积是
平方米，这个值与真实值的差是
平方米.
答案：
;
解析：审：利用《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式及已知条件求出弧田的面积并计算出其与利用扇形的面积公式计算出的真实值的差.
体联：先由
求
的值，再由经验公式计算弧田的面积，然后由扇形的面积减去三角形
的面积求弧田（即弓形）面积的真实值，最后计算差值.
解：如图，设扇形的弧长为
，半径为
，由弧长为
米，半径为2米，得圆心角的弧度数的绝对值
在
中，可得
，
米，
米，矢=②2-1=1（米），
弧田的面积
（弦×矢+矢
（平方米），
弧田（即弓形）面积的真实值
（平方米），
（平方米）.
思：解答本类题必须结合扇形的概念和几何性质，应用隐含条件解题，过程中体现了数学运算的核心素养.
迁移应用
1.（2020山东枣庄高一模块检测）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年.某地广场成了鲜花的海洋，其中有一个用鲜花摆成的扇形图案，如图，圆分别与扇形的半径和弧相切，圆内为红花，其余区域为黄花.已知扇形的圆心角为
，半径
米，则黄花所在区域的面积为
平方米.
答案：
解析：
设圆的圆心为
，圆与扇形的半径
的切点分别为
，圆与扇形的弧的切点为
，连接
，如图.
设圆的半径为
米，则在
中，
所以
，
所以
，解得
.
所以圆的面积
（平方米），又扇形的面积
（平方米），
所以黄花所在区域的面积等于
（平方米）.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021山东济宁高一检测）若
，则
的终边所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
2.下列说法中错误的是(
)
A.半圆所对的圆心角是
B.周角的大小等于
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案：
3.角
是
内的角，则角
所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：
4.（多选）下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
;
5.（2021山东临沂高一检测）集合
中角的终边所在的范围（图中阴影区域）是(
)
A.B.
C.D.
答案：
解析：当
为偶数时，集合
对应的区域为第一象限内直线
的左上部分（包含边界）;
当
为奇数时，集合
对应的区域为第三象限内直线
的右下部分（包含边界）.故选C.
6.（2021山东梁山一中、嘉祥一中高一期末）已知扇形的周长为
，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
7.用弧度制表示终边落在
轴上方的角的集合为
.
答案：
8.线段
的长度为3，将
绕点
顺时针旋转
得到扇形的圆心角的弧度数为
，扇形的面积为
.
答案：
;
解析：
由题意得扇形的圆心角
，故扇形的面积
.
9.若角
的终边与角
的终边关于直线
对称，且
，则
的取值集合为
.
答案：
解析：
与
终边相同的角的集合为
.
因为
，所以
，化简得
.
因为
，所以
，
所以
，所以
的取值集合为
.
10.已知
.
（1）把
改写成
的形式，并指出
是第几象限角;
（2）若
与
的终边相同，且
，求
的值.
答案：
（1）因为
且
所以
.
因为
与
角的终边相同，所以
是第四象限角.
（2）由（1）知与
终边相同的角可表示为
，因为
与
的终边相同，
所以
.
又
，所以
，
解得
，所以
.
素养提升练
11.（多选）下列表示中正确的是(
)
A.终边在
轴上的角的集合是
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线
上的角的集合是
答案：
;
;
解析：
，B中表示显然正确;
对于
，终边在
轴上的角的集合为
，终边在
轴上的角的集合为
，其并集为
，故C中表示正确;
对于
，终边在直线
上的角的集合为
，其并集为
，故D中表示不正确.
12.已知集合
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
13.如果一个扇形的半径变为原来的一半，弧长变为原来的
倍，那么该弧所对的圆心角是原来的
倍.
答案：
3
解析：
设扇形的半径为
，弧长为
，则圆心角的弧度数为
.将半径变为原来的一半，弧长变为原来的
倍，则圆心角的弧度数变为
，即圆心角变为原来的3倍.
14.工艺扇面是中国书画的一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面的圆心角为
，外圆半径为
，内圆半径为
，则制作这样一面扇面需要的布料为
.（仅考虑正面，用数字作答，
）
答案：
2198
解析：
因为
，所以大扇形的面积
，小扇形的面积
，
所以扇面的面积
.
创新拓展练
15.如图所示，已知长为
，宽为
的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一个小木块挡住，使木板一边与桌面成
角.求点
走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
答案：
解析：命题分析
本题以“长方形木板在桌面上做无滑动翻滚”为背景考查扇形的相关知识，考查运算求解的能力，考查直观想象与数学运算的核心素养.
答题要领
先根据题意求点A走过的路径长（三段圆弧之和），再用扇形的面积公式求三段圆弧所在扇形的总面积.
详细解析
所在的圆的半径是
，圆心角为
；
所在的圆的半径是
，圆心角为
，
所在的圆的半径是
；圆心角为
，
所以点
走过的路径长是三段圆弧之和，即
.
三段圆弧所在扇形的总面积是
.
方法感悟
本题涉及三个扇形，其半径与圆心角互不相等，需要仔细分析题意.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共20张PPT)
人教A版（2019）
必修第一册
5.1任意角和弧度制
5.1.2
弧度制
学习目标
1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.
2.理解1弧度的角及弧度的定义.
3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.
4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算
新知学习
角度制、弧度制的概念
【探究】度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同
的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同
的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？
【导入】我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的
.这种
用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.
?
?
?
?
?
?
?
【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角α.在旋
转过程中，射线OA上的一点P(不同于点O)的轨迹
是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α.
设α=n°，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为
，由初中所学知识可知：
(
?
?
?
角度制、弧度制的概念
【探究】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q
所形成的圆弧QQ1的长为
，
与r的比值是多少?我们能得出什么结论？
【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，
只与α的大小有关.也就是说，这个比值随α的确
定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长
与半径的关系度量圆心角.
?
?
?
?
?
?
(
?
?
Q
Q1
?
?
?
?
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位元O中，AB的长度等于1，∠AOB就是1弧度的角.
角度制、弧度制的概念
?
?
?
?
根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为
的的弧所对的圆心角为α
rad，那么有：
?
?
对这个式子进行变形，可以得到如下结论：
?
?
其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或者小于
-2π的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角.
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.
角度制、弧度制的概念
?
?
?
?
不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值，比如图中，半径为任意值，只要∠AOB
所对弧的长等于半径，∠AOB就是1弧度的角.
用角度作为单位来度量角的制度
用弧度作为单位来度量角的制度
角的大小
与半径无关
单位“
°
”不能省略
单位“rad”不能省略
【问题】不管以角度制和弧度制之间怎么换算呢？
【答】用角度制解弧度制俩度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和
弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同.因为周角的弧度制是2π，
而在角度制下的度数是360，所以有：
360°=2π
rad，180°=π
rad，
?
?
角度与弧度的换算
一般地，只需根据
?
?
?
两边同除以180
两边同除以π
就可以进行角度和弧度的换算了.
弧度数=角度数×
角度数=弧度数×
?
?
【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′=
，所以
?
?
【2】把1.5π化成角度.
【解】1.5π=
?
67°30′=
【注意】角度中含有分
(‘)秒(‘’)时，化成
弧度制之前，要先化成
度(°).
即时巩固
角度与弧度的换算
常见特殊角的角度与弧度对应表：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的
关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯
一一个对应的角(弧度数等于这个实数).
弧长公式与扇形面积公式
【1】若用R表示圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，
是扇形弧长，S是扇形面积.
则有：
?
?
?
?
显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.
?
?
?
?
【1】把下列角度化成弧度.
【解】（1）22°30′=
（1）22°30′
（2）-210°
（3）1200°
?
（2）-210°=
?
（3）1200°=
?
即时巩固
【2】把下列弧度化成角度.
【解】
?
?
?
?
即时巩固
【3】用弧度表示：
（1）终边在
轴上的角的集合
（2）终边在
轴上的角的集合
【解】
?
?
?
?
即时巩固
随堂小测
1.下列说法正确的是
A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小
解析　由弧度的定义可知D正确.
2.把
化为角度是
A.270°
B.280°
C.288°
D.318°
3.若θ＝－5，则角θ的终边在
A.第四象限
B.第三象限
C.第二象限
D.第一象限
解析　2π－5与－5的终边相同，
∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.
4.(2021·浙江省91联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD
的弧度数大小为________.
解析　设正方形的边长为a，∠EAD＝α，
课堂小结
1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π
rad”这一关系式.
3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.
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5.1
任意角和弧度制
5.1.2
弧度制
课标解读
课标要求
素养要求
1.了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，熟悉特殊角的弧度数.
1.数学运算——会进行弧度制与角度制的转换.会求扇形的弧长和扇形的面积.
2.直观想象——会根据题意作出扇形.
自主学习·必备知识
要点一
角度制
角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的
.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做
①
制
.
要点二弧度制
规定;长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号
表示，读作弧度，即在半径为
的圆中，弧长为
的弧所对的圆心角为
，那么
，其中
，
的正负由角
的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个②
，负角的弧度数是一个③
，零角的弧度数是0
要点三弧度与角度的换算
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）;用角度制和弧度制度量任―非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是
，而在角度制下的度数是360，所以
，
④
，
，反过来有
⑤
要点四特殊角的度数与弧度数度
度
弧度
0
⑥
⑦
⑧
要点五
角度制与弧度制下的扇形的弧长公式与面积公式
半径为
.圆心角为
的扇形的弧长公式和面积公式分别是
⑨
，
⑩
，将
转换为弧度，得
，于是，
?
，将
代人上式，即得
.
自主思考
1.1弧度的角=1度的角，这种说法正确吗?
2.角的大小与圆的半径有关吗?
3.“度”与“弧度"都是角的度量单位，能省略吗?
名师点睛
1.以“弧度”为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如
，就是说
是2弧度，以“度”为单位表示角的大小时，“度”不能省略.
2.在应用扇形面积公式
时，要注意
的单位是“弧度”.
3.由
中任意的两个量可以求出另外的两个量.
互动探究·关键能力
探究点一
角度与弧度的换算
精讲精练
例已知
试比较
的大小.
解题感悟
角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式
是关键，由它可以得到：度数
弧度数，弧度数
度数．
迁移应用
1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
（1）
（2）
（3）2；
（4）
.
探究点二
用弧度制表示角
精讲精练
例（1）用弧度制表示与
角终边相同的角
的集合为(
)
A.
B.
C.
D.
（2）用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角
的集合为
.
解题感悟
弧度制下与角
终边相同的角的表示
在弧度制下，与角
的终边相同的角可以表示为
即与角
终边相同的角可以表示成
加上
的整数倍.
迁移应用
1.用弧度制表示终边落在下列如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.
（1）
（2）
探究点三
扇形的弧长和面积问题
精讲精练
例（易错题）已知扇形的半径为rcm，面积为
，扇形的周长为
.
（1）求函数
的解析式与定义域；
（2）求
的最大值以及对应的圆心角的绝对值.
易错警示
在求关于扇形面积的函数的定义域时，常因忽视圆心角的取值范围，将半径的取值范围扩大为
而出现错误.
解题感悟
弧度制下的扇形问题
（1）弧度制下扇形的面积公式是
（其中
是扇形的弧长，
是扇形的半径，
是扇形的圆心角的弧度数）．
（2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程（组）求解．注意：运用弧度制下的扇形的弧长公式及面积公式的前提是
为弧度．
迁移应用
1.已知扇形的周长为
，圆心角为
，则扇形的面积为
.
2.已知一半径为
的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么该扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
评价检测·素养提升
1.下列命题中正确的是(
)
A.“度”与“弧度”是度量角的相同的度量单位
B.
的角是周角的
的角是周角的
C.
的角比
的角要大
D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
2.若
，则
是(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
3.时针经过一小时，转过的角为(
)
A.
B.
C.
D.
4.
化为弧度为
，
化为角度为
.
5.一个扇形的面积为
，周长为
，求圆心角的弧度数．
素养演练
数学运算——图形的识别、解读和计算
1.（2020山东济南高一期末）《九章算术》是体现我国古代数学成就的著作，其中《方田》章给出的计算弧田面积的经验公式:弧田的面积
（弦×矢+矢
弧田（如图中的阴影部分）由圆弧及其所对的弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”为半径与圆心到弦的距离之差，现有弧长为
米，半径为2米的弧田，则按照上述经验公式计算得到的弧田的面积是
平方米，这个值与真实值的差是
平方米.
1.（2020山东枣庄高一模块检测）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年.某地广场成了鲜花的海洋，其中有一个用鲜花摆成的扇形图案，如图，圆分别与扇形的半径和弧相切，圆内为红花，其余区域为黄花.已知扇形的圆心角为
，半径
米，则黄花所在区域的面积为
平方米.
课时评价作业
基础达标练
1.（2021山东济宁高一检测）若
，则
的终边所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.下列说法中错误的是(
)
A.半圆所对的圆心角是
B.周角的大小等于
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
3.角
是
内的角，则角
所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.（多选）下列与
的终边相同的角的表达式中正确的是(
)
A.
B.
C.
D.
5.（2021）集合
中角的终边所在的范围（图中阴影区域）是(
)
A.B.
C.D.
6.（2021山东梁山一中高一期末）已知扇形的周长为
，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：
7.用弧度制表示终边落在
轴上方的角的集合为
.
8.线段
的长度为3，将
绕点
顺时针旋转
得到扇形的圆心角的弧度数为
，扇形的面积为
.
9.若角
的终边与角
的终边关于直线
对称，且
，则
的取值集合为
.
10.已知
.
（1）把
改写成
的形式，并指出
是第几象限角;
（2）若
与
的终边相同，且
，求
的值.
素养提升练
11.（多选）下列表示中正确的是(
)
A.终边在
轴上的角的集合是
B.终边在第二象限的角的集合为
C.终边在坐标轴上的角的集合是
D.终边在直线
上的角的集合是
12.已知集合
，则
等于(
)
A.
B.
C.
D.
13.如果一个扇形的半径变为原来的一半，弧长变为原来的
倍，那么该弧所对的圆心角是原来的
倍.
14.工艺扇面是中国书画的一种常见的表现形式．某班级想用布料制作一面如图所示的扇面．已知扇面的圆心角为
，外圆半径为
，内圆半径为
，则制作这样一面扇面需要的布料为
.（仅考虑正面，用数字作答，
）
创新拓展练
15.如图所示，已知长为
，宽为
的长方形木板在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一个小木块挡住，使木板一边与桌面成
角.求点
走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
方法感悟
本题涉及三个扇形，其半径与圆心角互不相等，需要仔细分析题意.
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