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通项公式
高考中的通项公式是数列板块最难点，几乎所有的命题方向都会围绕两个基本数列设置问题，难度加大就会是类等差、等比型，以项与和，项与项等为主要的命题方向。
下面就每种方法的高考试题做逐一展示。
公式法---等差、等比数列
例1
(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
【解析】设等比数列的公比为，由，可得，所以
所以
当时，；当时，
跟踪：(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)(12分)记为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
【解析】设的公差为，由题意得．
由得，所以的通项公式为．
二．项与和的关系型
本类型题目以为目标方向
已知时
当时，为等差型，注意C决定分段不分段.
例2
（2016山东理18）已知数列的前项和，是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
解析：由题意知当时，，当时，，所以.
设数列的公差为，由，即，解得，，所以
（2）当时，为等不比型，注意A+B决定分段不分段.
例3
【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.
（I）求的通项公式；
【解析】
（I）因为
所以，
，故
当
时，
此时，
即
所以，
已知与同时出现时
如果只有一个则消去，若有两个或是多个出现时，则消去，常常记为求什么留什么.
消去为主流方向，得到等差或等比数列，或是类等差等比型
若（A、B为常数），则为等比型
例4
(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
【解析】(Ⅰ)由题意得,故,,.
由,得,即.
由,得,所以.
因此是首项为,公比为的等比数列,于是.
若（A、B、C为常数），则为等差型
例5
【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
【解析】（Ⅰ）当时，，因为，所以=3，
当时，==，即，因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=.
消去为主流方向，得到等差或等比数列，或是类等差等比型
例6(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．
3.没有出现和需构造和型
例7
(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则
(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
解析：在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得．
三.
递推关系型
1．------累加型
例8
【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为
【答案】
【解析】由题意得：
所以
2.
------累乘型
3.
------构造型
例10
(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
解析：（1）由题意可得，，
由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即，
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立．
那么时，也成立．
则对任意的，都有成立；
4,分类讨论型---命题主方向
例11
（2021年全国新高考17题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
【解析】（1）由题设可得
又，，
故即即
所以为等差数列，故.
课后反馈：
1.
(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则
．
【答案】
解析：为数列的前项和．若，①
当时，，解得，
当时，，②，
由①﹣②可得，
∴，
∴是以为首项，以2为公比的等比数列，
∴．
2.(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
【答案】
解析:当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－()=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=．
3.【2015高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
【解析】（Ⅰ）由题意有，
即
解得
或
故或
4.【2014课标Ⅰ，理17】
已知数列的前项和为，，，，其中为常数，
（I）证明：；
【解析】
(1)由题设,,两式相减
,由于,所以．
5．【2015高考广东，理21】数列满足，
(1)
求的值；
【解析】（1）依题，
∴
；
6.
【2014新课标，理17】（本小题满分12分）
已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；.
【解析】：（Ⅰ）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
7.
【2014高考广东卷.理.19】
(本小题满分14分)设数列的前项和为，满足，，且.
(1)求..的值；
(2)求数列的通项公式.
【解析】(1)，，；
(2)由题意得，
由(1)知，，，猜想，
假设当时，猜想成立，即，则有，
则当时，有，
这说明当时，猜想也成立，
由归纳原理知，对任意，.
8.
【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且
成等差数列.
(I)求的值和的通项公式；
【解析】(I)
由已知，有，即，
所以，又因为，故，由，得，
当时，，
当时，，
所以的通项公式为
9.【2016高考浙江理数】设数列满足，．
（I）证明：，；
【解析】（I）先利用三角形不等式得，变形为，再用累加法可得，进而可证；（II）由（I）可得，进而可得，再利用的任意性可证．
试题解析：（I）由得，故
，，
所以
，
因此．
10.【2015高考重庆，理22】在数列中，
（1）若求数列的通项公式；
【解析】（1）由于，因此把已知等式具体化得，显然由于，则（否则会得出），从而，所以是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是可变形为,
由于，因此，于是可得，即有，又，于是有
，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知，因此
，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由,有
若存在某个，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意,.
从而，即是一个公比的等比数列.
故.
11．【
2014湖南20】已知数列满足,.
(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;
(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.
【解析】
(1)因为数列为递增数列,所以,则,分别令可得,因为成等差数列,所以或,
当时,数列为常数数列不符合数列是递增数列,所以.
(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,则有,因为
(2)由题可得,因为是递增数列且是递减数列,所以且,两不等式相加可得,
又因为,所以,即,
同理可得且,所以,
则当时,,这个等式相加可得
.
当时,
,这个等式相加可得
,当时,符合,故
综上
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通项公式
高考中的通项公式是数列板块最难点，几乎所有的命题方向都会围绕两个基本数列设置问题，难度加大就会是类等差、等比型，以项与和，项与项等为主要的命题方向。
下面就每种方法的高考试题做逐一展示。
公式法---等差、等比数列
例1
(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)(12分)等比数列中，，
(1)求的通项公式；
二．项与和的关系型
本类型题目以为目标方向
已知时
当时，为等差型，注意C决定分段不分段.
例2
（2016山东理18）已知数列的前项和，是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
当时，为等不比型，注意A+B决定分段不分段.
例3
【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知.
（1）求的通项公式；
已知与同时出现时
如果只有一个则消去，若有两个或是多个出现时，则消去，常常记为求什么留什么.
消去为主流方向，得到等差或等比数列，或是类等差等比型
若（A、B为常数），则为等比型
例4
(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知数列的前项和,其中.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式;
.
若（A、B、C为常数），则为等差型
例5
【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
消去为主流方向，得到等差或等比数列，或是类等差等比型
例6(2015高考数学新课标2理科)设是数列的前项和，且，，则________．
3.没有出现和需构造和型
例7
(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)数列中，，，若，则
(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
三.
递推关系型
1．------累加型
例8
【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为
2.
------累乘型
3.
------构造型
例10
(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设数列{an}满足a1=3，．
(1)计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；
4,分类讨论型---命题主方向
例11
（2021年全国新高考17题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
课后反馈：
1.
(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)记为数列的前项和．若,则
．
2.
(2013高考数学新课标1理科)若数列{}的前n项和为，则数列{}的通项公式是=______．
3.【2015高考湖北，理18】设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
4.【2014课标Ⅰ，理17】
已知数列的前项和为，，，，其中为常数，
（I）证明：；
5．【2015高考广东，理21】数列满足，
(1)
求的值；
6.
【2014新课标，理17】（本小题满分12分）
已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；.
7.
【2014高考广东卷.理.19】
(本小题满分14分)设数列的前项和为，满足，，且.
(1)求..的值；
(2)求数列的通项公式.
8.
【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列满足，且
成等差数列.
(I)求的值和的通项公式；
9.【2016高考浙江理数】设数列满足，．
（I）证明：，；
10.【2015高考重庆，理22】在数列中，
（1）若求数列的通项公式；
11．【
2014湖南20】已知数列满足,.
(1)若为递增数列,且成等差数列,求的值;
(2)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.
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