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专题04
基本初等函数——二次函数、指对幂函数
重点题型
题型一、二次函数
1．图象识别问题
辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数.
在上是增函数；
在上是减函数.
最值
当时，
当时，
2．二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
3．解决一元二次方程根的分布问题的方法
常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．
4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题
往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.
另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)题型二、幂函数
1．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
2．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
题型三、指数与指数函数
1．指数幂运算的一般公式和原则
①；
②；
③；
④且；
⑤；
⑥；
⑦当为奇数时，；当为偶数时，.
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2．指数函数的图象与性质
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是减函数
在上是增函数
函数值的变化情况
当时，；
当时，
当时，；
当时，
底数对图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
题型四、对数与对数函数
1．对数的性质与公式
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即；
（4）对数恒等式.
（5）如果，那么：
①；
②；
③.
（6）换底公式：.
（7）推广公式：
；
；
(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质
过定点，即时，
在上是减函数
在上是增函数
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
注：指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
考点集训
一、单选题
1．已知集合，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
首先根据二次函数求值域表示出集合P；再解指数不等式表示出集合Q；然后根据充分条件和必要条件的概念即可得出结果.
【详解】
因为函数的值域为，所以，由得，所以，所以，因为，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
2．已知函数则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别求出和的值再求它们的和，从而可得正确的选项.
【详解】
，，故，
故选：C.
【点睛】
易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题.
3．已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围即可求解.
【详解】
，，
，，
，，
.
故选：C.
4．已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先可得函数在上是增函数，然后保证函数在每一段都是增函数，同时要注意上、下段间端点值之间的大小关系，由此列出不等式组，进而可解得结果.
【详解】
依题意可知，函数在上是增函数，则，解得.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值之间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
5．已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据函数的奇偶性和单调性的性质进行转化比较即可．
【详解】
解：，
是奇函数，
，
，，
则，
当时，是增函数，
，
即，
故选：C．
6．定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先判断函数对称性，利用在时是单调的，结合二次函数性质解得参数m的取值范围，再验证的正负情况，并结合对称性，得到结果.
【详解】
由，可知函数关于点中心对称.
因为对任意的，是单调函数，所以时，是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为，
故当时，即，在时是单调递减的，根据对称性可知，函数在上也是单调递减的，又由，知在上是单调递减的；
当，即，在时是单调递增的，根据对称性可知，函数在上也是单调递增的，又由，知在上是单调递增的.
综上可得，实数m的取值范围是．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：
本题的解题关键在于先利用部分函数的单调性求得参数范围，再结合对称性判断整体的单调性，即突破难点.
7．已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过（
）小时后须再次向病人体内补充这种药物．（已知，，结果精确到0.1h）
A．1.8
B．1.9
C．2.1
D．2.2
【答案】A
【分析】
设经过小时后须开始再次补充这种药物，从而可得，解不等式即可求解.
【详解】
设经过小时后须开始再次补充这种药物，
则，化简可得，
所以，
所以经过1.8小时后须再次向病人体内补充这种药物，故A项正确．
故选：A
8．函数在上的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
通过函数的奇偶性可排除，；通过计算的值可排除C，进而可得结果.
【详解】
由题可知函数的定义域关于原点对称，
且当时，，，
当时，，，故为偶函数，排除，；
而，排除C.
故选：D.
9．已知，则不可能满足的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意表示出，利用对数的换底公式即可判断选项A，再利用基本不等式以及不等式的性质判断选项B，C，构造二次函数，利用二次函数的性质求解最小值，即可判断选项D.
【详解】
因为，，对A，，所以，即，故A正确；
对B，由基本不等式可得，因为，，所以，即，得，所以，故B正确；
对C，，故C错误；
对D，，令，，则函数在上单调递增，所以，
即，所以成立，故D正确；
故选：C.
【点睛】
一般涉及对数的乘法运算时需要利用对数的换底公式代入求解，关于基本不等式的应用，需要注意“一正二定三相等”的原则.
10．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意得，进而得，故，，再结合仅有一个常数使得条件成立得，解方程即可得答案.
【详解】
由知，又在上是减函数，
所以函数的值域为，则，
所以，即，，
要使得仅有一个常数满足，则，从而
故选：D
【点睛】
本题考查根据方程的根的个数求参数问题，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于根据对数运算和指对数互化得，再结合题意求解.
二、多选题
11．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】
讨论参数a的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函数性质即可.
【详解】
若，则对数函数在上单调递增，二次函数开口向上，对称轴，经过原点，可能为A，不可能为B.
若，则对数函数在上单调递减，二次函数开口向下，对称轴，经过原点，
C、D都不可能.
故选：BCD.
12．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】
由已知，A选项，借助对数换底公式及对数函数单调性可判断；B选项，利用幂函数单调性可判断；C选项，利用对数函数单调性可判断；D选项，利用反比例函数单调性可判断.
【详解】
对于A选项：在(0,+∞)上单调递增，，则，即，A正确；
对于B选项：函数y=x3在R上递增，则，B错误；
对于C选项：，则ab>1，a+b>2，，
有成立，即C正确；
对于D选项：，而函数在(0,+∞)上递减，则有，即D正确.
故选：ACD
13．已知函数，则下列说法正确的是（
）
A．为奇函数
B．为减函数
C．有且只有一个零点
D．的值域为
【答案】AC
【分析】
化简函数解析式，分析函数的奇偶性，单调性，值域，零点即可求解.
【详解】
,,
,
故为奇函数，
又，
在R上单调递增，
，，，
，，即函数值域为
令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.
故选：AC
14．已知函数，，则下列说法正确的是（
）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
【答案】AC
【分析】
对于A，首先要对分类讨论，然后在定义域为的条件下再求的取值范围；对于B，使内层函数的最小为4即可；对于C，一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D，在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发.
【详解】
对于A，由题意知对恒成立，
由于当时，不等式不恒成立，所以．
当时，由解得，所以A正确；
对于B，若函数的值域为，则，显然不为0，
则函数的最小值为4，则当时，
，解得，所以B错误；
对于C，若函数在区间上为增函数，则在上为增函数，且在内的函数值为正，所以解得，所以C正确；
对于D，若，则不等式等价于，
则，解得，所以D不正确．
故选：AC．
【点睛】
方法点睛：
判断复合函数的单调性要注意把握两点：
一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，
正确理解“同增异减"的含义，即增增→增，减减→增，增减→减，减增→减．
15．已知函数，若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】
首先根据函数的解析式得到关于直线对称，那么函数图像只取,
的部分图像，的图像将对数函数在轴下方的图像翻到上方即可，从而得到的范围，进而判断AB选项；令得到，从而得到；又时，，再根据基本不等式求解范围即可.
【详解】
当时，.
设函数，则有，，
，故是偶函数，且最小值为0.
当时，，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以在上单调递减.
把的图象向左平移一个单位长度，
得到函数的图象，
故函数的图象关于直线对称，
故可得到函数在上的图象.
作出函数的大致图象，如图所示.
又，故函数的图象与轴的交点为.
作平行于轴的直线，
当时，直线与函数的图象有四个交点.
数形结合可知，故A错误；
由，得，
又根据题意知，
所以，即，
即，所以，故B正确；
令，
则，，得，，
因此，故正确；
又时，，
且函数在上单调递增，
所以，故D正确.
故选：BCD
【点睛】
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
三、填空题
16．已知幂函数在上单调递减，则___________.
【答案】
【分析】
由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．
【详解】
由题意，解得或，
若，则函数为，在上递增，不合题意．
若，则函数为，满足题意．
故答案为：．
17．若函数的单调递增区间为，则的最小值为__________．
【答案】4
【分析】
利用二次函数的单调增区间求得，再利用，利用基本不等式可求最小值．
【详解】
的对称轴为，故，
又，当且仅当时等号成立，从而的最小值为，填．
【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
18．已知，设函数，则______．
【答案】5
【分析】
先求出函数的定义域，再求出，再通过换元，利用二次函数的图象和性质求解.
【详解】
解：由题意得，∴，∴的定义域为[1，3]，
，
设，，
则，在[0，1]上为增函数，
∴当即时，，
当即时，，
∴．
故答案为：5．
【点睛】
易错点睛：本题容易忽略求函数的定义域导致出错.函数的问题，要注意定义域优先的原则.
19．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则______.
【答案】2
【分析】
根据偶函数的定义可得，从而利用换元法：令，将原问题转化为含参数的二次函数最值即可求解.
【详解】
解：由题意得，即，即，
所以，所以，
.
令，.
因为在上是增函数，所以当时，.
因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1.
当时，，解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去.
综上，.
故答案为：2.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是观察出与的关系，然后利用换元法将原问题等价转化为二次函数最值来解决.
20．设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
【答案】
【分析】
根据是奇函数判断函数的对称中心，等价于，
等价于，即可得到关于x的不等式，求出x的范围.
【详解】
因为是奇函数，故
图像关于
对称，
由题设，因为在上单调递减，
所以等价于，
因此不等式等价于，
即
，即
且
，
解得取值范围为.
故答案为：
21．若函数，分别为R上的奇函数、偶函数，且满足，则：（1）____________；（2）之间的大小关系为____________．
【答案】
【分析】
由得，由奇偶性变形后解方程组可得，可求得，然后由的单调性比较大小．
【详解】
因为函数，分别为R上的奇函数、偶函数，所以，，又因为，①
所以，所以，②
由①②得，；
所以，且为增函数，
所以．
故答案为：；．
四、解答题
22．已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.
（1）求a，b的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）确定的对称轴，由二次函数性质得，由此求得；
（2）求出，已知条件转化为在上有解
令，转化为求得在
【详解】
（1）函数，
∵，∴为开口向上的抛物线，且对称轴为，
∴在区间上是增函数，∴，解得，.
（2）由（1）可得，则.
∴在上有解等价于在上有解.即在上有解
令，∵，∴，∴在上有解，
记∴，则在为减函数，，∴∴k的取值范围为．
【点睛】
关键点点睛：本题二次函数的性质，考查不等式恒成立问题，解题关键是问题的转化，首先由，，把分式不等式转化为整式不等式，其次用分离参数法转化炎求与指数函数有关的函数的最值，最后应用换元法转化为求二次函数的最值．经过多次转化后，问题得到了解决．
23．已知函数.
（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）当时，；当时，.
【分析】
（1）由解析式判断的单调性，进而判断k的符号，即可证结论.
（2）由题设整理，令有，根据二次函数的性质可求区间最大值.
【详解】
（1）∵单调递增，单调递减，
∴在定义域上是单调增函数，而，
∴恒成立，结论得证.
（2）由题意，有且，
令，则，开口向上且对称轴为，
∴当，即时，，即；
当，即时，，即；
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专题04
基本初等函数——二次函数、指对幂函数
重点题型
题型一、二次函数
1．图象识别问题
辨析二次函数的图象应从开口方向、对称轴、顶点坐标以及图象与坐标轴的交点等方面着手讨论或逐项排除．
函数解析式
图象(抛物线)
定义域
R
值域
对称性
函数图象关于直线对称
顶点坐标
奇偶性
当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在上是减函数；
在上是增函数.
在上是增函数；
在上是减函数.
最值
当时，
当时，
2．二次函数最值问题的类型及处理思路
(1)类型：a.对称轴、区间都是给定的；b.对称轴动、区间固定；c.对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间的两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
3．解决一元二次方程根的分布问题的方法
常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：a.开口方向；b.对称轴位置；c.判别式；d.端点函数值符号四个方面分析．
4．求解与二次函数有关的不等式恒成立问题
往往先对已知条件进行化简，转化为下面两种情况：
(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.
(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.
另外，也可以采取分离变量法，把问题转化为不等式f(x)>A在区间D上恒成立，此时就等价于在区间D上f(x)min>A，接下来求出函数f(x)的最小值；若不等式f(x)题型二、幂函数
1．几个常见幂函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上单调递增
在上单调递减；在上单调递增
在上单调递增
在上单调递增
在和上单调递减
过定点
过定点
过定点
2．常用结论
(1)幂函数在上都有定义.
(2)幂函数的图象均过定点.
(3)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递增.
(4)当时，幂函数的图象均过定点，且在上单调递减.
(5)幂函数在第四象限无图象.
题型三、指数与指数函数
1．指数幂运算的一般公式和原则
①；
②；
③；
④且；
⑤；
⑥；
⑦当为奇数时，；当为偶数时，.
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
(5)有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．
(6)将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一用什么形式来表示．如果有特殊要求，要根据要求写出结果．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
2．指数函数的图象与性质
图象
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y=a?x与y=ax的图象关于y轴对称
过定点
过定点，即时，
单调性
在上是减函数
在上是增函数
函数值的变化情况
当时，；
当时，
当时，；
当时，
底数对图象的影响
指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；
②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小.
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
题型四、对数与对数函数
1．对数的性质与公式
（1）负数和零没有对数，即；
（2）1的对数等于0，即；
（3）底数的对数等于1，即；
（4）对数恒等式.
（5）如果，那么：
①；
②；
③.
（6）换底公式：.
（7）推广公式：
；
；
(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质
过定点，即时，
在上是减函数
在上是增函数
当x＞1时，y＜0；
当0＜x＜1时，y＞0
当x＞1时，y＞0；
当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
注：指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
考点集训
一、单选题
1．已知集合，，则“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知函数则（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数.若，都有，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在上的奇函数，当时，是增函数，则，，的大小关系为（
）
A．
B．
C．
D．
6．定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知某种药物在病人体内的含量在1200mg以上时才会对某种病情起疗效，现给某病人注射该药物2000mg，假设药物在病人体内的含量以每小时25%的速度递减，为了保持药物疗效，则经过（
）小时后须再次向病人体内补充这种药物．（已知，，结果精确到0.1h）
A．1.8
B．1.9
C．2.1
D．2.2
8．函数在上的大致图像是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知，则不可能满足的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
10．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，则的取值集合为（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．对数函数且与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（
）
A．
B．
C．
D．
12．若，则（
）
A．
B．
C．
D．
13．已知函数，则下列说法正确的是（
）
A．为奇函数
B．为减函数
C．有且只有一个零点
D．的值域为
14．已知函数，，则下列说法正确的是（
）
A．若函数的定义域为，则实数的取值范围是
B．若函数的值域为，则实数
C．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是
D．若，则不等式的解集为
15．已知函数，若，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
16．已知幂函数在上单调递减，则___________.
17．若函数的单调递增区间为，则的最小值为__________．
18．已知，设函数，则______．
19．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则______.
20．设定义域为，已知在上单调递减，是奇函数，则使得不等式成立的取值范围为___________.
21．若函数，分别为R上的奇函数、偶函数，且满足，则：（1）____________；（2）之间的大小关系为____________．
四、解答题
22．已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.
（1）求a，b的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围.
23．已知函数.
（1）设是图象上的两点，直线斜率存在，求证：；
（2）求函数在区间上的最大值.
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