资源简介

定点、定值、探索性问题
一、单选题
1．(2021·北京延庆统测)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.P是抛物线上的一点，过P作PQ⊥x轴于Q，若|PF|＝3，则线段PQ的长为(　　)
A．　　
B．2　　
C．2　　
D．3
2．(2021·云南文山州质检)已知双曲线－y2＝1(a>0)上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段AP的中点为E，直线QE交x轴于M(1,0)，则双曲线的离心率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
3．(2021·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A．2　　
B．　　
C．　　
D．
4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝(　　)
A．4　　
B．2　　
C．2　　
D．3
5．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　　)
A．(－3,0)　　
B．(0，－3)　　
C．(3,0)　　
D．(0,3)
6．(2021·安徽皖江名校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为P，任意一条平行于x轴的直线交C于A，B两点，总有PA⊥PB，则双曲线C的离心率为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
7．(2021·河南洛阳期中)已知F1F2是双曲线C：－y2＝1的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，则△ABF2的内切圆的半径为(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
8．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为，则椭圆C的离心率是(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
9．(2021·福建莆田质检)已知直线l过抛物线C：x2＝6y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若＝，则|AB|＝(　　)
A．8　　
B．9　　
C．11　　
D．16
10．(2021·吉林长春模拟)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2,1)，则双曲线E的离心率为(　　)
A．　　
B．　　
C．2　　
D．
11.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)
A．　　
B．
C．－1　　
D．＋1
12．(2021·陕西省渭南市模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是(　　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
二、多选题
13．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　　)
A．＋＝1　　
B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF|　　
D．F为AD的中点
14．(2021·山东青岛调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－，0)和F2(，0)连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝k(x－2)与E交于A，B两点，则(　　)
A．E的方程为－y2＝1(x≠±)
B．E的离心率为
C．E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切
D．满足|AB|＝2的直线l仅有1条
三、填空题
15．(2021·山西重点中学联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为
.
16．(2021·河北石家庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点，若△PAB为等腰三角形，∠PAB＝120°，则双曲线的离心率为　
　.
17．(2021·河南中原名校联考)直线l与抛物线y2＝4x交于两不同点A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1y2＝－36，则直线l恒过点的坐标是
.
四、解答题
18．(2021·河北唐山质检)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x＝ty＋1交E于A，B两点；当t＝0时，|AB|＝.
(1)求E的方程；
(2)设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
19．(2021·山西运城调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．(2021·山东质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点F1，F2为等腰直角三角形的三个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：直线l过定点．
21．(2021·广东汕头模拟)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，F(0,1)，N(t，－1)(t∈R)，已知△MFN是以FN为底边，且边MN平行于y轴的等腰三角形．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)已知直线l交x轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥y轴，点P关于点B的对称点为点Q，试判断点A、Q、O三点是否共线，并说明理由．
参考答案：
一、单选题
1．(2021·北京延庆统测)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.P是抛物线上的一点，过P作PQ⊥x轴于Q，若|PF|＝3，则线段PQ的长为(　C　)
A．　　
B．2　　
C．2　　
D．3
[解析]　抛物线的准线方程为x＝－1，由于|PF|＝3，
根据抛物线的定义可知xP＝2，
将xP＝2代入抛物线方程得y＝8，yP＝±2，
所以|PQ|＝2.故选
C．
2．(2021·云南文山州质检)已知双曲线－y2＝1(a>0)上关于原点对称的两个点P，Q，右顶点为A，线段AP的中点为E，直线QE交x轴于M(1,0)，则双曲线的离心率为(　D　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由已知得M为△APQ的重心，
∴a＝3|OM|＝3，又b＝1，
∴c＝＝，即e＝＝，故选D.
3．(2021·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率，则双曲线－＝1的离心率为(　D　)
A．2　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　椭圆离心率e1＝＝，
∴e＝1－＝，即＝，
∴双曲线的离心率e＝＝＝.故选D.
4．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则＋＝(　A　)
A．4　　
B．2　　
C．2　　
D．3
[解析]　设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，不妨设点P在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.又|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，所以在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，即4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos，化简得3a＋a＝4c2，两边同除以c2，得＋＝4.故选A.
5．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且满足k1k2＝，则直线l过定点(　A　)
A．(－3,0)　　
B．(0，－3)　　
C．(3,0)　　
D．(0,3)
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y＝2x1，y＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，得b＝－3，即直线l的方程为x＝my－3，所以直线l过定点(－3,0)．
6．(2021·安徽皖江名校联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为P，任意一条平行于x轴的直线交C于A，B两点，总有PA⊥PB，则双曲线C的离心率为(　A　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设A(x0，y0)，B(－x0，y0)，则y＝b2，又P(a,0)，＝(x0－a，y0)，＝(－x0－a，y0)，由已知PA⊥PB，则·＝－x＋a2＋y＝0，即(a2－b2)＝0，对于x0≥a或x0≤－a恒成立，故a2＝b2，即a＝b，所以e＝＝.故选A.
7．(2021·河南洛阳期中)已知F1F2是双曲线C：－y2＝1的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，则△ABF2的内切圆的半径为(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由题意知F1(－，0)，F2(，0)，
当x＝－时，y＝±，
∴|AB|＝，∴|AF|＝|BF|＝，
∴l△ABF＝6，S△ABF＝，
∴所求内切圆半径r＝＝.故选B.
8．(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上存在两点M、N关于直线2x－3y－1＝0对称，且线段MN中点的纵坐标为，则椭圆C的离心率是(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＋＝1，
＋＝1，两式相减可得
＋＝0，
即＝－·.
∵线段MN中点的纵坐标为，∴2x－3×－1＝0，
解得x＝，于是－＝－·，解得＝，
∴椭圆C的离心率e＝＝，故选B.
(或直接利用性质kMN·kOP＝－，其中P为线段MN的中点)．
9．(2021·福建莆田质检)已知直线l过抛物线C：x2＝6y的焦点F，交C于A，B两点，交C的准线于点P，若＝，则|AB|＝(　A　)
A．8　　
B．9　　
C．11　　
D．16
[解析]　过A作准线的垂线，垂足为H，则|AF|＝|AH|，
又＝，∴|AH|＝|AP|，
∴kAP＝，又F，
∴AB的方程为y＝x＋，
由，得y2－5y＋＝0，∴yA＋yB＝5，
∴|AB|＝yA＋yB＋p＝5＋3＝8，故选A.
10．(2021·吉林长春模拟)双曲线E：－＝1(a>0，b>0)被斜率为4的直线截得的弦AB的中点为(2,1)，则双曲线E的离心率为(　B　)
A．　　
B．　　
C．2　　
D．
[解析]　设A(x1，y1)，B(x2，y2)代入双曲线方程作差有＝，有＝＝2，所以＝3，e＝，故选B.
2.
11.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　A　)
A．　　
B．
C．－1　　
D．＋1
[解析]　椭圆中“和”对应双曲线中“差”，故选A.事实上，设“黄金双曲线”方程为－＝1，
则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．
在“黄金双曲线”中，
因为⊥，所以·＝0.
又＝(c，b)，＝(－a，b)．
所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.
在等号两边同除以a2，解得e＝.
12．(2021·陕西省渭南市模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－1,0)，则的最小值是(　B　)
A．　　
B．　　
C．　　
D．
[解析]　由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－1，
A(－1,0)，过P作PN垂直直线x＝－1于N，
由抛物线的定义可知PF＝PN，连接PA，
＝最小?∠NAP最小?∠PAF最大?PA与抛物线y2＝4x相切．
设PA的方程为：y＝k(x＋1)，所以，
解得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，
所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k＝±1，
所以∠NPA＝45°，
＝cos∠NPA＝，故选B.
二、多选题
13．已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是(　BCD　)
A．＋＝1　　
B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF|　　
D．F为AD的中点
[解析]　由题意知直线l的方程为y＝(x－)，由得3x2－5px＋＝0，∴x1＋x2＝，
∴|AB|＝＋p＝＝8，∴p＝3.∴4x2－20x＋9＝0解得xA＝，xB＝，∴|AF|＝xA＋＝6，|BF|＝2，∴＋＝，A错，B正确；作BH垂直准线于H，则∠HBD＝60°，∴|BD|＝2|BH|＝2|BF|，C正确；又xD＝－，则＝＝＝xF，∴F为AD的中点，D正确；故选BCD.
14．(2021·山东青岛调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点F1(－，0)和F2(，0)连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝k(x－2)与E交于A，B两点，则(　AC　)
A．E的方程为－y2＝1(x≠±)
B．E的离心率为
C．E的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切
D．满足|AB|＝2的直线l仅有1条
[解析]　设点P(x，y)，由已知得·＝，整理得－y2＝1，所以点P的轨迹为曲线E的方程为－y2＝1(x≠±)，故A正确；又离心率e＝＝，故B不正确；圆(x－2)2＋y2＝1的圆心(2,0)到曲线E的渐近线为y＝±x的距离为d＝＝1，又圆(x－2)2＋y2＝1的半径为1，故C正确；∵(2,0)为双曲线－y2＝1的右焦点，且x＝2时，y＝±，∴过右焦点的双曲线最短的弦(通径)为，又两顶点间距离为2，∴满足|AB|＝2的直线有3条，故D错．∴选AC．
三、填空题
15．(2021·山西重点中学联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若直线AB过原点，则k1·k2的值为
3
.
[解析]　由题意知，e＝＝＝2?b2＝3a2，
则双曲线方程可化为3x2－y2＝3a2，
设A(m，n)，M(x，y)(x≠±m)，则B(－m，－n)，
k1·k2＝·＝＝＝3.
16．(2021·河北石家庄模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线上一点，若△PAB为等腰三角形，∠PAB＝120°，则双曲线的离心率为　　.
[解析]　如图所示：过点P作PD⊥x轴，垂足为D.
因为△PAB为等腰三角形，所以|PA|＝|AB|＝2a，
又因为∠PAB＝120°，所以∠PAD＝60°.
|PD|＝|PA|·sin
60°＝a，|AD|＝|PA|·cos
60°＝a，故P(－2a，a)．
因为点P(－2a，a)在双曲线－＝1上，
所以－＝1，即＝1.
e＝＝＝＝.
故答案为：
17．(2021·河南中原名校联考)直线l与抛物线y2＝4x交于两不同点A，B，其中A(x1，y1)，B(x2，y2)，若y1y2＝－36，则直线l恒过点的坐标是
(9,0)
.
[解析]　设直线l的方程为x＝my＋n，则由得y2－4my－4n＝0，∴又y1y2＝－36，∴－4n＝－36，∴n＝9，∴直线l方程为x＝my＋9，恒过(9,0)．
四、解答题
18．(2021·河北唐山质检)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x＝ty＋1交E于A，B两点；当t＝0时，|AB|＝.
(1)求E的方程；
(2)设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
[解析]　(1)由题意得e2＝＝＝，
整理得a2＝3b2，
由t＝0时，|AB|＝得＋＝1，
因此a＝，b＝1.故E的方程是＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，
将x＝ty＋1代入＋y2＝1得(t2＋3)y2＋2ty－2＝0，
y1＋y2＝－，y1·y2＝－，
从而ty1·y2＝y1＋y2.①
直线BD：y＝(x－3)＋y1，
设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，
则(x0－3)＋y1＝0，
所以x0＝＋3＝＋3＝＋3，
将①式代入上式可得x0＝2，
故直线BD过定点(2,0)．
19．(2021·山西运城调研)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PF1F2的周长是6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过椭圆的右焦点F2且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
[解析]　(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，
由椭圆的定义知△PF1F2的周长为2a＋2c，
所以2a＋2c＝6，①
又因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝＝，
所以a＝2c，②
联立①②解得a＝2，c＝1，
所以b＝＝，
所求椭圆C的方程为＋＝1.
(2)若存在满足条件的点Q(t,0)．
当直线l的斜率k存在时，设y＝k(x－1)，
联立＋＝1，消y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∵kQM＋kQN＝＋
＝
＝
＝k·
＝k·
＝
∴要使对任意实数k，kQM＋kQN为定值，则只有t＝4，此时，kQM＋kQN＝0.
当直线l与x轴垂直时，若t＝4，也有kQM＋kQN＝0.
故在x轴上存在点Q(4,0)，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0.
20．(2021·山东质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点F1，F2为等腰直角三角形的三个顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点．若直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：直线l过定点．
[解析]　(1)由题意＋＝1，b＝c，
结合a2－b2＝c2，解得a＝，b＝，
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：①当直线l斜率不存在时，
设直线l：x＝m，A(m，ym)，B(m，－ym)，
kPA·kPB＝·＝1，
解得m＝2(舍)或m＝6(舍)，故不满足．
②当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋t，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立，
整理得(2k2＋1)x2＋4ktx＋2t2－6＝0.
Δ＝8(6k2－t2＋3)>0，
x1＋x2＝，x1x2＝.①
则kPA·kPB＝·＝＝1，
∴(k2－1)x1x2＋(tk－k＋2)(x1＋x2)＋t2－2t－3＝0，
将①代入上式可得12k2＋8kt＋t2＋2t－3＝0，
∴(2k＋t－1)·(6k＋t＋3)＝0，
若2k＋t－1＝0，t＝1－2k，
直线l经过P点与已知矛盾，
若6k＋t＋3＝0，t＝－3－6k，
Δ＝－48(5k2＋6k＋1)存在k使得Δ>0成立．
∴直线l的方程为y＝k(x－6)－3，
故直线l过定点(6，－3)．
21．(2021·广东汕头模拟)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，F(0,1)，N(t，－1)(t∈R)，已知△MFN是以FN为底边，且边MN平行于y轴的等腰三角形．
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)已知直线l交x轴于点P，且与曲线C相切于点A，点B在曲线C上，且直线PB∥y轴，点P关于点B的对称点为点Q，试判断点A、Q、O三点是否共线，并说明理由．
[解析]　(1)设动点M(x，y)，因为MN∥y轴，
所以MN与直线y＝－1垂直，则|MN|＝|y＋1|，
∵△MFN是以FN为底边的等腰直角三角形，
故|MN|＝|MF|，
即＝|y＋1|，
即x2＋(y－1)2＝(y＋1)2，化简得x2＝4y.
因为当点M为坐标原点时，M、F、N三点共线，无法构成三角形，
因此，动点M的轨迹C的方程为x2＝4y(y≠0)；
(2)A、Q、O三点共线，理由如下：
因为直线l与曲线C相切，所以直线l的斜率必存在且不为零，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由，消y得x2－4kx－4m＝0，Δ＝16k2＋16m＝0，得m＝－k2.
所以，直线l的方程为y＝kx－k2，
令y＝0，得x＝k，则点P，
∴B，故Q，
又由x2－4kx＋4k2＝0，得x＝2k，则点A(2k，k2)，
∵kAO＝＝，kOQ＝＝，∴kAO＝kOQ，
因此，A、Q、O三点共线．

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