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函数的单调性与最值
一、单选题
1．下列函数在区间(0，＋∞)内是减函数的是(　　)
A．f(x)＝ln
x　　
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝　　
D．f(x)＝－
2．函数f(x)＝在区间[3,7]上的最大值是M，最小值是N，则＝(　　)
A.　　
B．　　
C．3　　
D．2
3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)
A．(2，＋∞)　　
B．(－∞，2)
C．(4，＋∞)　　
D．(－∞，4)
4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则实数a的值为(　　)
A．－2　　
B．2　　
C．－6　　
D．6
5．(2021·云南玉溪一中调研)函数f(x)＝ln(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，1)　　
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)　　
D．(3，＋∞)
6．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系为(　　)
A．fB．f>f(a2－a＋1)
C．f＝f(a2－a＋1)　　
D．无法比较大小
7．若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,2]　　
B．[－1,0]
C．[1,2]　　
D．[0,2]
8．(2021·赣州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是(　　)
A．(－∞，0]　　
B．[0,1)
C．[1，＋∞)　　
D．[－1,0]
9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)
A．有最小值　　
B．有最大值
C．是减函数　　
D．是增函数
10．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x12x的解集为(　　)
A．(2，＋∞)　　
B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)　　
D．(－1，＋∞)
二、多选题
11．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的可以是(　　)
A．f(x)＝　　
B．f(x)＝(1－x)2
C．f(x)＝e1－x　　
D．f(x)＝ln(x＋1)
12．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
13．(2021·陕西西安中学期中改编)若函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值可能为(　　)
A．4　　
B．5
C．6　　
D．7
三、填空题
14．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上不具有单调性，则实数a的取值范围为
.
15．函数y＝－x(x≥0)的最大值为　
　；增区间为　
　.
16．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m).
四、解答题
17．已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值．
18．(2021·天水模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
19．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调增函数；
(3)若f＝－1，求f(x)在上的最值．
参考答案：
一、单选题
1．下列函数在区间(0，＋∞)内是减函数的是(　B　)
A．f(x)＝ln
x　　
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝　　
D．f(x)＝－
[解析]　对于A，f(x)＝ln
x，为对数函数，其底数e>1，在区间(0，＋∞)内是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝e－x＝x为指数函数，其底数<1，在区间(0，＋∞)内是减函数，符合题意；
对于C，f(x)＝＝x，为幂函数，在区间(0，＋∞)内是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝－＝，为反比例函数，在区间(0，＋∞)内是增函数，不符合题意．
2．函数f(x)＝在区间[3,7]上的最大值是M，最小值是N，则＝(　C　)
A.　　
B．　　
C．3　　
D．2
[解析]　f(x)在[3,7]单调递减，故最大值为f(3)＝.最小值f(7)＝，则＝3，故选C.
3．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　B　)
A．(2，＋∞)　　
B．(－∞，2)
C．(4，＋∞)　　
D．(－∞，4)
[解析]　因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0.
而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a.
因为a<0，所以g(x)在(－∞，2)上单调递增．故选B.
4．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则实数a的值为(　C　)
A．－2　　
B．2　　
C．－6　　
D．6
[解析]　由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调增区间是，令－＝3，所以a＝－6.故选C.
5．(2021·云南玉溪一中调研)函数f(x)＝ln(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　D　)
A．(－∞，1)　　
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)　　
D．(3，＋∞)
[解析]　由题意得解得x>3.故选D.
6．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则f与f(a2－a＋1)的大小关系为(　B　)
A．fB．f>f(a2－a＋1)
C．f＝f(a2－a＋1)　　
D．无法比较大小
[解析]　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥>，且函数f(x)是(0，＋∞)上的减函数，∴f(a2－a＋1)7．若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是(　D　)
A．[－1,2]　　
B．[－1,0]
C．[1,2]　　
D．[0,2]
[解析]　当x>0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，故当x＝1时取得最小值2＋a，
∵f(0)是函数f(x)的最小值，∴当x≤0时，f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f(0)＝a2，∴2＋a≥a2，解得－1≤a≤2.又a≥0.可得0≤a≤2.故选D.
8．(2021·赣州模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是(　B　)
A．(－∞，0]　　
B．[0,1)
C．[1，＋∞)　　
D．[－1,0]
[解析]　由题知，g(x)＝可得函数g(x)的单调递减区间为[0,1)．故选B.
9．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　D　)
A．有最小值　　
B．有最大值
C．是减函数　　
D．是增函数
[解析]　由已知得x＝a<1，g(x)＝＝x＋－2a，当a≤0时，g(x)在(1，＋∞)上为增函数，当010．已知函数f(x)的定义域为R，对任意x12x的解集为(　A　)
A．(2，＋∞)　　
B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞)　　
D．(－1，＋∞)
[解析]　∵函数f(x)的定义域为R，对任意x10，∴函数R(x)＝f(x)－x是R上的增函数，f(2x－1)>2x，即f(2x－1)－(2x－1)>1，即R(2x－1)>1.而R(3)＝f(3)－3＝1，故R(2x－1)>R(3)，2x－1>3，解得x>2，故选A.
二、多选题
11．函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有>0”的可以是(　AC　)
A．f(x)＝　　
B．f(x)＝(1－x)2
C．f(x)＝e1－x　　
D．f(x)＝ln(x＋1)
[解析]　由题意知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A中，f(x)＝满足要求；B中，f(x)＝(1－x)2在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C中，f(x)＝e1－x是减函数；D中，f(x)＝ln(x＋1)是增函数．故选A、C.
12．已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　CD　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
[解析]　根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2
<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
13．(2021·陕西西安中学期中改编)若函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值可能为(　ABC　)
A．4　　
B．5
C．6　　
D．7
[解析]　因为函数f(x)＝为R上的减函数，所以y＝x2－x＋8，x≤1，y＝，x>1是减函数，且当x＝1时，9－≥a，则解得4≤a≤6，故选A、B、C.
三、填空题
14．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上不具有单调性，则实数a的取值范围为
(1,2)
.
[解析]　函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都分别具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性，只需115．函数y＝－x(x≥0)的最大值为　　；增区间为　　.
[解析]　令t＝，则t≥0，
所以y＝t－t2＝－2＋，
所以当t＝时，ymax＝.
t＝为增函数，y＝t－t2在上递增，所以增区间为.
16．已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1,1)，则不等式f(1－m)(0,1)
.
[解析]　f(x)＝
∴f(x)在(－1,1)上单调递减，
∴
解得0四、解答题
17．已知函数f(x)＝.
(1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性；
(2)求函数f(x)在[1,2]上的最值．
[解析]　(1)解法一：任取x1，x2∈[1,2]，且x1则f(x2)－f(x1)＝－＝
＝，
＝
∵x1，x2∈[1,2]，∴－2≤x2－3≤－1，－2≤x1－3≤－1，
∴1≤(x2－3)(x1－3)≤4，∴(x1－3)(x2－3)－9<0.
又x2－x1>0，(x2－3)(x1－3)>0，
∴<0，即f(x2)∴f(x)在[1,2]上为减函数．
解法二：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
∵1≤x≤2，∴f′(x)<0，∴f(x)在[1,2]上为减函数．
(2)由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝－4，f(x)max＝f(1)＝＝－.
18．(2021·天水模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]，
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
[解析]　(1)a＝－1，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
因为x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，
x＝－5时，f(x)取最大值37.
(2)f(x)的对称轴为x＝－a；因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5，或－a≥5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
19．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为单调增函数；
(3)若f＝－1，求f(x)在上的最值．
[解析]　(1)∵函数f(x)满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，
∴f>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)＝f(x2)＋f－f(x2)＝f>0，
即f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
若f＝－1，则f＋f＝f＝－2，
即f＝f(1)＝f＋f(5)＝0，即f(5)＝1，
∴f(5)＋f(5)＝f(25)＝2，f(5)＋f(25)＝f(125)＝3，
∴f(x)在的最小值为－2，最大值为3.

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