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专题05
函数与方程
重点题型
题型一、求函数的零点
熟记：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根?函数的图象与x轴有交点?函数有零点．
题型二、函数零点的个数判断
1．解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
题型三、函数零点的综合问题
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
考点集训
一、单选题
1．函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是
A．(6,7)
B．(7,8)
C．(8,9)
D．(9,10)
2．关于函数，下列说法正确的是（
）
A．函数有2个零点
B．函数有4个零点
C．是函数的一个零点
D．是函数的一个零点
3．已知函数若方程有且仅有两个不等实根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数，若，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知是方程的解，是方程的解，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数，若函数，则下列结论正确的是（
）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
7．已知函数，用表示a，b中的最大值，则函数的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．已知函数，当时，有，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
9．已知函数满足对任意都成立，且，若方程在区间上有6个根，则实数的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
12．若方程有且仅有1个实数根，则实数的值不可能为（
）
A．2
B．-2
C．4
D．-4
13．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
14．若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（
）
A．1
B．2
C．15
D．16
15．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．2
16．已知，若函数有两个零点，有两个零点，则下列选项正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
17．已知函数的零点在区间内，那么__________．
18．方程的实数根的个数为___________.
19．已知函数，若，且，则的最大值为________．
20．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________.
21．已知函数，恰有四个不相等的实数根，，，且满足，则______；的最小值为______．
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函数与方程
重点题型
题型一、求函数的零点
熟记：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根?函数的图象与x轴有交点?函数有零点．
题型二、函数零点的个数判断
1．解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
2．零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．
3．数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
题型三、函数零点的综合问题
1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围
根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：
①判断函数的单调性；
②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；
③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．
2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围
一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．
3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系
要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：
①求出零点，直接比较大小；
②确定零点所在区间；
③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.
考点集训
一、单选题
1．函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是
A．(6,7)
B．(7,8)
C．(8,9)
D．(9,10)
【答案】D
【解析】
解：因为零点存在性原理可知，连续函数在区间端点值函数值异号，则说明零点在此区间．因此f（9）=lg9-1<0,
f（10）=lg10-9/10>0,因此选D.
2．关于函数，下列说法正确的是（
）
A．函数有2个零点
B．函数有4个零点
C．是函数的一个零点
D．是函数的一个零点
【答案】A
【分析】
直接令，求方程的实数根，确定零点个数.
【详解】
令，解得：或，
所以函数有2个零点.
故选：A
3．已知函数若方程有且仅有两个不等实根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
画出函数图像，通过图像得出答案.
【详解】
已知，作出函数图像，
通过函数图像可以看出，当，函数无限趋近于1，但不等于1，当，函数无限趋近于0，但不等于0，所以有且仅有两个不等实根，可以得到.
故选：B.
4．已知函数，若，，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
函数，若，，
可得，解得或，则实数的取值范围是，
故选：A．
5．已知是方程的解，是方程的解，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
在中，令，则有，则由题可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，由反函数的性质可得，从而可得
【详解】
在中，令，则有，
因为与互为反函数，图象关于对称.
依题意可知，就是直线与曲线，交点的横坐标，
所以，所以，即.故选：C.
6．已知函数，若函数，则下列结论正确的是（
）
A．若没有零点，则
B．当时，恰有1个零点
C．当恰有2个零点时，的取值范围为
D．当恰有3个零点时，的取值范围为
【答案】D
【分析】
作出的图象，令，可得或，分别讨论在、、、、、、、和情况下，和图象与图象交点个数，即可得零点个数，综合分析，即可得答案.
【详解】
作出的图象，如图所示：
令，即，
可得或，即或，
当时，和均无解，此时无零点，
当时，有且仅有一个根x=-1，无解，此时有一个零点，故A错误；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
，图象与无交点，即无解，此时有2个零点；
当时，图象与图象有3个交点，即有3个根，
，图象与无交点，即无解，此时有3个零点；
当时，图象与图象有2个交点，即有2个根，
图象与图象有1个交点，此时有3个零点；故B错误
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有3个交点，即有3个根，此时有4个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
图象与图象有2个交点，即有2个根，此时有3个零点；
当时，图象与图象有1个交点，即有1个根，
，图象与图象有1个交点，即有1个根，此时有2个零点，故C错误；
综上可得：当恰有3个零点时，的取值范围为，故D正确.故选：D
【点睛】
解题的关键是将函数零点问题，转化为图象求交点问题，分别讨论m的范围，数形结合，即可得答案，考查分段讨论，分析整理的能力，属中档题.
7．已知函数，用表示a，b中的最大值，则函数的零点个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
分，，三种情况讨论可得结果.
【详解】
分三种情况讨论：
①
当时，，所以，故无零点；
②
当时，，，所以，故是的零点；
③
当时，，所以的零点就是的零点.
显然，在上单调递减，且，，
故在内有唯一零点，即在内有唯一零点.
综上可知，函数在时有2个零点.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是：分，，三种情况讨论.
8．已知函数，当时，有，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
作出函数图象，根据图象判断出的值以及的取值范围，由此可分析出的取值范围.
【详解】
作出的图象如下图所示：
因为，所以，
由图象可知：关于对称，所以，
又，所以，
所以，
故选：B.
【点睛】
思路点睛：根据多个自变量对应的函数值相等求解自变量和的范围问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有：
（1）确定方程根的个数；
（2）求参数范围；
（3）求不等式解集；
（4）研究函数性质.
9．已知函数满足对任意都成立，且，若方程在区间上有6个根，则实数的范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
判断函数的周期，作出函数的图象以及的图象，数形结合即可求解.
【详解】
由函数满足对任意都成立，即，所以函数的周期，
在区间上有6个根，即在区间上有6个根，
作出函数在区间上图象，如图：
由图象可知，当的图象与的图象在区间上有6个根，-1一定是方程的根，则，故实数的范围是.故选：B
10．定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
由题意得，表示不等式的解集中整数解之和为6.
当时，数形结合（如图）得的解集中的整数解有无数多个，解集中的整数解之和一定大于6.
当时，，数形结合（如图），由解得.在内有3个整数解，为1，2，3，满足，所以符合题意.
当时，作出函数和的图象，如图所示.
若，即的整数解只有1，2，3.
只需满足，即，解得，所以.
综上，当时，实数的取值范围是.故选D.
二、多选题
11．在下列区间中，函数一定存在零点的区间为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
本题首先可通过求导得出函数在上是增函数、在上是减函数以及，然后通过函数的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果.
【详解】
，，
当时，，函数在上是增函数；
当时，，函数在上是减函数，
，
A项：，，
因为，所以函数在内存在零点，A正确；
B项：，，
因为，，所以函数在内存在零点，B正确；
C项：，，，
因为，所以函数在内不存在零点，C错误；
D项：，，，
则函数在内存在零点，D正确，
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数零点所在区间的判断，考查零点存在性定理的应用，若函数在区间上满足，则函数在区间上有零点，考查利用导数求函数单调性，考查推理能力与计算能力，是中档题.
12．若方程有且仅有1个实数根，则实数的值不可能为（
）
A．2
B．-2
C．4
D．-4
【答案】BCD
【分析】
令，函数图像的对称轴为直线，然后可得，解出，然后再验证即可.
【详解】
依题意得方程，
即有且仅有1个实数根.
令，
易知函数图像的对称轴为直线.
因为方程有且仅有1个实数根，
所以，即，解得或.
当时，函数，易知函数是连续函数，
又，，所以函数在上也必有零点，
此时不止有一个零点，故不符合题意；
当时，，此时只有这一个零点，
故符合题意.
因此实数的值不可能为
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题的解题关键是构造函数，求出函数图像的对称轴，利用对称的性质得出.
13．已知函数，且实数，满足，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
由题意，确定函数为增函数，进而得知，，中一项为负的，两项为正的，或者三项都是负的，分类讨论分别求得可能成立选项，从而得到答案.
【详解】
由函数的单调性可得，函数在为增函数，
由，
则为负数的个数为奇数，
对于选项，选项可能成立
对于选项，当时，函数的单调性可得：
即不满足，故选项不可能成立，故选：
【点睛】
本题考查了函数的单调性，属于中档题.
14．若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（
）
A．1
B．2
C．15
D．16
【答案】AD
【分析】
函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题．
【详解】
函数f(x)的零点即为方程f(x)＝0的解．
当m＝1时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣1＝0，解得：x＝0；
当x≥2时，2021（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x＝1或3，只取x＝3．
∴函数有两个零点0或3．∴A对；
当m＝2时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣2＝0，解得：x＝；
当x≥2时，2021（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x＝2或6．
∴函数有三个零点或2或6．∴B错；
当m＝15时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣15＝0，解得：x＝log415＜2；
当x≥2时，2021（x﹣15）（x﹣45）＝0，解得：x＝15或45．
∴函数有三个零点log415或15或45．∴C错；
当m＝16时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣16＝0，解得：x＝2不成立；
当x≥2时，2021（x﹣16）（x﹣48）＝0，解得：x＝16或48．
∴函数有两个零点16或48．∴D对；
故选：AD．
15．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（
）
A．
B．
C．
D．2
【答案】AB
【分析】
对分类讨论，利用数形结合分析得解.
【详解】
（1）当时，由题得，
因为，所以此种情况不存在；
（2）当时，由题得，
因为，所以.
故选：AB
【点睛】
方法点睛：取值范围问题的求解，常用的方法：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法.
要根据已知条件灵活选择方法求解.
16．已知，若函数有两个零点，有两个零点，则下列选项正确的有（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】
由已知分析得选项A正确，利用基本不等式证明选项B正确；利用不等式性质得到选项C错误，利用作差法得到选出D错误.
【详解】
因为函数有两个零点，所以，所以，
令=0，所有两个零点，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以选项A正确；
因为，
所以因为，
所以，所以选项B正确；
因为，所以选项C错误；
，
所以，所以选项D错误.
故选：AB
三、填空题
17．已知函数的零点在区间内，那么__________．
【答案】5
【解析】，
，所以函数零点在，由题零点在区间内，又，所以k=5.
方法点睛：已知函数有零点（方程有根），求参数的取值范围常用的方法有：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，再转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数图像，再数形结合求解.
18．方程的实数根的个数为___________.
【答案】
【分析】
转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象可得答案.
【详解】
显然不是方程的实数根，所以方程的实数根的个数等于函数的图象与函数的图象的交点个数，画出函数与的大致图象，如下图所示，所以函数的图象与函数的图象的交点个数为，所以方程的实数根的个数为，
故答案为：.
【递减】
本题的关键点是转化为函数的图象与函数的图象的交点个数，考查了学生转化与数形结合的能力.
19．已知函数，若，且，则的最大值为________．
【答案】
【分析】
由得，，把转化为，利用二次函数求最值.
【详解】
的图像如图示：
不妨令，由图像可知，，
由，
由
当时，．
故答案为：.
【点睛】
二元变量问题通常可以减元，转化为一元函数，利用函数求最值.
20．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
根据题意，函数有两个不同的零点，等价于与的图象有两个不同的交点，作出图象，数形结合即可求解.
【详解】
由函数有两个不同的零点，
可知与的图象有两个不同的交点，
故作出如下图象，
当与的图象相切时，，即，
由图可知，故相切时，
因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，
即当时，函数有两个不同的零点.
故答案为：.
21．已知函数，恰有四个不相等的实数根，，，且满足，则______；的最小值为______．
【答案】
【分析】
根据解析式画出图象，将问题转化为与恰有个不同交点，由数形结合的方式可确定，根据对数运算法则得到，化简可求得；根据二次函数对称性将化为，配凑成，利用基本不等式可求得最小值.
【详解】
由解析式可得图象如下图所示：
恰有个不等实根等价于与恰有个不同交点，
由图象可知：，
，，
则，即，
，即，；
关于对称，，
（当且仅当，即时取等号），
当时，，满足与恰有个不同交点，
的最小值为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据方程根的个数，求解与根有关的式子的值的问题；解题关键是通过数形结合的方式确定根所处的范围，并根据范围构造等量关系，配凑出所求的式子；求解最值时，灵活应用等于的式子，配凑出符合基本不等式的形式是关键.
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