资源简介

高一新生入学分班考试
数 学 模 拟 试 题
总分：150 分 时：120 分钟
第 Ⅰ 卷
一 . 选 择 题 （ 本 大 题 共 10小 题 ， 小 题 5分 ， 共 50分 。 在 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 。 ）
1．下列运算正确的是（ ）。
2 3 6 8 4 2 3 3 6 3 2 6
A、 a· a=a B、 a÷ a=a C、 a+a=2a D、( a)=a
2
2．一元二次方程 2x -7x+k=0 的一个根是 x 1=2,则另一个根和 k 的值是 ( )
3 3
A．x 2=1 ，k=4 B．x 2= - 1, k= -4 C ．x 2= ,k=6 D．x 2= ? ,k=-6
2 2
2
3．如果关于 x 的一元二次方程 x kx? ? ?2 0中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程
有两个不等实数根的概率 P= ( )
2 1 1 1
A． B． C． D．
3 2 3 6
2
4． 二次函数 y=-x -4x+2 的顶点坐标、对称轴分别是( )
A.(-2,6)，x=-2 B.(2,6)，x=2 C.(2,6)，x=-2 D.(-2,6)，x=2
5 ． 已 知 关 于 x的方程 5x?4 ?a ?0无解 4, x?3 ?b ?0有两个解 3, x?2 ?c ?0 只 有 一 个 解 ， 则 化 简
a?c ? c?b ? a?b 的结果是 （ ）
A、2a B、2b C、2c D、0
6. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块 A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一
定高度，则下图能反映弹簧称的读数 y（单位 N）与铁块被提起的高度 x（单位 cm）之间的函数关系的大致图
象是 （ ）
（ N） （ N）
（ N） （ N）
A (cm) (cm) (cm) (cm)
第 6题图 A B C D
7． 下列图中阴影部分的面积与算式 3 1 2 ?1
|? ?(| ) ?2 的结果相同的是 （ ）
4 2 y
y y y 3
y=x2-1 y ?
(1,1) y=2x x
0 x 0 1 x 0 x 0 x
A B C D
8．已知四边形 S1的两条对角线相等，但不垂直，顺次连结 S1各边中点得四边形 S2，顺次连结 S2各 边 中
形 S3，以此类推，则 S2006为（ ）
A．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形；
C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.
9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ?,∠ABC= ?.若 ? ?? ?10 ,则 的度数 是
A
A．40 ? B． 50?
C． 60 ? D．不能确定 α
β
B D C
10． 如图为由一些边长为 1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的
2
表面积是________ cm 。
正视图 左视图 俯视图
A． 11 B．15 C．18 D．22
第 Ⅱ 卷 （ 答 卷 ）
二 . 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 小 题 4 分 ， 共 20 分 ）
x?1
11．函数 y ? 中，自变 x 的取值范围是 ．
x?2
12．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD AB D? 于 ，AC＝10， CD＝6，则 sinB 的值为_____。
13．如图 ，在⊙O 中，∠ACB＝∠D＝60°，OA＝2，则 AC 的长为_________。
A
C
O D
.
D
A B B C
图 4
14．同室的 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后人从中拿一张别人送出的 贺年卡，则 4 张贺年卡不同的拿
法有__________种。
1
x 3 3 1 1 1
15. 对于正数 x，规定 f（x）= ,例如 f（3）= ? ， f（ ）= 3 ? ，计算 f（ ）+ f（
1 x? 1 3 4? 3 1 4 2006 2005
1?
3
1 1 1
+f（ ）+ … f（ ）+ f（ ）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）
2004 3 2
= .
三 . 解 答 题 （ 共 6 小 题 ， 共 80 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
?2 4 5x x? ?
? ? ?1
16．（1）解不等式组： ? 3 2 ，并把解集在数轴上表示出来.
?? 2 1 6? ?x x? ? ?
? x?1 x ? 1
（2）先化简，再求值：已知 x? 2?1，求 ?
2 ?
2 ?? 的值．
?x ?x x ?2x?1? x
17. （本小题满分 10 分）
如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作圆，交 AB 于 D，交 BC 于 E，
（1） 求证：EC=ED
（2） 已知：AB=5，BC=6，求 CD 长。
2 1
18．（本小题满分 12 分）已知关于ｘ的方程 x -(2k+1)x+4(k- )=0.
2
⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;
⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这个方程的两个根,求三角形 ABC 的周长.
19．（本小题满分 14 分）
在 芦 淞 服 装 批 发 市 场 ， 某 种 品 牌 的 时 装 当 季 节 将 来 临 时 ， 价 格 呈 上 升 趋 势 ， 设 这 种 时 装 开 始 时 定 价 为 20元
1 周价格），并且周价格上涨，如图示，从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售；从第 12 周开 始，
当季节即将过去时，周下跌，直到第 16 周周末，该服装不再销售。
⑴求 销售价格 y（元/件）与周次 x之间的函数关系式；
2
⑵若这种时装件进价 Z（元/件）与周次 x次之间的关系为 Z＝ ? .0 125?x?8? ?12（1≤ x≤16），且 x为
整数，试问该服装第几周出售时，件销售利润最大？最大利润为多少？
价 格
30
20
11
0
1 2 4 6 8 10 12 14 16 周 次
20.（本小题满分 14 分）
1 2 2
已知抛物线 y x mx m m? ? ? ?3 18 与 x 轴交于 A x B x x x( ,0), ( ,0) ( )1 2 1 2? 两点，与 y 轴交于点 C（0，b），
8
O 为原点.
（1）求 m 的取值范围；
1
（2）若 m ? 且 OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及 A、B、C 的坐标.
18
（3）在（2）的情形下，点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动，联结 PQ 与 BC 交
于 M，设 AP=k，问是否存在 k，使以 P、B、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在，求所有的 k 值，若不 存在说明
理由.
21．（本小题满分 14 分）若干个 1 与 2 排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，----- - ，规则是：第 1
个数是 1，第 2 个数是 2，第 3 个数是 1，一般地，先写一行 1，再在第 k 个 1 与第 k+1 个 1 之间插入 k 个 2（k =1,2,3,---）.
试问：（1）第 2006 个数是 1 还是 2？
（2）前 2006 个数的和是多少？前 2006 个数的平方和是多少？
（3）前 2006 个数两两乘积的和是多少？
参 考 答 案
一 . 选 择 题 （ 小 题 5 分 ， 共 50 分 ）
题 次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答 案 D C A A D C D B B C
二 . 填 空 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 小 题 4 分 ， 共 20 分 ）
x?1
11．函数 y ? 中，自变 x 的取值范围是 x x? ?1 2且 ．
x?2
4
12．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， CD AB D? 于 ，AC＝10， CD＝6，则 sinB 的值为__ ___。
5
13．如图 ，在⊙O 中，∠ACB＝∠D＝60°，OA＝2，则 AC 的长为______ 2 3___。
A
C
O D
.
D
A B B C
图 4
14．同室的 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后人从中拿一张别人送出的 贺年卡，
则 4 张贺年卡不同的拿法有______________ 9__________________种。
1
x 3 3 1 1
15. 对于正数 x，规定 f（x）= ,例如 f（3）= ? ， f（ ）= 3 ? ，
1 x? 1 3 4? 3 1 4
1?
3
1 1 1 1 1
计算 f（ ）+ f（ ）+ f（ ）+ … f（ ）+ f（ ）+ f（1）+ f（1）+
2006 2005 2004 3 2
f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= 2006 .
三 . 解 答 题 （ 共 6 小 题 ， 共 80 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
?2 4 5x x? ?
? ? ?1
16．（本题满分 16 分）（1）解不等式组： ? 3 2 ，并把解集在数轴上表示出来.
?? 2 1 6? ?x x? ? ?
?2 4 5x x? ?
? ? ?1 (1)
解： ? 3 2
?? 2 1 6 (2)? ?x x? ? ?
由（1）得：x>-1
由（2）得： x?4 所以原不等式组的解集为： ? ? ?1 4x
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
? x?1 x ? 1
（2）先化简，再求值：已知 x? 2?1，求 ?
2 ?
2 ?? 的值．
?x ?x x ?2x?1? x
解：当 x? 2?1时，
? ?x x?1 1
? ?2 2? ?
? ?x x x x x? ? ?2 1
x x?1
? ? ?( )
2 x
x x x( 1) ( 1)? ?
2 2
x x? ?1
? ?
2 x
x x( 1)?
?1
?
2
( 1)x?
1
? ?
2
17. （本小题满分 10 分）
如图，等腰三角形 ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作圆，交 AB 于 D，交 BC 于 E，
（3） 求证：EC=ED
（4） 已知：AB=5，BC=6，求 CD 长。
（1） 证明：
A ∵
AC为 直径， ? ?AE BC，
∵
AB=AC， BAE= CAE?? ?
O ?EC=ED
D （2）解：由 AB=5，BC=6
得：BE=3，AE=4
B C
E ∵
AC CDA AEB B B为 直径， ，?? ? ? ? ? ? ? ?90
?
BC CD
?? ? ? ?BDC BEA
AB AE
6 24CD
即 ： ? ? ?CD
5 4 5
2 1
18．（本小题满分 12 分）已知关于ｘ的方程 x -(2k+1)x+4(k- )=0.
2
⑴ 求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;⑵ 若等腰三角形 ABC 的一边长 a=4,另两边的长 b、c 恰好是这 个
方程的两个根,求三角形 ABC 的周长. 解：（1）
2 1
? ? ? ? ?(2 1) 16( )k k
2
2
? ? ?4 12 9k k
2
? ?(2 3)k
恒大于等于 0
所以：无论 k 取何值,这个方程总有实数根。-------5 分
（2）三角形 ABC 为等腰三角形，可能有两种情况：
2 1
1）b 或 c 中至少有一个等于 a= 4，即：方程 x -(2k+1)x+4(k- )=0 有一根为 4，
2
5 2
可得 k= ,方程为 x -6x+8=0.另一根为 2，此时三角形 ABC 周长为 10；------9 分
2
2 1
2）b=c 时， ? ? ? ? ? ?(2 1) 16( ) 0k k
2
3 2
得 k= ,方程为 x - 4x+4=0.得 b=c=2, 此时 ABC 不能构成三角形；
2
综上，三角形 ABC 周长为 10。 --------------------12 分
19．（本小题满分 14 分）
在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为 20 元/件（第
1 周价格），并且周价格上涨，如图示，从第 6 周开始到第 11 周保持 30 元/件的价格平稳销售；从第 12 周开 始，
当季节即将过去时，周下跌，直到第 16 周周末，该服装不再销售。
⑴求 销售价格 y（元/件）与周次 x之间的函数关系式；
2
⑵若这种时装件进价 Z（元/件）与周次 x次之间的关系为 Z＝ ? .0 125?x?8? ?12（1≤ x≤16），且 x为
整数，试问该服装第几周出售时，件销售利润最大？最大利润为多少？
价 格
30
20
11
0
1 2 4 6 8 10 12 14 16 周 次
解：⑴依题意，可建立的函数关系式为：
?2x?18 ?1? x ?6?
?
y ? ?30 ? ?6? x ?11 ------------------------------------6 分
???2x?52 ? ?12? x ?16
⑵设销售利润为 W，则 W＝售价－进价
? 1 2
?20?2x? ? ? ? ?x?8 ?14 1? x ? 6
8
?? 1 2
故 W＝ ?30? ? ? ? ?x?8 ?12 6? x ?11
? 8
?1 2
? ? ? ? ?x?8 ?2x?40 12? x ?16
?8
?1 2
? x ?14 ? ?1? x ?6
8
??1 2
化简得 W＝ ? x ?2x?26 ? ?6? x ?11 ………………10 分
?8
?1 2
? x ?4x?48 ? ?12? x ?16
?8
1 2
①当 W＝ x ?14时，∵ x≥0，函数 y随着 x增大而增大，∵1≤ x≤6
8
∴当 x ?6时，W 有最大值，最大值＝18.5
1 2 1 2
②当 W＝ x ?2x?26时，∵W＝ ? ?x?8 ?18，当 x≥8 时，函数 y随 x
8 8
增大而增大
1
∴在 x ?11时，函数有最大值为 19
8
1 2 1 2
③当 W＝ x ?4x?48时，∵W＝ ? ?x?16 ?16，∵12≤ x≤16，当 x≤16 时，函数 y随 x增大而小，
8 8
∴在 x ?12时，函数有最大值为 18
1
综上所述，当 x ?11时，函数有最大值为 19 ………………14 分
8
20.（本小题满分 14 分）
1 2 2
已知抛物线 y x mx m m? ? ? ?3 18 与 x 轴交于 A x B x x x( ,0), ( ,0) ( )1 2 1 2? 两点，与 y 轴交于点 C（0，
8
b），O 为原点.
（1）求 m 的取值范围；
1
（2）若 m ? 且 OA+OB=3OC，求抛物线的解析式及 A、B、C 的坐标.
18
（3）在（2）的情形下，点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动，联结 PQ 与 BC 交
于 M，设 AP=k，问是否存在 k，使以 P、B、M 为顶点的三角形与⊿ABC 相似.若存在，求所有的 k 值，若不 存在说明
理由.
解：（1）利用判别式 ? ? 0解得 m ? 0 (4 分)
1 2
(2)注意条件 m.? 可得 18 1 0m? ? ，从而 18 0m m? ? ，
18
2
18m m?
2
所有 x x m m1 2 ? ? ? ?8(18 ) 0，
1
8
3m
x x m1 2? ? ? ? ? ?24 0? ? ?x x1 2 0
1
8
所以 满足条件的抛物线图象如图所示
2
依题意 ? ? ? ?( ) 3x x b1 2 24 3m b? ，而 18m m b? ? ，
2 1
所以有 18 8m m m? ? ，解得 m ? 0（舍去） m ?
2
1 32
从而 y x x? ? ?4为所求的抛物线解析式
18 2
1 32
令 x x? ? ?4 0得 A（-8，0）、B（-4，0）、C（0，4）（8 分）
18 2
（3）⊿PBM 与⊿ABC 相似有两种情况：
AO CO
1） 当 PQ∥AC，AP=OQ=k，由 ? ，
PO QO
8 4 8
得 ? ，解得 k ? （10 分） D
8?k k 3
2)当 PQ 与 AC 不平行，设有∠ACB=∠MPB，
过 B 作 AC 的垂线，垂足为 D，
BD CO 4 5
利用 sin A? ? ,求得 BD=
AB AC 5
4 5
BD BC 4 2 2
由 Rt⊿CDB∽Rt⊿POQ，则有 ? ，即 5 ? ，化简得 k k? ? ?2 8 0,解得 k ? ?4或 k ? 2，
OQ PQ k 2 2
k k? ?(8 )
8
但由 CQ=4-k，知 03
21．（本小题满分 14 分）若干个 1 与 2 排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，----- - ，规则是：第 1
个数是 1，第 2 个数是 2，第 3 个数是 1，一般地，先写一行 1，再在第 k 个 1 与第 k+1 个 1 之间插入 k 个 2（k =1,2,3,---）.
试问：（1）第 2006 个数是 1 还是 2？
（2）前 2006 个数的和是多少？前 2006 个数的平方和是多少？
（3）前 2006 个数两两乘积的和是多少？
解：
（1） 把该列数如下分组：
1 第 1 组
2 1 第 2 组
2 2 1 第 3 组
2 2 2 1 第 4 组
2 2 2 2 1 第 5 组
-------
2 2 2 2 2 1 第 n 组 (有 n-1 个 2)
易得，第 2006 个数为第 63 组，第 53 个数，为 2；---------4 分
（2） 前 2006 个数的和为 62+1944 ?2=3950，
2 2
前 2006 个数的平方和是： 62 1 1950 2 7862? ? ? ? ------------------10 分
（3）记这 2006 个数为
a a a1 2 2006， ， ?
,
记 R a a a? ? ? ? ?
1 2 2006?
3950
2 2 2 2 2
T a a a? ? ? ? ? ? ? ? ??
1 2 2006 62 1 1950 2 7862
S a a a a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ?
1 2 1 3 1 2006 2 3 2 4? ?
a a a a2 2006 2005 2006? ??
2 2 2 2
? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ( ) ( )S a a a a a a1 2 2006? ?
1 2 2006
2
? ?R T
2
? ?3950 7862
1 2 ---------------------------------14 分
S ? ? ?(3950 7862) 7797319
2

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