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2021年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》暑假自主学习基础达标训练（附答案）
1．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a﹣b）2的值是（　　）
A．1 B．2 C．12 D．13
2．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的面积为（　　）
A．6 B．36 C．64 D．8
3．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（　　）寸．（1尺＝10寸）
A．101 B．100 C．52 D．96
4．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是Rt△ABC的两条边长，则第三条边长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．以上都不对
5．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝6：8：10
6．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，10 C．5，5，11 D．5，12，13
7．下列四组数中，是勾股数的是（　　）
A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，，
8．若3、4、a为勾股数，则a的相反数的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣5或﹣ D．5或
9．如图，图中所有的四边形都是正方形，图中的三角形是直角三角形，已知正方形A，B的面积分别是9和4，则最大正方形C的面积是　 　．
10．中国的《周髀算经》明确记载了：勾广三，股修四，径隅五．还给出了勾股定理的一般形式．在西方数学史中，勾股定理又被称为毕达哥拉斯定理．我们把像3，4，5这样一组满足a2+b2＝c2的正整数解称为勾股数．某同学将自己探究勾股数的过程列成如图（八）的表，其中每行数为勾股数．观察表中每列数的规律，可知x+y的值为　 　．
a 3
8
15
24
…
x b
4
6
8
10
…
y c
5
10
17
26
…
82
11．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则AB＝　 　．
12．现将一支长20cm的金属筷子（粗细忽略不计）放入一个长和宽分别为8cm，6cm的长方体水槽中，要使水完全淹没筷子，则水槽中的水深至少为　 　cm．
13．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D均在格点上，则∠CAB+∠CBA＝　 　°．
14．已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝　 　．（用含n的代数式表示）
15．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是　 　．
16．如图所示，我国汉代数学家赵爽，为了证明勾股定理创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为5，则S1+S2+S3＝　 　．
17．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝　 　°．
18．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1），并给出了勾股定理的证明．已知，图2中涂色部分是直角边长为a，b，斜边长为c的4个直角三角形，请根据图2利用割补的方法验证勾股定理．
19．如图，四边形DEFG中，∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，DE＝6，EF＝5，FG＝，求DG的长．
20．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．
21．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．
22．在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2这种方法可以极简单地直观推论或验证出数学规律和公式．
（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间的部分是一个小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；
（2）请你用图（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2＝x2+2xy+y2．
23．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是多少米？请你用所学知识解答这个问题．
24．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解（x，y，z）叫做勾股数，如（3，4，5）就是一组勾股数．
（1）在研究勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明；
（2）探索规律：观察下列各组数（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…，直接写出第6个数组．
25．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
参考答案
1．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12
则（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝13﹣12＝1．
方法二、小正方形的边长就是|a﹣b|，其面积是1，
故选：A．
2．解：如图，∵∠CBD＝90°，CD2＝14，BC2＝8，
∴BD2＝CD2﹣BC2＝6，
∴正方形A的面积为6，
故选：A．
3．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
设单门的宽度AO是x寸，则AE＝x﹣1，DE＝10寸，
根据勾股定理，得：AD2＝DE2+AE2，
则x2＝102+（x﹣1）2，
解得：x＝50.5，
故AB＝101寸，
故选：A．
4．解：∵|m﹣3|+＝0，
∴m﹣3＝0且n﹣4＝0，
则m＝3，n＝4，
当4是直角边时，斜边长＝＝5，
当4是斜边时，另一条直角边＝＝，
综上，第三条边长为5或，
故选：C．
5．解：当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，则∠C＝180°×＝75°，同理可得∠A＝45°，∠B＝60°，故选项A符合题意；
当∠C＝∠A﹣∠B时，可得∠C+∠B＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故选项B不符合题意；
当a2+b2＝c2时，则△ABC时直角三角形，故选项C不符合题意；
当a：b：c＝6：8：10时，a2+b2＝c2，则△ABC时直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A．
6．解：A、32+42≠82，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、52+62≠102，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、52+52≠112，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、52+122＝132，能构成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
7．解：A、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
B、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：A．
8．解：∵3、4、a为勾股数，
∴a＝＝5，
∴a的相反数为﹣5，
故选：A．
9．解：根据勾股定理的几何意义，可知
SC＝SA+SB＝9+4＝13，故答案为：13．
10．解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，
8＝32﹣1，6＝2×3，10＝32+1，
15＝42﹣1，8＝2×4，17＝42+1，
24＝52﹣1，10＝2×5，26＝52+1，……
80＝92﹣1，18＝2×9，82＝92+1，
∴x＝80，y＝18，
∴x+y＝98，
故答案为98．
11．解：∵S1＝22，S2＝14，
∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，
∴BC＝＝6，
∵AC＝10，
∴AB＝＝＝8，
故答案为：8．
12．解：由题意可得，
底面长方形的对角线长为：＝10（cm），
故水槽中的水深至少为：＝10（cm），
故答案为：10．
13．解：由图可知：AD＝CD＝，AC＝，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC+∠BCA＝∠ACD＝45°，
故答案为：45．
14．解：方法1：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为奇数时，c＝b+1，
又a＝2n+1（n为正整数），
由勾股定理可得：c2﹣b2＝（2n+1）2，即（b+1）2﹣b2＝（2n+1）2，
解得b＝2n2+2n，
∴c＝2n2+2n+1，
∴b+c＝4n2+4n+1，
故答案为：4n2+4n+1．
方法2：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为大于1的正奇数时，有如下规律：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，…，a2＝b+c，
∴当a＝2n+1时，b+c＝（2n+1）2．
15．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股BE＝＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
16．解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2＝GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG?DG
＝CG2+CF2+2CG?DG
＝GF2+2CG?DG，
S2＝GF2，
S3＝（KF﹣NF）2，
＝KF2+NF2﹣2KF?NF
＝KF2+KG2﹣2DG?CG
＝FG2﹣2CG?DG，
∵正方形EFGH的边长为5，
∴GF2＝25，
∴S1+S2+S3＝GF2+2CG?DG+GF2+FG2﹣2CG?DG＝3GF2＝75，故答案为：75．
17．解：连接BC，
由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，
∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，
∴∠OCB＝90°，
即△COB是等腰直角三角形，
∴∠COB＝45°，
∵∠DOA＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，故答案为：45．
18．证明：∵，
∴c2+ab＝ab+b2+a2+ab，
∴c2＝a2+b2．
19．解：延长并反向延长EF，作DA⊥AE于A，GB⊥FB于B，作DC∥AB于C，
∵∠DEF＝120°，∠EFG＝135°，
∴∠DEA＝60°，∠GFB＝45°，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴AE＝3，AD＝3，FB＝GB＝，
∴CG＝BC﹣BG＝AD﹣BG＝2，AB＝CD＝AE+EF+BF＝8+，
∴DG＝＝．
20．（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，
∴AD＝3，BD＝5，
∴DC＝5，
∴AC＝＝＝4．
21．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，
AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图3，
若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得t＝；
如图3，若∠ANM＝90°，
由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得t＝．
综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
22．解：（1）大正方形的面积为：c2，中间小正方形面积为：（b﹣a）2；
四个直角三角形面积和为：4×ab；
由图形关系可知：大正方形面积＝小正方形面积+四直角三角形面积，
即有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2；
（2）如图示：
大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，即x2+2xy+y2
所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；
23．解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，12×＝4米
答：水池里水的深度是4米．
24．（1）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2＝z2，
即x，y，z为勾股数．
（2）∵①3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；
②5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；
③7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；
④9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；
⑤11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，
则⑥13＝2×6+1，2×62+2×6＝84，2×62+2×6+1＝85，
∴第6组勾股数是：（13，84，85）．
25．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝．

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