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12.3
角的平分线的性质
第2课时
角平分线的判定
R·八年级上册
学习目标
【知识与技能】
1.掌握角的平分线的判定.
2.会利用三角形角平分线的性质.
【过程与方法】
通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.
【情感态度】
锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.
【教学重点】
角平分线的判定.
【教学难点】
三角形的内角平分线的应用.
新课导入
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反过来，到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢？这节课我们来对这个问题进行探究.
问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.
推进新课
　　如图，要在S
区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500
m.
这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20
000）？
思考
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
　　交换角的平分线的性质中的已知和结论，
你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质定理的逆定理的证明
知识点1
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
PD
=
PE，
∴点
P
在∠AOB的平分线上（OP
平分
∠AOB）．
几何语言：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
你能证明这个结论的正确性吗？
这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．
　　这个结论与角的平分线的性质在应用上有
什么不同？
角相等
角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系.
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路.
角平分线的性质定理的逆定理的应用
知识点2
例　如图，△ABC
的角平分线
BM，CN
相交于点
P．求证：点
P
到三边
AB，BC，CA
的距离相等．
证明：过P
点作
PD，PE，PF分别垂直于
AB，BC，CA，垂足分别为
D，E，F.
∵BM
是△ABC的角平分线，点P
在BM
上，
∴PD
=
PE
.
同理
PE
=
PF
.
∴
PD
=
PE
=
PF
.
即点P
到三边AB，BC，CA
的距离相等．
E
D
F
练习1
判断题：
（1）如图，若QM
=QN，则OQ
平分∠AOB；
（
）
×
A
B
O
Q
M
N
判断题：
（2）如图，若QM⊥OA
于M，QN⊥OB
于N，则OQ是∠AOB
的平分线；
（
）
×
A
B
O
Q
M
N
判断题：
（3）已知：Q
到OA
的距离等于2
cm，
且Q
到OB
距离等于2
cm，则Q
在∠AOB
的平分线上．
（
）
√
A
B
O
Q
M
N
　　如图，要在S
区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处500
m.
这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20
000）？
图上距离
500m
1
20000
=
解：∵
∴图上距离
=
0.025m
=
2.5cm.
P
如图所示：P点即为所求
;
理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
练习2
要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
练习3
如图，△ABC
的∠ABC
的外角的平分线
BD
与∠ACB
的外角的平分线
CE
相交于点
P
.
求证：点
P
到三边
AB，BC，CA
所在直线的距离相等.
证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q.
∵CE为∠MCN的平分线，∴PM
=
PN，
同理PN
=
PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
Q
N
M
随堂演练
1.
如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（
）
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
基础巩固
D
2.如图，点P是△ABC的外角∠CBE和外角∠BCF的平分线的交点，求证：AP平分∠BAC.
综合应用
证明：作PQ⊥BC，PM⊥AE，PN⊥AF，垂足分别为Q，M，N.
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分线上，∴PM
=
PQ，PN
=
PQ，∴PM
=
PN.
N
Q
M
又PM⊥AE，PN⊥AF，
∴
AP平分∠BAC.
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD交于G，AD
垂直平分EF吗？证明你的结论．
拓展延伸
解：AD垂直平分EF
.证明如下：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠1=∠2，∠AED
=∠AFD
=90°，DE
=
DF.
∴△AED≌△AFD（AAS）.
∴AE
=
AF，在△AEG和△AFG中，
∴△AEG≌△AFG（SAS）.
∴∠AGE
=∠AGF=90°，EG
=
FG.
∴AD⊥EF.
∴AD垂直平分EF.
课堂小结
角相等
角平分线性质
角平分线性质定理的逆定理
线段相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
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12.3
角的平分线的性质
第1课时
角平分线的作法及性质
R·八年级上册
【知识与技能】
1.掌握角的平分线的作法.
2.会利用角平分线的性质.
【过程与方法】
经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.
【情感态度】
通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
角平分线的性质及其应用.
【教学难点】
灵活应用两个性质解决问题.
学习目标
右图是一个平分角的仪器，其中AB
=AD，BC
=DC，将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE
就是∠DAB
的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
新课导入
E
推进新课
证明：在△ACD和△ACB中，
AD
=
AB（已知），
DC
=
BC（已知），
CA
=
CA（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）．
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的
对应角相等）.
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）.
A
D
B
C
E
从利用平分角的仪器画角的平分线的过程中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
用尺规作角的平分线
知识点1
利用尺规作角的平分线的具体方法:
A
B
O
M
N
C
　
1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
3．画射线OC．
射线OC即为所求．
　
2．分别以点M，N为圆心．大于　
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．
　你能说明为什么射线OC
是∠AOB
的平分线吗？
A
B
O
M
N
C
练分平角∠AOB，通过作角平分线得到射线OC，然后反向延长OC
得到直线CD，直线CD
与直线AB
存在什么样的位置关系？
互相垂直.
练习2
给一张三角形纸片，你能不借助任何工具找到某一个角的平分线吗？
能，将这个三角形沿过一个顶点的线折叠，使在该顶点的角的两边重合，则这条线就是这个角的平分线.
角的平分线的性质
知识点2
利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC
上任取一点P，过点P
画出OA，OB
的垂线，分别记垂足为D，E，测量
PD，PE
并作比较，你得到什么结论？
探究
在OC
上再取几个点试一试．
通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________.
PD
PE
第一次
第二次
第三次
PD
=
PE
已知：∠AOC
=
∠BOC，点
P
在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E．
求证：PD
=PE．
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
题设：
一个点在一个角的平分线上．
结论：它到角的两边的距离相等．
证明:
∵PD
⊥
OA，PE
⊥
OB，
∴
∠PDO=
∠PEO.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO
=
∠PEO
，
∠AOC
=
∠BOC
，
OP
=
OP
，
∴
△PDO
≌
△PEO（AAS）.
∴PD
=
PE
.
∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB
，
∴PD=PE．
几何语言：
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
　　由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．
　　角的平分线的性质的作用是什么？
主要是用于判断和证明两条线段是否相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．
A
B
O
P
C
D
E
练习1　下列结论一定成立的是
．
（1）如图，OC
平分∠AOB，点P
在OC
上，D，E
分别为OA，OB
上的点，则PD
=PE．
A
B
O
P
C
D
E
练习1　下列结论一定成立的是
．
（2）如图，点P
在OC
上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD
=PE．
练习1　下列结论一定成立的是
．
（3）如图，OC
平分∠AOB，点P
在OC
上，PD⊥OA，垂足为D．若PD
=3，则点P
到OB
的距离为3．
A
B
O
P
C
D
（3）
　　在此题的已知条件下，
你还能得到哪些结论？
练习2　如图，△ABC中，BD
=
CD，AD
是∠BAC
的平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB
=FC．
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE
=
DF.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB
=
FC.
A
B
C
D
E
F
随堂演练
1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误的是（
）
A.PC
=
PD
B.OC
=
OD
C.∠CPO
=∠DPO
D.OC
=
PO
基础巩固
D
2.如图，在△ABC中，AB
=
AC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论：
综合应用
①AD
上任意一点到点C、点B的距离相等；②AD上任意一点到AB，AC的距离相等；③BD
=
CD，AD⊥BC；④∠BDE
=∠CDF．其中，正确的个数是（
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
3.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB
=AD，BC
=
CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F.
求证：CE
=
CF.
拓展延伸
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠DAC
=∠BAC.
∴AC平分∠MAN.
∵CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE
=
CF.
课堂小结
A
B
O
M
N
C
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
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