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13.4.2　最短路径问题
最短路径问题
人教版-数学-八年级上册
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
新知探究
知识点1
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与直线l的交点.
?
?
B
l
A
C
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
新知探究
知识点2
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
?
?
A
B
l
C
B′
学习目标
1、利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2、体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想.
课堂导入
思考：（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平行的直线，桥要与河垂直）
新知探究
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
A
B
a
b
?
?
M
N
知识点1
造桥选址问题
新知探究
分析：
由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最小时，也即AM+BN的值最小.
你能用几何语言将上述的问题重新表达吗？
A
B
a
b
?
?
M
N
新知探究
如图：
直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小.
A
B
a
b
?
?
M
N
新知探究
分析：
将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小.
A
B
a
b
?
?
M
N
A′
新知探究
如图，连接A′，B两点的线段中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
A
B
a
b
?
?
M
N
A′
新知探究
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B∴A′N+NB即A′N+NB+MN∴AM+NB+MN即AM+NB+MN的值最小.
A
B
a
b
?
?
M
N
A′
M′
N′
新知探究
知识点2
两点一线型问题
?
P
l2
l1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新知探究
知识点2
两点一线型问题
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
?
P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新知探究
知识点2
两点一线型问题
解析：通过轴对称的原理，把周长最小值转化为两点间距离最短的问题.△PMN周长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.
?
P
l2
l1
P1
P2
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
新知探究
知识点3
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
两点两线型问题
?
P
l2
l1
Q
?
新知探究
知识点3
两点两线型问题
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
?
P
l2
l1
Q
?
P1
Q1
N
M
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
新知探究
知识点3
两点两线型问题
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ，依据的是两点之间，线段最短.
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.
?
P
l2
l1
Q
?
P1
Q1
N
M
随堂练习
1
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使其所走的路程最短.
?
C
A
B
O
随堂练习
1
解析：（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；
（2）作点C关于OB的对称点C2；
（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接CD，CE.
所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
?
C
A
B
O
C1
E
C2
D
如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
随堂练习
2
?
A
l1
l2
B
?
随堂练习
2
解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称点B′；
（3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
?
A
l1
l2
B
?
B′
A′
C
D
随堂练习
3
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
A
B
随堂练习
3
F
H
E
G
A
B
M
N
C
解析：（1）如图，作点A作AC垂直于河岸，且使得AC的长等于河宽；
（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且过点N作MN⊥EF于点M，则MN为所建桥的位置.
课堂小结
最短路径
问题
直线异侧的两点到直线上一点距离和
最短的问题
直线同侧的两点到直线上一点距离和
最短的问题
拓展提升
1
B
解析：如图，连接PC.
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC.
∴PB=PC.
∴PB+PE=PC+PE.
∵PE+PC≥CE，
∴当P，C，E三点共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度.
A
D
B
E
P
C
如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（
）
A.BC
B.CE
C.AD
D.AC

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