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线段的垂直平分线的性质（第一课时）
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．
A
B
l
C
符号语言：
点C是线段AB的中点，且l⊥AB于C，
?直线l是线段AB的垂直平分线．
复习回顾：
线段的垂直平分线的定义
探究：
答：
A
B
P1
P2
P3
用刻度尺和三角板画出线段AB的垂直平分线，在直线l上任取一些点P1，P2，P3，…分别量一量P1，P2，P3 ，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
l
猜想：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
P
l
C
如图，已知l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l上，
求证：PA=PB.
分析：要证PA=PB，
只需证△PAC≌△PBC．
?
?
SAS
A
B
P
l
C
?
?
证明：
（1）当P 与C重合时， 结论显然成立．
（2）当P与C不重合时，
∵l⊥AB，
∴∠ACP=∠BCP=90°．
∵在△PAC和△PBC中，
∴△PAC≌△PBC(SAS) ．
∴PA=PB．
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
P
l
C
符号语言：
∵l⊥AB于C，AC=CB，
（或者说l是AB的垂直平分线 ）
∴PA=PB.
例 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．
（1）AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
（2）若AE=6, △ABC的周长是13，求△ABE的周长．
A
B
C
E
D
例 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．
（1）AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
A
B
C
E
D
分析：由题意可知AB=AC=CE.
而DE=CE+DC
=AB+BD
A
B
C
E
D
解：
∵点C在AE的垂直平分线上，
例 如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上．
（1）AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？
例 （2）若AE=6, △ABC的周长是13，求△ABE的周长．
A
B
C
E
D
解：由（1）知DE=AB+BD，
∵△ABC的周长是
∴△ABE的周长为
AB+BE+AE
= 2(AB+BD)+AE
=13+6
=19.
= AB+BD+DE+AE
AB+AC+BC
= 2(AB+BD)=13.
小结
此题属于直接应用性质的题，关键是要弄清楚哪两条线段相等．
在表达周长时用好等量代换，要“用已知表示待求”．
练习 如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24，BC=10，则AB= ．
分析：
由DE是AB的垂直平分线可知：AE=BE.
∵△BCE的周长为BE+CE+BC
=AE+CE+BC =AC+BC =24.
而BC=10，
∴AB=AC=14.
例 已知，如图，AM是△ABC的角平分线，MF是线段BC的垂直平分线，MD⊥AB于D，ME⊥AE于E，
求证：BD=CE．
分析：由AM是△ABC的角平分线
MD⊥AB于D，ME⊥AE于E可知，
MD=ME．
由MF是线段BC的垂直平分线可知，
要连MB，MC，有MB=MC．
进而可证Rt△BDM≌Rt△CEM（HL）．
因此，BD=CE．
证明：连接MB，MC，
∵AM是△ABC的角平分线，
MD⊥AB，ME⊥AE，
∴MD=ME．
∵MF是线段BC的垂直平分线，
∴MB=MC．
∵MD⊥AB，ME⊥AE，
∴∠BDM=∠CEM=90°．
∵在Rt△BDM和Rt△CEM中
∴Rt△BDM≌Rt△CEM
（HL）．
∴BD=CE．
小结：在遇到线段的垂直平分线上的点时，通常会连接这个点和两个端点，得到相应的两条线段相等．
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
A
B
P
l
C
A
B
P
l
C
课堂小结
1. 如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交AC于点M，交BC于点N，若AB=3，BC=13．那么△ABN的周长是 ．
作 业
A
B
C
M
N
2. 如图，线段AB,BC的垂直平分线l1,l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC= ．
A
B
C
O
l1
l2
1
同学们，再见！

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