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第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题
知识要点基础练
知识点1　图形宽度或面积问题
1.如图,某小区规划在一个长50米、宽30米的矩形场地ABCD上,修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每块草坪的面积都为178平方米,设道路宽度为x米,则(　A　)
A.(50-2x)(30-x)=178×6
B.30×50-2×30x-50x=178×6
C.(30-2x)(50-x)=178
D.(50-2x)(30-x)=178
2.从一块正方形木板上锯掉3
m宽的长方形木条,剩下的面积是54
m2,则原来这块木板的面积是(　C　)
A.9
m2
B.64
m2
C.81
m2
D.121
m2
知识点2　一边靠墙的面积问题
3.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72平方米,则x=(　B　)
A.15
B.12
C.10
D.8
【变式拓展】如图,丁丁家用总长24米的篱笆围了一个面积为45平方米的长方形鸡鸭园(长方形ABCD),鸡鸭园的一面靠墙.为了隔开鸡和鸭,在长方形内用篱笆做了一个竖直的隔断(EF).已知墙长为12米,则长方形鸡鸭园的宽(AD)为　5　米.?
4.若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38
m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD,其中边AB,AD为篱笆且AB大于AD.设AD为x
m,依题意可列方程为　(38-x)2=38x　.?
知识点3　运动图形的面积问题
5.如图,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,运动到点C后P,Q两点都停止,则运动　1　秒后,△PBQ的面积为5个平方单位.?
综合能力提升练
6.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1
m,另一边宽2
m,剩余空地的面积为18
m2,求原正方形空地的边长x(m),可列方程为(　A　)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
D.x2+3x+16=0
7.为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,合肥市某单位准备将院内一块长30米、宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形
(　D　)
A.1.2米
B.3米
C.2米
D.1米
8.有一块长方形的土地,宽为120
m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙均为正方形,现计划甲地建住宅区,乙地建商场,丙地开辟成面积为3200
m2的公园.设这块长方形的土地长为x
m,根据题意列出的方程是　x2-360x+32000=0　.(将答案写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式)?
9.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB,BA边上向点A运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C,B,A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为　4-　秒.?
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动.如果P,Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的?
解:设x
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.根据题意,得CP=(8-2x)
cm,CQ=xcm,
∴S△PCQ=CP·CQ=(8-2x)·x,
S五边形ABPQD=6×8-(8-2x)·x.
∴6×8-(8-2x)·x=11×(8-2x)·x,解得x=2,
∴2
s后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的.
11.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成.篱笆总长为33米,围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?
解:(1)设长方形与墙垂直的一边长为x米,则与墙平行的一边长为(33-2x+2)米,
根据题意,得x(33-2x+2)=150,
解得x1=10,x2=(不合题意,舍去),
答:鸡场的长为15米,宽为10米.
(2)设长方形中与墙平行的一边长为y米,则与墙垂直的一边长为米,
根据题意,得y=200,
整理得y2-35y+400=0,此方程无实数根,
答:不能围成面积为200平方米的鸡场.
拓展探究突破练
12.小明是一位动手能力很强的学生,他用橡皮泥做成了一个棱长为4
cm的正方体.
(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1
cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为　110　cm2.?
(2)如果在(1)的条件下打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1
cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为　118　cm2.?
(3)如果把(2)中的边长为1
cm的正方形通孔均改为边长为a
cm(a≠1)
的正方形通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118
cm2?如果能,求出a;如果不能,请说明理由.
解:(3)能使橡皮泥块的表面积为118
cm2.
∵S1=96-2a2+4a×4,S2=S1-4a2+4×4a-4a2,
∴96-2a2+16a-8a2+16a=118,整理得5a2-16a+11=0,解得a1=,a2=1.
∵a≠1,<4,∴当边长改为
cm时,表面积为118
cm2.第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题
知识要点基础练
知识点1　图形宽度或面积问题
1.如图,某小区规划在一个长50米、宽30米的矩形场地ABCD上,修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每块草坪的面积都为178平方米,设道路宽度为x米,则(　　)
A.(50-2x)(30-x)=178×6
B.30×50-2×30x-50x=178×6
C.(30-2x)(50-x)=178
D.(50-2x)(30-x)=178
2.从一块正方形木板上锯掉3
m宽的长方形木条,剩下的面积是54
m2,则原来这块木板的面积是(　　)
A.9
m2
B.64
m2
C.81
m2
D.121
m2
知识点2　一边靠墙的面积问题
3.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72平方米,则x=(　　)
A.15
B.12
C.10
D.8
【变式拓展】如图,丁丁家用总长24米的篱笆围了一个面积为45平方米的长方形鸡鸭园(长方形ABCD),鸡鸭园的一面靠墙.为了隔开鸡和鸭,在长方形内用篱笆做了一个竖直的隔断(EF).已知墙长为12米,则长方形鸡鸭园的宽(AD)为　　米.?
4.若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38
m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD,其中边AB,AD为篱笆且AB大于AD.设AD为x
m,依题意可列方程为　
　.?
知识点3　运动图形的面积问题
5.如图,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,运动到点C后P,Q两点都停止,则运动　　秒后,△PBQ的面积为5个平方单位.?
综合能力提升练
6.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“”带.鲜花带一边宽1
m,另一边宽2
m,剩余空地的面积为18
m2,求原正方形空地的边长x(m),可列方程为(　　)
A.(x-1)(x-2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
D.x2+3x+16=0
7.为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,合肥市某单位准备将院内一块长30米、宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形
(　　)
A.1.2米
B.3米
C.2米
D.1米
8.有一块长方形的土地,宽为120
m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙均为正方形,现计划甲地建住宅区,乙地建商场,丙地开辟成面积为3200
m2的公园.设这块长方形的土地长为x
m,根据题意列出的方程是　
　.(将答案写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式)?
9.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB,BA边上向点A运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C,B,A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为　
　秒.?
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动.如果P,Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的?
11.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成.篱笆总长为33米,围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?
拓展探究突破练
12.小明是一位动手能力很强的学生,他用橡皮泥做成了一个棱长为4
cm的正方体.
(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1
cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为　
　cm2.?
(2)如果在(1)的条件下打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1
cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为　
　cm2.?
(3)如果把(2)中的边长为1
cm的正方形通孔均改为边长为a
cm(a≠1)
的正方形通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118
cm2?如果能,求出a;如果不能,请说明理由.第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题
1.在一幅长60
dm、宽40
dm的宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图.要使整个挂图的面积为2800
dm2,设纸边的宽为x
dm,则可列出方程为
(C)
A.x2+100x-400=0
B.x2-100x-400=0
C.x2+50x-100=0
D.x2-50x-100=0
2.在长为32
m、宽为20
m的矩形地面上修建宽度相同且互相垂直的道路,余下部分进行绿化.若绿化面积为540
m2,则道路的宽为
(D)
A.1
m
B.1.5
m
C.2.5
m
D.2
m
3.如图,从一张矩形纸片ABCD的宽AD上找一点E,过点E剪下两个正方形,它们的边长分别为AE,DE,要使剪下的两个正方形的面积和为9,点E应选在何处?若AD=6,设AE=x,则可列方程为　x2+(6-x)2=9　.?
4.如图,王师傅在一块正方形钢板上截取了4
cm宽的矩形钢条,剩下的阴影部分的面积是96
cm2,则原来这块正方形钢板的边长是　12　cm.?
5.如图,某工地在直角墙角处,用可建60
m长围墙的建筑材料围成一个矩形堆物场地,中间用同样的材料分隔为两间,要使所围成的矩形ABFE和矩形CDEF的面积分别是300
m2和150
m2,求BF的长.
解:设CD的长为x
m,则BC的长为(60-2x)m,
依题意,得x(60-2x)=300+150,
整理,得x2-30x+225=0,解得x1=x2=15.
∴EF=CD=15
m.∵EF·BF=300
m2,∴BF=20
m.
答:BF的长是20
m.(共18张PPT)
第3课时　用一元二次方程解决几何图形问题
第二十一章　一元二次方程
知识点1　图形宽度或面积问题
1.如图,某小区规划在一个长50米、宽30米的矩形场地ABCD上,修建三条同样宽的道路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每块草坪的面积都为178平方米,设道路宽度为x米,则(　　)
A.(50-2x)(30-x)=178×6
B.30×50-2×30x-50x=178×6
C.(30-2x)(50-x)=178
D.(50-2x)(30-x)=178
A
2.从一块正方形木板上锯掉3
m宽的长方形木条,剩下的面积是54
m2,则原来这块木板的面积是(　　)
A.9
m2
B.64
m2
C.81
m2
D.121
m2
C
知识点2　一边靠墙的面积问题
3.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.若苗圃园的面积为72平方米,则x=
(　　)
?
A.15
B.12
C.10
D.8
B
【变式拓展】如图,丁丁家用总长24米的篱笆围了一个面积为45平方米的长方形鸡鸭园(长方形ABCD),鸡鸭园的一面靠墙.为了隔开鸡和鸭,在长方形内用篱笆做了一个竖直的隔断(EF).已知墙长为12米,则长方形鸡鸭园的宽(AD)为_______米.
5
4.若一个矩形的长边的平方等于短边与其周长一半的积,则称这样的矩形为“优美矩形”.某公园在绿化时工作人员想利用如图所示的直角墙角(两边足够长)和长为38
m的篱笆围成一个“优美矩形”形状的花园ABCD,其中边AB,AD为篱笆且AB大于AD.设AD为x
m,依题意可列方程为____________________.?
(38-x)2=38x
知识点3　运动图形的面积问题
5.如图,在Rt△ABC中,AB=6,BC=8.点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向点B移动,同时,点Q从点B出发,以2个单位/秒的速度向点C移动,运动到点C后P,Q两点都停止,则运动_________秒后,△PBQ的面积为5个平方单位.?
1
6.为把我市创建成全国文明城市,某社区积极响应市政府号召,准备在一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花,如图中的阴影“
”带.鲜花带一边宽1
m,另一边宽2
m,剩余空地的面积为18
m2,求原正方形空地的边长x(m),可列方程为(　　)
?
A.(x-1)(x-2)=18
B.x2-3x+16=0
C.(x+1)(x+2)=18
D.x2+3x+16=0
A
7.为响应市委市政府提出的建设“绿色合肥”的号召,合肥市某单位准备将院内一块长30米、宽20米的长方形空地,建成一个矩形草坪,要求在草坪中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532平方米,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)(　　)
A.1.2米
B.3米
C.2米
D.1米
D
8.有一块长方形的土地,宽为120
m,建筑商把它分成甲、乙、丙三部分,甲和乙均为正方形,现计划甲地建住宅区,乙地建商场,丙地开辟成面积为3200
m2的公园.设这块长方形的土地长为x
m,根据题意列出的方程是____________________.(将答案写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式)?
x2-360x+32000=0
9.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动,同时动点Q从点C开始,以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB,BA边上向点A运动,当点P到达点C时,两点同时停止运动,连接PQ.在运动过程中(Q点在C,B,A三点除外),线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形,若四边形的面积为三角形面积的2倍,则运动的时间为________________秒.?
10.如图,在矩形ABCD中,AB=6
cm,BC=8
cm.点P从点B出发沿边BC向点C以2
cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边CD向点D以1
cm/s的速度移动.如果P,Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的
?
11.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成.篱笆总长为33米,围成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?
(2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?
12.小明是一位动手能力很强的学生,他用橡皮泥做成了一个棱长为4
cm的正方体.
(1)如图1所示,在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1
cm的正方形孔,打孔后的橡皮泥块的表面积为__________cm2.?
110
(2)如果在(1)的条件下打孔后,再在正面中心位置(如图2所示)从前到后打一个边长为1
cm的正方形通孔,那么打孔后的橡皮泥块的表面积为__________cm2.?
118
(3)如果把(2)中的边长为1
cm的正方形通孔均改为边长为a
cm(a≠1)的正方形通孔,能否使橡皮泥块的表面积为118
cm2?如果能,求出a;如果不能,请说明理由.
解:能使橡皮泥块的表面积为118
cm2.
∵S1=96-2a2+4a×4,S2=S1-4a2+4×4a-4a2,
∴96-2a2+16a-8a2+16a=118,整理得5a2-16a+11=0,

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