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实际问题与一元二次方程同步测试试题（一）
一．选择题
1．某市一楼盘准备以每平方米8000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方米7220元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（　　）
A．4.875% B．5% C．5.4% D．10%
2．两个相邻自然数的积是132．则这两个数中，较大的数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．原价196元的某商品经过两次降价后，现售价100元，如果两次降价的百分数都为x，那么下列各式中正确的是（　　）
A．196（1﹣2x）＝100 B．196（1﹣x）2＝100
C．100（1+2x）＝196 D．100（1+x）2＝196
4．为迎接春节促销活动，某服装店从1月份开始对冬装进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活动，已知一件原价1000元的冬装，优惠后实际仅需640元，设该店冬装原本打x折，则有（　　）
A．1000（1﹣2x）＝640 B．1000（1﹣x）2＝640
C．1000（）2＝640 D．1000（1﹣）2＝640
5．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．设房价定为x元，宾馆当天利润为8640元．则可列方程（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣）＝8640
B．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝8640
C．x（50﹣）﹣50×20＝8640
D．（x﹣20）（50﹣）＝8640
6．某种服装的成本在两年内从300元降到243元，那么平均每年降低成本的百分率为（　　）
A．5% B．10% C．15% D．20%
7．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边x为（　　）
A．4m或10m B．4m C．10m D．8m
8．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中正确的是（　　）
A．23（1+a%）2＝40 B．23（1﹣a%）2＝40
C．23（1+2a%）＝40 D．23（1﹣2a%）＝40
9．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　）
A．2＝x2 B．2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．2
10．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为（　　）
A．8或24 B．16 C．12 D．16或12
二．填空题
11．“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到156个红包，则该群一共有　 　人．
12．如图，有一块矩形铁皮，长为100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为1400cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长为　 　cm．
13．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路，（如图所示）四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的4倍，若四条小路所占面积为80平方米，则小路的宽度为　 　米．
14．某学习小组全体同学都为本组其他人员送了一张新年贺卡，若全组共贺卡78张，设这个小组的同学共有x人，可列方程：　 　．
15．要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为　 　．（化用一般式表示）
三．解答题
16．某果农2017年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2019年年收入增加到7.2万元，求平均每年年收入的增长率．
17．要在一个8cm×12cm的照片外侧的四周镶上宽度相同的银边．并且要使银边的面积和照片的面积相等．那么银边的宽应该是多少？
18．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？
19．受新型冠状病毒的影响，口罩成为最紧缺的物资之一，因此在2020年初．星星服装厂快速转型生产一次性医用口罩和N95口罩．一次性医用口罩和N95口罩的成本分别为1元/个、8元/个．星星服装厂3月份共生产两种口罩80万个并售完，其中N95口罩单个售价是一次性医用口罩单个售价的12倍，一次性医用口罩的销售额为90万元，N95口罩的销售额为360万元．
（1）3月份星星服装厂两种口罩的单个售价分别是多少元？
（2）由于国内口罩不再紧缺，而国外疫情逐渐爆发，从4月份起，星星服装厂将生产的口罩全部远销国外．因为将口罩出口销售，所以一次性医用口罩和N95口罩每个的成本均增加50%．4月份该厂生产并销售一次性医用口罩50万个，N95口罩25万个，两种口罩的总利润为425万元，一次性医用口罩和N95口罩的单个售价之比为1：6，5月份两种口罩的单个成本与4月份相同，总利润比4月份增加了25万元，一次性医用口罩的单个售价比4月份增加1元，N95口罩的单个售价比4月份降低a%，同时一次性医用口罩和N95口罩的数量与3月份相比，分别增加a%、a%．求a的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：设平均每次下调的百分率是x，根据题意可得：
8000（1﹣x）2＝7220，
解得：x1＝＝5%，x2＝（不合题意舍去），
故选：B．
2．【解答】解：设这两个数中较大的数为x，则较小的数为（x﹣1），
依题意，得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍去）．
故选：B．
3．【解答】解：设两次降价的百分数都为x，
根据题意，得：196（1﹣x）2＝100，
故选：B．
4．【解答】解：设该店冬装原本打x折，
依题意，得：1000（）2＝640．
故选：C．
5．【解答】解：设房价定为x元，由题意得：
（x﹣20）（50﹣）＝8640．
故选：D．
6．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后每件300（1﹣x）元，第二次降价后每件300（1﹣x）2元，
由题意得：300（1﹣x）2＝243
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意舍去）
所以平均每次降价的百分率为：10%．
故选：B．
7．【解答】解：∵与墙垂直的边为xm，
∴与墙平行的边为（28﹣2x）m．
依题意，得：x（28﹣2x）＝80，
整理，得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝4，x2＝10．
当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不合题意，舍去；
当x＝10时，28﹣2x＝8．
故选：C．
8．【解答】解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%＝23（1+a%）；
当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%＝23（1+a%）2．
∴23（1+a%）2＝40．
故选：A．
9．【解答】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
2＝x2，
故选：B．
10．【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（28﹣x）m，
依题意，得：x（28﹣x）＝192，
解得：x1＝12，x2＝16．
∵P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，
∴x2＝16不合题意，舍去，
∴x＝12．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：设该群一共有x人，
依题意有x（x﹣1）＝156，
解得：x＝﹣12（舍去）或x＝13，
答：这个群一共有13人．
故答案为13．
12．【解答】解：设切去的正方形的边长为xcm，
则盒底的长为（100﹣2x）cm，宽为（50﹣2x）cm，
根据题意得：（100﹣2x）（50﹣2x）＝1400，
展开得：x2﹣75x+900＝0，
解得：x1＝15，x2＝60（不合题意，舍去），
则铁皮各角应切去边长为15cm的正方形．
故答案是：15．
13．【解答】解：设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为4x米，
依题意得：（30+4x+24+4x）x＝80
整理得：4x2+27x﹣40＝0
解得x1＝﹣8（舍去），x2＝．
故答案为：．
14．【解答】解：设这个小组的同学共有x人，则每人送（x﹣1）张贺卡，
根据题意得：x（x﹣1）＝78．
故答案为：x（x﹣1）＝78．
15．【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，则可列一元二次方程为：
x（x﹣1）＝28，
整理得：x2﹣x﹣56＝0．
故答案为：x2﹣x﹣56＝0．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：设平均每年年收入的增长率为x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：平均每年年收入的增长率为20%．
17．【解答】解：设银边的宽为xcm，
依题意，得：（12+2x）（8+2x）﹣12×8＝12×8，
整理，得：x2+10x﹣24＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．
答：银边的宽应该是2cm．
18．【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，
依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，
整理，得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；
当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．
答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．
19．【解答】解：（1）设3月份星星服装厂生产一次医用口罩x万个，则生产N95口罩（80﹣x）万个，
依题意，得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴＝＝1.5，1.5×12＝18（元）．
答：3月份星星服装厂生产的一次医用口罩的单个售价为1.5元，生产的N95口罩的单个售价为18元．
（2）设4月份星星服装厂生产的一次医用口罩的单个售价为y元，则生产的N95口罩的单个售价为6y元，
∵4月份两种口罩的总利润为425万元，
∴[y﹣（1+50%）×1]×50+[6y﹣（1+50%）×8]×25＝425，
∴y＝4，6y＝24．
又∵5月份总利润比4月份增加了25万元，
∴[4+1﹣（1+50%）×1]×60（1+a%）+[（1﹣a%）×24﹣（1+50%）×8]×（80

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