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沪科版九年级（下册）数学：24.3《圆周角》
一. 复习引入:
1.圆心角的定义?
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
探索1:
我们知道：顶点在圆心的角叫圆心角，当圆心角的顶点发生变化时,我们得到以下三种情况:
A
.
O
B
C
A
A
圆内角
圆外角
圆周角
探索
考考你：你能仿照圆心角的定义，给下 图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做
圆周角．
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角．
什么叫做圆周角？
·
A
B
C
O
二、概念
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗?
练习一：判断下列各图中，哪些是圆周角，为什么？
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
１．视角∠AOB和∠ACB有什么关系？即同弧所对的圆心角和圆周角的关系．
２．∠ADB和∠AEB和∠ACB相等吗？即同弧所对的圆周角之间的大小关系．
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?
圆周角和圆心角的关系
在⊙O任取一个圆周角∠BCA，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BCA的顶点C。由于点C的位置的取法可能不同，这时有三种情况：
（1） 折痕是圆周角的一条边，如图（1）
（2） 折痕在圆周角的内部，如图（2）
（3） 折痕在圆周角的外部．如图（3）
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
根据以上证明你能得到什么结论？
2.考虑第二种情况
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
能否转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
根据以上证明你又能得到什么结论？
圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系
3.考虑第二种情况
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
能否也转化为1的情况?
过点B作直径BD.由1可得:
根据以上证明你又能得到什么结论？
三.圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
思考：在同圆或等圆中，如果圆周角相等，所对的弧一定相等吗？
弧等
角等
结 论：
如图,点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
∠1=∠4
∠2=∠7
∠3=∠6
∠5=∠8
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思 考
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想想看，∠ACB会是怎样的角？

90°的圆周角所对的弦是什么?
·
A
B
C1
O
C2
C3
定理
C
O
D
B
A
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ ∠BAD等于弧BCD所对圆心角的一半,∠BCD等于弧BAD所对圆心角的一半.
而弧BCD所对的圆心角+弧BAD所对的圆心角=360°，
∴∠BAD＋∠BCD＝
180°.
同理∠ABC＋∠ADC＝180°.
圆内接四边形的对角互补.
圆的内接四边形
如果延长BC到E，那么
∠DCE＋∠BCD ＝
180°.
∴∠A＝∠DCE.
又 ∵∠A ＋∠BCD＝ 180°，
圆的内接四边形
因为∠A是与∠DCE相邻的内角∠DCB的对角,我们把∠A叫做∠DCE的内对角.
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
试金石：
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
1.求圆中角X的度数
C
3、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
40°
4.如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，且∠AOB=2∠BOC.
求证：∠ACB=2∠BAC.
5⑴如图5，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5= 。
⑵如图6：已知弦AB、CD相交于P点，且∠AOC=44、 ∠BOD=46 求 ∠APC 的度数。
例1 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
四、例题
求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（提示：作出以这条边为直径的圆.）
·
A
B
C
O
求证： △ABC 为直角三角形.
证明：
以AB为直径作⊙O，
∵AO=BO，
∴AO=BO=CO.
∴点C在⊙O上.
又∵AB为直径,
∴ △ABC 为直角三角形.
练 习
∠BOC =140°
350
700
１.ΔABC内接于⊙O ，∠BOC=80?，
则∠BAC等于( ).
(A)80? (B) 40? (C) 140? (D) 40?或140?
Ｄ
２．已知:如图,AB=AC=AD, ∠BAC=40?,
则∠BDC的度数为( )
（A）40? （B）30?
（C）20? （D）不能确定
Ｃ
15°或 75 °
4．如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，
直线O1O2交两圆于C、D∠O1AO2=40°，
则∠CBD等于（ ）
（A）110° （B）120°
（C）130° （D）140°
A
1．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，
则圆周角∠BAC的度数为（ ）
A、100° B、130°
C、50° D、80°
2．圆内接正三角形的一条边所对的圆周角为( )
A、30° B、60°
C、30°或150° D、60°或120°
3．如图，A、B、C三点在⊙O上，
∠AOC=100°，则∠ABC等于( )
A、140° B、110°
C、120° D、130°
C
Ｄ
Ｄ
4.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两条弧，
则劣弧所对的圆周角的度数为（ 　）
A、45°　　B、90°　　　C、135°　　　D、270°
5．已知：如图，△ABC内接于
⊙O，AD是⊙O的直径，∠ABC
＝30°，则∠CAD等于_________。
6． 在⊙O中，一条弦的长度等
于半径，则它所对的圆周角的
度数为_________。
7．半径为1的圆中有一条弦，如果
它的长为
那么这条弦所对的圆
A
周角的度数等于 .
60°
60°或120 °
30°或150 °
弦AB分圆为l∶5两部分，则弦AB所对
的圆周角度数等于
9． 已知：如图，AB 为⊙O的直径，∠BED=35?，
则∠ACD= ? 。
10．圆内接四边形相邻三个内角之比是3:1:6，
则这个四边形的最大角的度数为 。
30°或150 °
55
160 °
7 学以致用 作业适量 分层要求
A层（基础题）
⑶如图9，已知AB=AC=2cm, ∠BDC=60，则△ABC 的周长是 。
⑷如图10：∠A是⊙O的圆周角，∠A=40°，求∠OBC 的度数。
7 学以致用 作业适量 分层要求
B层（中等题）
⑴ 在⊙O中，∠BOC=100o，则弦BC所对的圆周角
是 度。
⑵如图11，AD是⊙O直径，BC=CD，∠A=30°，
求∠B的度数。
7 学以致用 作业适量 分层要求
C层（提高题）
如图12，AB是⊙O直径，点C在圆上，∠BAC的平分线交圆于点E，OE交BC于点H，已知AC=6，AB=10，求HE的长。
7 学以致用 作业适量 分层要求
D层（课外延拓、承上启下）
如图13：“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图C点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点，李应把球传给谁好？请你从数学角度帮忙合情说理、分析说明。
球门
　1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
　1、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求∠A
　　 2、如图，在⊙O中，AB为直径，CB = CF,
弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E
求证：BE=EC
⌒
⌒
4、在⊙O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)°和(5x-30)°，则x=_ _；
20°
25°
3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。
1.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
3.在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等。
2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°
90°的圆周角所对的弦是圆的直径
小结:
四边形与圆的位置关系
如果四边形的四个顶点在一个圆上,这圆叫做四边形的外接圆.这个四边形叫做圆的内接四边形.
我们可以证明圆内接四边的两个重要性质:
1.圆内接四边形对角互补.
2.圆内接四边形对的一个外角等于它的内对角.

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