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沪科版九年级数学下册24.4.3《切线长定理》测试卷
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016 十堰二模）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（　　）
A．
B．3
C．2
D．3
2．（2016 曲靖一模）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（　　）
A．5
B．7
C．8
D．10
3．（2015 东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O
切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（　　）
A．9
B．10
C．3
D．2
4．（2015 秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　）
A．32
B．34
C．36
D．38
5．（2015 岳池县模拟）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2015秋 龙口市期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．12cm
B．7cm
C．6cm
D．随直线MN的变化而变化
7．（2015秋 新北区校级月考）如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（　　）
A．7
B．14
C．10.5
D．10
8．（2015秋 营口校级月考）已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（　　）
A．7.5cm
B．10cm
C．15cm
D．12.5cm
9．（2014 齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）
A．12
B．24
C．8
D．6
10．（2014秋 德城区期末）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
　
二．填空题（共4小题）
11．（2016 丹阳市校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于______．
12．（2016春 合肥校级月考）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是______．
13．（2016春 盘锦校级月考）如图，圆外切四边形ABCD，且AB=15，CD=9，则四边形的周长是______．
14．（2015 滨海县一模）如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为______．
　
三．解答题（共6小题）
15．（2015秋 东台市期中）如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
16．（2015秋 扬州校级月考）如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
17．（2014秋 临洮县校级月考）如图示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？
18．（2015秋 湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA=6，求△PCD的周长．
（2）若∠P=50°求∠DOC．
19．（2013秋 云梦县期末）如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长．
20．（2015秋 无锡校级月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016 十堰二模）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为1，△PCD的周长等于2，则线段AB的长是（　　）
A．
B．3
C．2
D．3
【分析】直接利用切线长定理得出AC=EC，DE=DB，PA=PB，进而求出PA的长，然后判定三角形APB为等边三角形即可确定AB的长．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D，
∴AC=EC，DE=DB，PA=PB，
∵△PCD的周长等于3，
∴PA+PB=2，
∴PA=PB=，
链接PA和AO，
∵⊙O的半径为1，
∴sin∠APO===，
∴∠APO=30°，
∴∠APB=60°，
∴△APB是等边三角形，
∴AB=PA=PB=．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线长定理及解直角三角形的知识，熟练应用切线长定理是解题关键．
　
2．（2016 曲靖一模）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（　　）
A．5
B．7
C．8
D．10
【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，
∴PB=PA=4，
∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，
故选：C．
【点评】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
　
3．（2015 东西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=6，以AB为直径的半⊙O
切CD于点E，F为弧BE上一动点，过F点的直线MN为半⊙O的切线，MN交BC于M，交CD于N，则△MCN的周长为（　　）
A．9
B．10
C．3
D．2
【分析】作DH⊥BC于H，如图，利用平行线的性质得AB⊥AD，AB⊥BC，则根据切线的判定得到AD和BC为⊙O切线，根据切线长定理得DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，利用四边形ABHD为矩形得BH=AD=2，DH=AB=6，设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，在Rt△DCH中根据勾股定理得（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，即CB=CE=，然后由等线段代换得到△MCN的周长=CE+CB=9．
【解答】解：作DH⊥BC于H，如图，
∵四边形ABCD中，AD平行BC，∠ABC=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∵AB为直径，
∴AD和BC为⊙O
切线，
∵CD和MN为⊙O
切线，
∴DE=DA=2，CE=CB，NE=NF，MB=MF，
∵四边形ABHD为矩形，
∴BH=AD=2，DH=AB=6，
设BC=x，则CH=x﹣2，CD=x+2，
在Rt△DCH中，∵CH2+DH2=DC2，
∴（x﹣2）2+62=（x+2）2，解得x=，
∴CB=CE=，
∴△MCN的周长=CN+CM+MN
=CN+CM+NF+MF
=CN+CM+NF+MB
=CE+CB
=9．
故选A．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．也考查了勾股定理．
　
4．（2015 秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，AD=7，则四边形的周长为（　　）
A．32
B．34
C．36
D．38
【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．
【解答】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，
所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键．
　
5．（2015 岳池县模拟）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，OP，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用切线长定理得出CA=CF，DF=DB，PA=PB，进而得出PA=r，求出即可．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，
∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，
∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=3r，
∴PA=r，
则的值是：=．
故选：D．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键．
　
6．（2015秋 龙口市期末）如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）
A．12cm
B．7cm
C．6cm
D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出BC=BD+EC，DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，
∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC=17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC=5cm，
∴BD+CE=BC=5cm，则AD+AE=7cm，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=7（cm）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN=AD+AE是解题关键．
　
7．（2015秋 新北区校级月考）如图，PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，若PA=7，则△PCD的周长为（　　）
A．7
B．14
C．10.5
D．10
【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵PA、PB、CD与⊙O相切于点为A、B、E，
∴PB=PA=7，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+CD+PB
=PC+CE+DE+PD
=PC+CA+DB+PD
=PA+PB=14，
故选：B．
【点评】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
　
8．（2015秋 营口校级月考）已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（　　）
A．7.5cm
B．10cm
C．15cm
D．12.5cm
【分析】根据切线长定理得MA=MC，NC=NB，然后根据三角形周长的定义进行计算．
【解答】解：∵直线PA、PB、MN分别与⊙O相切于点A、B、C，
∴MA=MC，NC=NB，
∴△PMN的周长=PM+PN+MC+NC=PM+MA+PN+NB=PA+PB=7.5+7.5=15（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
　
9．（2014 齐齐哈尔一模）如图，正方形ABCD边长为4cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过A作半圆的切线，与半圆相切于F点，与DC相交于E点，则△ADE的面积（　　）
A．12
B．24
C．8
D．6
【分析】由于AE与圆O切于点F，根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC；设EF=EC=xcm．则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
然后在三角形BCE中由勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出，然后就可以求出△ADE的面积．
【解答】解：∵AE与圆O切于点F，
显然根据切线长定理有AF=AB=4cm，EF=EC，
设EF=EC=xcm，
则DE=（4﹣x）cm，AE=（4+x）cm，
在三角形ADE中由勾股定理得：
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1cm，
∴CE=1cm，
∴DE=4﹣1=3cm，
∴S△ADE=AD DE÷2=3×4÷2=6cm2．
故选D．
【点评】此题主要考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出AB=AF，EF=EC．
　
10．（2014秋 德城区期末）如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD=10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　　）
A．20cm
B．15cm
C．10cm
D．随直线MN的变化而变化
【分析】利用切线长定理得出DM=MF，FN=EN，AD=AE，进而得出答案．
【解答】解：∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD=10cm，
∴设E、F分别是⊙O的切点，
故DM=MF，FN=EN，AD=AE，
∴AM+AN+MN=AD+AE=10+10=20（cm）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出AM+AN+MN=AD+AE是解题关键．
　
二．填空题（共4小题）
11．（2016 丹阳市校级模拟）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，若∠APB=60°，PO=2，则⊙O的半径等于　1　．
【分析】根据切线的性质求得∠APO=30°，∠PAO=90°，再由直角三角形的性质得AO=1．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴∠APO=∠BPO=∠APB，∠PAO=90°
∵∠APB=60°，
∴∠APO=30°，
∵PO=2，
∴AO=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了切线长定理、切线的性质和直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
　
12．（2016春 合肥校级月考）如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是　12　．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
　
13．（2016春 盘锦校级月考）如图，圆外切四边形ABCD，且AB=15，CD=9，则四边形的周长是　48　．
【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．
【解答】解：根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，
∴AB+BC+CD+AD=2×（15+9）=48．
故答案为：48．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及圆外切四边形的性质，正确利用圆外切四边形对边和相等是解题关键．
　
14．（2015 滨海县一模）如图，一圆外切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为　52　．
【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．
【解答】解：根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，
∴AB+BC+CD+AD=52
故填：52
【点评】此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等．
　
三．解答题（共6小题）
15．（2015秋 东台市期中）如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，连接PO，交⊙O于点D，交AB于点C，根据以上条件，请写出三个你认为正确的结论，并对其中的一个结论给予证明．
【分析】PA，PB是圆的切线得到∠OAP=∠OBP=90°，OA=OB，OP=OP，得到△OAP≌△OBP，∴AP=BP，∠7=∠8，又可得到△ACP≌△BCP和△AOC≌△BOC，∴∠3=∠4，∠5=∠6，由同角的余角相等得到∠1=∠5，∠2=∠6，△APB是等腰三角形，由顶角的平分线是底边上的高．得，OP⊥AB．
【解答】解：如图所示，结论：①∠3=∠4；或∠7=∠8；或∠1=∠5；或∠2=∠6；
②OP⊥AB；③AC=BC．
证明②：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°．
在Rt△OAP与Rt△OBP中，
∵，
∴△OAP≌△OBP（HL），
∴PA=PB，∠3=∠4，
∴OP⊥AB．
【点评】本题是切线长定理的证明，利用切线的概念，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质求解．
　
16．（2015秋 扬州校级月考）如图，∠APB=52°，PA、PB、DE都为⊙O的切线，切点分别为A、B、F，且PA=6．
（1）求△PDE的周长；
（2）求∠DOE的度数．
【分析】（1）根据切线长定理得到DA=DC，EB=EC，PA=PB=6，于是得到DE=DA+EB，即可得到结论；
（2）根据切线的性质得到OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD=∠BOC，∠FOD=∠AOD=∠AOF，根据四边形的内角和得到∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵PA、PB、DE都为⊙O的切线，
∴DA=DC，EB=EC，PA=PB=6，
∴DE=DA+EB，
∴PE+PD+DE=PA+PB=12，
即△PDE的周长为12；
（2）连接OF，
∵PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、F三点，
∴OB⊥PB，OA⊥PA，∠BOE=∠FOD=∠BOC，∠FOD=∠AOD=∠AOF，
∵∠APB=52°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣52°=128°，
∴∠DOE=∠FOE+∠FOD=（∠BOF+∠AOF）=∠BOA=64°．
【点评】主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断．
　
17．（2014秋 临洮县校级月考）如图示，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在弧AB上，若PA=12，则△PEF的周长是？
【分析】由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果
【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，
∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=24．
【点评】本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长=PA+PB．
　
18．（2015秋 湛江校级月考）已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D．
（1）若PA=6，求△PCD的周长．
（2）若∠P=50°求∠DOC．
【分析】（1）根据切线长定理得到PA=PB，AC=CE，BD=DE，根据三角形的周长公式计算即可；
（2）证明Rt△AOC≌Rt△EOC，得到∠AOC=∠COE和∠DOE=∠BOD，计算即可．
【解答】解：（1）连接OE，
∵PA、PB与圆O相切，
∴PA=PB=6，
同理可得：AC=CE，BD=DE，
△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12；
（2）∵PA
PB与圆O相切，
∴∠OAP=∠OBP=90°∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
在Rt△AOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL），
∴∠AOC=∠COE，
同理：∠DOE=∠BOD，
∴∠COD=∠AOB=65°．
【点评】本题考查的是切线长定理和全等三角形的判定和性质，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角是解题的关键．
　
19．（2013秋 云梦县期末）如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D．
（1）请写出两个不同类型的正确结论；
（2）若CD=12，tan∠CPO=，求PO的长．
【分析】（1）由切线长定理得①PC=PD，②∠CPO=∠DPA，由垂径定理得③CD⊥BA，④∠CEP=90°，由切割线定理得，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC，由切线长定理得PC=PD，∠CPO=∠DPA，再由垂径定理得DE，则求得CP，即可得OC，最后根据勾股定理得出OP的长．
【解答】解：（1）不同类型的正确结论有：
①PC=PD，②∠CPO=∠DP，③ACD⊥BA，④∠CEP=90°，⑤PC2=PA PB；
（2）连接OC
∵PC、PD分别切⊙O于点C、D
∴PC=PD，∠CPO=∠DPA
∴CD⊥AB
∵CD=12
∴DE=CE=CD=6．
∵tan∠CPO=，
∴在Rt△EPC中，PE=12
∴由勾股定理得CP=6
∵PC切⊙O于点C
∴∠OCP=90°
在Rt△OPC中，
∵tan∠CPO=，
∴
∴OC=3，
∴OP==15．
【点评】本题考查了切线长定理、勾股定理和垂径定理，是一道综合题，难度较大．
　
20．（2015秋 无锡校级月考）如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE+CG的长；
（3）⊙O的半径．
【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；
（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；
（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．
【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG，∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠OBE+∠OCF=90°，
∴∠BOC=90°；
（2）由（1）知，∠BOC=90°．
∵OB=6cm，OC=8cm，
∴由勾股定理得到：BC==10cm，
∴BE+CG=BC=10cm．
（3）∵OF⊥BC，
∴OF==4.8cm．
【点评】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算．
　

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