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2020年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）月球表面白天的温度可达123℃，夜晚可降到﹣233℃，那么月球表面昼夜的温差为（　　）
A．110℃ B．﹣110℃ C．356℃ D．﹣356℃
2．（3分）二次根式中x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．3 C．x≥3 D．x≤﹣3
3．（3分）计算3ab2﹣4ab2的结果是（　　）
A．﹣ab2 B．ab2 C．7ab2 D．﹣1
4．（3分）港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（　　）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
7．（3分）图中三视图对应的正三棱柱是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）为调査某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
x
6
A．15，15 B．20，17.5 C．20，20 D．20，15
9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．OC＝OB C．AC⊥BD D．OA＝OC
10．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．8 B．12 C．8 D．12
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）计算：＝　 　．
12．（4分）二次函数y＝2x2﹣12x+13的最小值是　 　．
13．（4分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP＝26°，那么∠APB＝　 　．
14．（4分）已知点A为双曲线y＝图象上的点，点O为坐标原点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△AOB的面积为6，则k＝　 　．
三、解答题（共54分）
15．（6分）（1）计算：（﹣2）﹣2﹣sin45°．
（2）解方程组：．
16．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．
17．（8分）如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3m，大门距主楼的距离是45m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是m．
求：（1）学校主楼的高度（结果保留根号）；
（2）大门上方A与主楼顶部D的距离（结果保留根号）
18．（8分）现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；
步数
频数
频率
0≤x＜4000
a
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
B
0.24
12000≤x＜16000
10
c
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜25000
2
d
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的频率．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点P（x，y）在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作PQ⊥y轴于点Q，记△CPQ的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
20．（10分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，连接BC，过上一点E作EF∥BC交BA的延长线于点F，CE交AB于点G，∠FEG＝∠FGE，CD延长线交EF于点K．
（1）求证：EK是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求DK的值．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2＝　 　．
22．（4分）2019年2月上旬某市空气质量指数（AQI）（单位：pg/m3）如表所示：（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）如果小王2月上旬到该市度假一次，那么他在该市度假3天空气质量都是优良的概率是　 　．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AQI（μg/m3）
28
36
45
43
36
50
80
117
61
47
23．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）
24．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4，BC＝6，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），连接AP，∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB之长为　 　．
25．（4分）如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示，给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝24cm2；③当14＜t＜22时，y＝100﹣6t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t＝14.5，其中正确结论的序号是　 　．
二、解答题（共30分）
26．（10分）某健身馆普通票价为40元/张，6﹣9月为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价1200元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元．
普通票正常出售，两种优惠卡仅限6﹣9月使用，不限次数．设健身x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
27．（12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：∠AC1O＝∠BD1O
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝12，连接DD1，设AC1＝kBD1．求AC+（kDD1）2的值．
28．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣7，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M．
（1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，点E不与点M重合，当﹣7＜x＜﹣2时，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴与点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF的周长的最大值；
（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2020年四川省成都市青羊区中考数学二诊试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）月球表面白天的温度可达123℃，夜晚可降到﹣233℃，那么月球表面昼夜的温差为（　　）
A．110℃ B．﹣110℃ C．356℃ D．﹣356℃
【分析】用白天的温度减去降低的温度，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：123﹣（﹣233），
＝123+233，
＝356℃．
故选：C．
2．（3分）二次根式中x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．3 C．x≥3 D．x≤﹣3
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：由题意知x﹣3≥0，
解得：x≥3，
故选：C．
3．（3分）计算3ab2﹣4ab2的结果是（　　）
A．﹣ab2 B．ab2 C．7ab2 D．﹣1
【分析】利用合并同类项的法则解答．
【解答】解：原式＝（3﹣4）ab2＝﹣ab2
故选：A．
4．（3分）港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（　　）
A．1269×108 B．1.269×108 C．1.269×1010 D．1.269×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1269亿＝126 900 000 000＝1.269×1011，
故选：D．
5．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用勾股定理求出AB的长度，然后根据sinB＝代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴sinB＝＝．
故选：D．
6．（3分）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（1，2），
故选：A．
7．（3分）图中三视图对应的正三棱柱是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用俯视图可淘汰C、D选项，根据主视图的侧棱为实线可淘汰B，从而判断A选项正确．
【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在竖直方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定A选项正确．
故选：A．
8．（3分）为调査某班学生每天使用零花钱的情况，童老师随机调查了30名同学，结果如下表：则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（　　）
每天使用零花钱（单位：元）
5
10
15
20
25
人数
2
5
8
x
6
A．15，15 B．20，17.5 C．20，20 D．20，15
【分析】利用众数的定义可以确定众数在第三组，由于随机调查了20名同学，根据表格数据可以知道中位数是按从小到大排序，第15个与第16个数的平均数．
【解答】解：∵童老师随机调查了30名同学，
∴x＝30﹣2﹣5﹣8﹣6＝9，
∵20出现了9次，它的次数最多，
∴众数为20．
∵随机调查了30名同学，
∴根据表格数据可以知道中位数＝（15+20）÷2＝17.5，即中位数为17.5．
故选：B．
9．（3分）在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．OC＝OB C．AC⊥BD D．OA＝OC
【分析】根据菱形的性质即可判断．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA＝OC，
故A，C，D正确，
故选：B．
10．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，OP⊥AC交于点P，OP＝4，则⊙O的半径为（　　）
A．8 B．12 C．8 D．12
【分析】连接OA，OC，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠AOC＝120°，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠OCA＝30°，由直角三角形的性质可求AO的长．
【解答】解：连接OA，OC
∵∠B＝60°，∠AOC＝2∠B
∴∠AOC＝120°
∵OA＝OC
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵OP⊥AC，且∠OAC＝30°
∴AO＝2OP＝2×4＝8
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．（4分）计算：＝　2　．
【分析】根据分式加减法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝2
故答案为：2
12．（4分）二次函数y＝2x2﹣12x+13的最小值是　﹣5　．
【分析】把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：y＝2x2﹣12x+13＝2（x﹣3）2﹣5，
当x＝3时，函数值y有最小值，最小值为﹣5，
故答案为﹣5．
13．（4分）如图，将矩形ABCD沿BD翻折，点C落在P点处，连结AP．若∠ABP＝26°，那么∠APB＝　32°　．
【分析】根据轴对称的性质和矩形的性质可以得出AB＝DP，AP∥BD，进而得出∠APB的度数．
【解答】解：∵△BDC与△BDE关于BD对称，
∴△BDC≌△BDP，
∴BP＝BC，DP＝DC，∠DBP＝∠DBC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝DP，AD＝BC＝BP，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠PBD＝∠ADB，
∴BF＝DF，
∴BP﹣BF＝AD﹣DF，
∴AF＝PF，
∴∠FAP＝∠FPA，
∵∠AFP＝∠BFD，
∴2∠PAF＝2∠ADB，
∴∠PAF＝∠ADB，
∴AP∥BD，
∴∠APB＝∠PBD，
∵∠ABP＝26°，
∴∠CBD＝∠DBP＝（90°﹣26°）＝32°，
则∠APB＝32°．
故答案为：32°．
14．（4分）已知点A为双曲线y＝图象上的点，点O为坐标原点，过A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△AOB的面积为6，则k＝　12或﹣12　．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可以设点A的坐标为（x，）；然后根据三角形的面积公式知S△AOB＝|x|?||＝6，据此可以求得k的值．
【解答】解：∵点A为双曲线y＝图象上的点，
∴设点A的坐标为（x，）；
又∵△AOB的面积为6，
∴S△AOB＝|x|?||＝6，即|k|＝12，
解得，k＝12或k＝﹣12；
故答案是：12或﹣12．
三、解答题（共54分）
15．（6分）（1）计算：（﹣2）﹣2﹣sin45°．
（2）解方程组：．
【分析】（1）根据负整数指数幂和特殊角的三角函数值定义，把原式转化为实数的运算，计算求值即可，
（2）利用加减消元法解之即可．
【解答】解：（1）（﹣2）﹣2﹣sin45°
＝（﹣8）+9﹣2×
＝﹣8+9﹣2
＝﹣1，
（2，
②×2﹣①得：
y＝﹣5，
把y＝﹣5代入②得：
x﹣15＝8，
解得：x＝23，
∴原方程组的解为：．
16．（6分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH．
【分析】首先求出AB，再利用AB?DH＝AC?BD，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，DH⊥AB，
∴OA＝OC＝8，OB＝OD＝6，AC⊥BD，
∴在Rt△AOB中，AB＝，
∴AB?DH＝AC?BD，
∴10?DH＝×16×12，
∴DH＝9.6．
17．（8分）如图，某中学计划在主楼的顶部D和大门的上方A之间挂一些彩旗．经测量，得到大门AB的高度大约是3m，大门距主楼的距离是45m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面大约是m．
求：（1）学校主楼的高度（结果保留根号）；
（2）大门上方A与主楼顶部D的距离（结果保留根号）
【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后利用特殊角的三角函数即可求得学校主楼的高度；
（2）根据（1）中的结果和锐角三角函数、勾股定理可以求得大门上方A与主楼顶部D的距离．
【解答】解：（1）作EF∥BC交DC于点F，
∵BC＝45m，
∴EF＝45m，
∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，
∴tan30°＝，
∴，
解得，DE＝15，
∵EB＝m，
∴DC＝15＝16m，
即学校主楼的高度是16m；
（2）作AG∥BC交DC于点G，
∵BC＝AG＝45m，AB＝m，DC＝16m，
∴GC＝AB＝3m，
∴DG＝16﹣3＝13m，
∵∠AGD＝90°，
∴AD＝＝2m，
即大门上方A与主楼顶部D的距离是2m．
18．（8分）现如今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我是50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）；
步数
频数
频率
0≤x＜4000
a
0.16
4000≤x＜8000
15
0.3
8000≤x＜12000
B
0.24
12000≤x＜16000
10
c
16000≤x＜20000
3
0.06
20000≤x＜25000
2
d
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出a、b、c、d的值并补全频数分布直方图；
（2）本市约有58000名教师，用调查的样本数据估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？
（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师的日行走步数恰好都在20000步（包含20000步）以上的频率．
【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得答案；
（2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数58000可得答案；
（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．
【解答】解：（1）a＝50×0.16＝8，b＝50×0.24＝12，c＝10÷50＝0.2，d＝2÷50＝0.04，
补全直方图如下：
（2）估计日行步数超过12000步（包含12000步）的教师有58000×（0.2+0.06+0.04）＝17400（人）；
（3）设步数为16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，步数为20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，
画树状图如下：
由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为＝．
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点P（x，y）在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作PQ⊥y轴于点Q，记△CPQ的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
【分析】（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
（2）分两步进行解答，①当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S△CPQ＝CQ?PQ列出S关于x的解析式，②当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S△CPQ＝PQ?CQ列出S关于x的解析式．
【解答】解：（1）∵长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），
∴C（0，3），
∵D是BC的中点，
∴D（1，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y＝，
∴S△PCQ＝CQ?PQ＝x?（﹣3）＝﹣x（0＜x＜1），
当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，同理求出S△PCQ＝PQ?CQ＝x?（3﹣）＝x﹣2（x＞1），
综上S＝．
20．（10分）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，连接BC，过上一点E作EF∥BC交BA的延长线于点F，CE交AB于点G，∠FEG＝∠FGE，CD延长线交EF于点K．
（1）求证：EK是⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求DK的值．
【分析】（1）欲证明EK是⊙O的切线，只要证明OE⊥EF即可．
（2）想办法证明△BGE∽△BEF，即可解决问题．
（3）设OB＝r，在Rt△OBH中，利用勾股定理求出r，证明∠K＝∠BCH，可得，由此构建方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OE，
∴CO＝OE，∠OCE＝∠OEC
∵∠FEG＝∠FGE＝∠CGH，
∴∠FEG＝∠CGH，
∵CH⊥AB，
∴∠CGH+∠GCH＝90°，
∴∠OEC+∠FEC＝90°，
∴OE⊥EF，
即EK是⊙O的切线．
（2）证明，在△ABE和△GBE中，
∵CH⊥AB，
∴，
∴∠CEB＝∠CBA，
又∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠F，
∴∠CEB＝∠F，
∵∠FBE＝∠FBE，
∴△BGE∽△BEF，
∴，
（3）连接OB，
设OB＝r
∵BC∥EF，∠F＝∠CBH，
∴，
∵，，
∴，，
在Rt△HOB中，（r﹣CH）2+HB2＝r2，
∴，
在△OEK中，∵CB∥EK
∴∠K＝∠BCH，
∴，
∴，
∴，
∴DK＝OK﹣OD＝．
一、填空题（每小题4分，共20分）
21．（4分）已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根为m，n，则m2﹣mn+n2＝　25　．
【分析】由m与n为已知方程的解，利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，将所求式子利用完全平方公式变形后，代入计算即可求出值．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
则m2﹣mn+n2＝（m+n）2﹣3mn＝16+9＝25．
故答案为：25．
22．（4分）2019年2月上旬某市空气质量指数（AQI）（单位：pg/m3）如表所示：（空气质量指数不大于100表示空气质量优良）如果小王2月上旬到该市度假一次，那么他在该市度假3天空气质量都是优良的概率是　　．
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AQI（μg/m3）
28
36
45
43
36
50
80
117
61
47
【分析】根据表格中的数据和题意可以求得3天空气质量都是优良的概率．
【解答】解：由表格可得，
所有的可能性是：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），
∴小王在该市度假3天空气质量都是优良的概率是；
故答案为：．
23．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　4π　．（结果保留π）
【分析】如图，连接OE，利用切线的性质得OD＝4，OE⊥AB，易得四边形OEAD为正方形，先利用扇形面积公式，利用S正方形OEAD﹣S扇形EOD计算由弧DE、线段AE、AD所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE，如图，
∵以CD为直径的半圆O与AB相切于点E，
∴OD＝4，OE⊥BC，
易得四边形OEAD为正方形，
∴由弧DE、线段AE、AD所围成的面积＝，
∴阴影部分的面积：，
故答案为：4π．
24．（4分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝4，BC＝6，P是BC边上的一动点（P不与点B、C重合），连接AP，∠B＝∠APE，边PE与AC交于点D，当△APD为等腰三角形时，则PB之长为　2或　．
【分析】需要分类讨论：①当AP＝PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD＝PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD＝AP时，点P与点B重合．
【解答】解：①当AP＝PD时，则△ABP≌△PCD，则PC＝AB＝4，故PB＝2．
②当AD＝PD时，
∴∠PAD＝∠APD，
∵∠B＝∠APD＝∠C，
∴∠PAD＝∠C，
∴PA＝PC，
过A作AG⊥BC于G，
∴CG＝3，
∴AG＝＝＝，
过P作PH⊥AC于H，
∴CH＝2，
设PC＝x，
∴S△APC＝AG?PC＝AC?PH，
∴x＝4×PH，
∴PH＝x，
∵PC2＝PH2+CH2，
∴x2＝（x）2+4，
解得：x＝（负值舍去），
∴PC＝，
∴PB＝；
③当AF＝AP时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或．
故答案是：2或．
25．（4分）如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示，给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝24cm2；③当14＜t＜22时，y＝100﹣6t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t＝14.5，其中正确结论的序号是　①②⑤　．
【分析】①由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE＝BC＝10，ED＝4，当0＜t≤10时，BP始终等于BQ即可得出结论；
②由△BPQ的面积等于40求出DC的长，再由S△ABE＝×AB?AE即可得出结论；
③当14＜t＜22时，由y＝?BC?PC代入即可得出结论；
④△ABP为等腰三角形需要分类讨论：当AB＝AP时，ED上存在一个符合题意的P点，当BA＝BP时，BE上存在一个符合题意的P点，当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符合题意的P点，即可得出结论；
⑤由当 ＝或＝ 时，△BPQ与△BEA相似，分别将数值代入即可得出结论．
【解答】解：①由图象可知，点Q到达C时，点P到E则BE＝BC＝10，ED＝4，
∵它们运动的速度都是1cm/s．点P、Q同时开始运动，
∴当0＜t≤10时，BP始终等于BQ，
∴△BPQ是等腰三角形；
故①正确；
②∵ED＝4，BC＝10，
∴AE＝10﹣4＝6
t＝10时，△BPQ的面积等于 BC?DC＝×10×DC＝40
∴AB＝DC＝8
∴S△ABE＝×AB?AE＝×8×6＝24；
故②正确；
③当14＜t＜22时，y＝?BC?PC＝×10×（22﹣t）＝110﹣5t
故③错误；
④△ABP为等腰三角形需要分类讨论：
当AB＝AP时，ED上存在一个符合题意的P点，
当BA＝BP时，BE上存在一个符合题意的P点，
当PA＝PB时，点P在AB垂直平分线上，所以BE和CD上各存在一个符合题意的P点，
∴共有4个点满足题意；
故④错误；
⑤∵△BEA为直角三角形，
∴只有点P在DC边上时，有△BPQ与△BEA相似，
由已知，PQ＝22﹣t，
∴当 ＝或＝ 时，△BPQ与△BEA相似，
分别将数值代入＝或＝
解得：t＝（不合题意舍去）或t＝14.5；
故⑤正确；
综上所述，正确的结论的序号是①②⑤．
故答案为：①②⑤．
二、解答题（共30分）
26．（10分）某健身馆普通票价为40元/张，6﹣9月为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价1200元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元．
普通票正常出售，两种优惠卡仅限6﹣9月使用，不限次数．设健身x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出A、B、C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
【分析】（1）理解题目意思：健身馆普通票价为40元/张，没有其他费用了，健身的时间是x小时，那么普通的消费就可以列出来；而银卡售价300元/张，每次凭卡另收10元，健身的时间是x小时，那么银卡票消费也可以用一元一次方程列出来；
（2）能够根据图象，用二次一方程组的知识求交点坐标，理解一次函数的特征，看图求坐标；
（3）根据一次函数的特征来比较数的大小；当x的值为交点时，它们的费用是相同的；当小于交点的x值时，位于下面的函数图象，其y值最小；当大于交点的x值时，位于下面的函数图象，其y值最小．
【解答】解：（1）根据题意可得：银卡消费：y＝10x+300 普通消费：y＝40x
（2）令y＝10x+300中的x＝0，则y＝300故点A的坐标为（0，300），联立 解得： 故点B的坐标为（10，400）
令y＝1200代入y＝10x+300，则x＝90，故点C的坐标为（90，1200）
综上所述：点A的坐标为（0，300），点B的坐标为（10，400），点C的坐标为（90，1200）
（3）根据函数图象，可知：
当0＜x＜10时，选择购买普通票更合算；
当x＝10时，选择购买银卡、普通票的总费用相同；
当10＜x＜90时，选择购买银卡更合算．
当x＝90时，选择购买银卡和金卡更合算．
当x＞90时，选择购买金卡更合算．
27．（12分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：∠AC1O＝∠BD1O
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝12，连接DD1，设AC1＝kBD1．求AC+（kDD1）2的值．
【分析】（1）由正方形性质可得AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD，由旋转的性质可得OC＝OC1＝OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD，可证△AOC1≌△BOD1，可得结论；
（2）由菱形的性质和旋转的性质可得OA＝OC1，OB＝OD1，∠C1OA＝∠D1OB，即可证△AOC1∽△BOD1，可得，∠C1AO＝∠D1BO，即可得结论；
（3）通过△AOC1∽△BOD1，可求k的值，由勾股定理可求AC+（kDD1）2的值．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC＝OC1＝OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD
∴∠BOD1＝∠AOC1，且AO＝BO，C1O＝D1O，
∴△AOC1≌△BOD1（SAS）
∴∠AC1O＝∠BD1O
（2）AC1＝BD1，AC1⊥BD1，
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC＝OC1，OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD
∴OA＝OC1，OB＝OD1，∠C1OA＝∠D1OB
∴，且∠C1OA＝∠D1OB
∴△AOC1∽△BOD1，
∴，∠C1AO＝∠D1BO，
∴AC1＝BD1，
∵∠AOB＝90°
∴∠OAB+∠ABP+∠D1BO＝90°
∴∠OAB+∠ABP+∠C1AO＝90°
∴∠APB＝90°
∴AC1⊥BD1，
（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝6，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，
∴OC＝OC1，OD＝OD1，∠C1OC＝∠D1OD
∴OA＝OC1，OB＝OD1，∠C1OA＝∠D1OB
∴，且∠C1OA＝∠D1OB
∴△AOC1∽△BOD1，
∴
∴k＝
∵OB＝OD1＝OD
∴△BD1D是直角三角形，
∴BD12+D1D2＝BD2，
∴（2C1A）2+D1D2＝144
∴AC12+（kD1D）2＝36
28．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣7，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D，顶点坐标为M．
（1）求抛物线的表达式和顶点M的坐标；
（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，点E不与点M重合，当﹣7＜x＜﹣2时，过点E作EF∥x轴，交抛物线的对称轴于点F，作EH⊥x轴与点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF的周长的最大值；
（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）因为已知抛物线与x轴两交点，故用交点法即能求抛物线解析式，再用配方法求顶点．
（2）用x表示EF、EH的长，用周长公式即能求出矩形EHDF周长与x的函数关系并求最大值．由于不确定点E在F的左侧还是右侧，故EF长度的表示需要分类讨论，每种情况下求得的最大值要考虑是否在对应的自变量取值范围内．
（3）三个点均有可能为直角顶点，需要分三种情况讨论．其中以点A或点C为直角顶点时，则直线AP或CP与直线AC垂直，易求直线AC与x轴夹角为45°，解析式的k值为1，所以直线AP或CP与x轴夹角也为45°，解析式对应的k＝﹣1，进而求得直线AP或CP解析式，再求x＝﹣3时y的值即求出P；以P为直角顶点时，AC为斜边，取AC中点G和设P点坐标，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，列得方程，求解得P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线x轴交于A（﹣7，0），B（1，0）两点
∴y＝﹣（x+7）（x﹣1）＝﹣x2﹣6x+7＝﹣（x+3）2+16
∴抛物线表达式为：y＝﹣x2﹣6x+7，顶点M坐标（﹣3，16）．
（2）∵点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣7＜x＜﹣2
∴EH＝y＝﹣x2﹣6x+7
∵对称轴为直线x＝﹣3，EF∥x轴
∴F（﹣3，y）
∴EF＝|﹣3﹣x|
①当﹣7＜x＜﹣3时，E在F左边，EF＝﹣3﹣x
∴C矩形EHDF＝2（EF+EH）＝2（﹣3﹣x﹣x2﹣6x+7）＝﹣2（x+）2+
∴当x＝时，最大值C＝
②当﹣3＜x＜﹣2时，E在F右边，EF＝x+3
∴C矩形EHDF＝2（EF+EH）＝2（x+3﹣x2﹣6x+7）＝﹣2（x+）2+
∴当x＝时，最大值C＝
综上所述，矩形EHDF周长的最大值是
（3）存在满足条件的点P．
①若∠PAC＝90°，则PA⊥AC
∵点A（﹣7，0），C（0，7）
∴直线AC解析式为：y＝x+7
∴直线PA解析式为：y＝﹣x﹣7
当x＝﹣3时，y＝3﹣7＝﹣4
∴P（﹣3，﹣4）
②若∠PCA＝90°，则PC⊥AC
∴直线PC解析式为：y＝﹣x+7
当x＝﹣3时，y＝3+7＝10
∴P（﹣3，10）
③若∠APC＝90°，取AC中点G，连接PG
∴G（），PG＝AC＝
设P（﹣3，m）
∴PG2＝（﹣3+）2+（m﹣）2＝（）2
解得：m1＝，m2＝
∴P（﹣3，）或（﹣3，＝）
综上所述，使以点P、A、C为顶点的三角形是直角三角形的点P坐标有（﹣3，﹣4），（﹣3，10），（﹣3，），（﹣3，＝）

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