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上海市江湾初级中学2019年中考数学三模试卷
一、选择题（满分24分）
1．（2018七上·利川期末）计算（﹣x2）3的结果是（　　）
A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x8
2．（2019·上海模拟）下列方程中，有实数解的个数是（　　）
① ﹣1＝0，② ＝4﹣x，③ ＝ ，④ ＝﹣x
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2019·上海模拟）已知一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则m、n的取值范围（　　）
A．m＞0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＞0 D．m＜0，n＜0
4．（2019·上海模拟）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．随时打开电视机，正在播天气预报
B．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
C．从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除
D．长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形
5．（2019·上海模拟）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（2019·上海模拟）如图，⊙O的半径为4，点A，B在⊙O上，点P在⊙O内，sin∠APB＝ ，AB⊥PB，如果OP⊥OA，那么OP的长为（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题：（满分48分）
7．（2019·上海模拟）计算：a﹣2b2 （a2b﹣2）﹣3＝　 　．
8．（2019七上·越城期末）小明在数轴上先作边长为1的正方形，再用圆规画出了点A（如图所示），则点A所表示的数为　 　．
9．（2019·上海模拟）不等式3x≤x+4的非负整数解是　 　．
10．（2019·上海模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　．
11．（2019·上海模拟）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，2），则k的值是　 　．
12．（2019·上海模拟）已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为　 　．
13．（2019·上海模拟）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是　 　．
14．（2019·上海模拟）在100个数据中，用适当方法抽取50个样本进行统计，在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.2，那么估计总体数据落在54.5～57.5之间的约有　 　个．
15．（2019·上海模拟）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于　 　厘米．
16．（2019·上海模拟）化简： （ ）＝　 　．
17．（2019·上海模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有　 　个．
18．（2019·上海模拟）如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝　 　．
三、解答题（满分78分）
19．（2019·上海模拟）先化简代数式1﹣ ÷ ，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．
20．（2019·上海模拟）解二元二次方程组 ．
21．（2019·上海模拟）如图，在△ABC中
（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．
22．（2019·上海模拟）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．
（1）甲的速度是　 　米/分钟；
（2）当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；
（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？
（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？
23．（2019·上海模拟）如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF．求证：
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）OB2＝OE OF；
24．（2019九上·徐闻期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
25．（2019·上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE＝ ，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】（﹣x2）3
=﹣x2×3
=-x6，
故选A．
【分析】积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则即可算出答案。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：① ﹣1＝0，
＝1，
2x+8＝1，
解得x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是原方程的解；
② ＝4﹣x，
x﹣6＝（4﹣x）2，
整理得x2﹣9x+22＝0，
△＝92﹣4×22＜0，方程没有实数解，
所以原方程无实数解；
③ ＝
x+5＝2﹣x，
所以x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是原方程的解；
④ ＝﹣x，
x+1＝x2，
整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝ ，x2＝ ，
经检验x＝ 为原方程无实数解．
故答案为：D．
【分析】将①②③④中的等式先进行平方，变成一元二次方程，然后分别写出①②③④中一元二次方程的a、b、c的值，判断Δ也就是b2-4ac的大小，Δ>0；即有实数解，Δ<0；即无实数解。
3．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝mx+n的图象过二、四象限，
∴m＜0，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
故答案为：B．
【分析】由一次函数与y轴交于正半轴，可知n>0；再由一次函数必过二、四象限，可知m<0。
4．【答案】C
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A，随时打开电视机，正在播天气预报是随机事件；
B，抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上是随机事件；
C，从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除是必然事件；
D，长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形是不可能事件；
故答案为：C．
【分析】必然事件是指一定会发生的事情，而随时打开电视，正在播天气预报的可能小，属随机事件；同样B选项中掷骰子，出现4朝上，也属于随机事件；C选项中共有3与6两个数，无论哪一个都能被3整除；D中3，3，6，不或能组成一个三角形，为不可能事件。
5．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴ ＝60°，
∴n＝6，
故答案为：C．
【分析】由圆O的半径与正n边形的边长相等，可知这个多边形的中心角为60°，所以这个多边形是个六边形。
6．【答案】D
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，连接OB，作BM⊥OP交OP的延长线于M，作AN⊥MB交MB的延长线于N．则四边形AOMN是矩形，
∵∠AOP＝∠ABP＝90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴∠BOP＝∠BAP，
∵sin∠APB＝ ，
∴tan∠BAP＝ ，
tan∠BOM＝tan∠BAP＝ ＝ ，设BM＝4k，OM＝3k，
在Rt△OMB中，（4k）2+（3k）2＝42，
解得k＝ （负根已经舍弃），
∴BM＝ ，OM＝ ，BN＝MN﹣BM＝ ，
∵∠MBP+∠BPM＝90°，∠MBP+∠ABN＝90°，
∴∠BPM＝∠ABN，
∵∠BMP＝∠ANB＝90°，
∴△BMP∽△ANB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PM＝ ，
∴OP＝OM﹣PM＝ ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAP等于∠BOP；由已知中的∠APB的正弦，可求出∠APB的正切，即∠BOP的正切，设BM=4k，OM=3k，由勾股定理得BM2+OM2=OB2，利用解一元二次方程求出k=，从而求出BM=与OM=；由∠ABN+∠PBM=90°，∠BPM+∠PBM=90°，可知∠ABN=∠BPM，根据两组对应角相等的三角形为相似三角形，可得△BMP∽△ANB，得到，即可求得PM的值，从而求得OP的长。
7．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】由积的乘方可得（a2b-2）-3=a-6b6，再根据同底数幂的乘法和负整数指数幂计算即可。
8．【答案】1+
【知识点】无理数在数轴上表示；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理得，正方形的对角线的长度为 ＝ ，
则点A表示的数为1+ ，
故答案为：1+ ．
【分析】利用勾股定理可得正方形的对角线长我，由作图可知点A与1的距离等于，所以点A表示的数为1+ .
9．【答案】0，1，2
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解不等式3x≤x+4得，x≤2，
∴不等式3x≤x+4的非负整数解是0，1，2，
故答案为：0，1，2．
【分析】通过移项、合并同类项，系数化为1可求出x≤2，即可得到在这个范围内的非负整数解。
10．【答案】m＜5且m≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＞0且m≠1，
解得m＜5且m≠1，
故答案为：m＜5且m≠1．
【分析】由题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即Δ>0且m-1≠0，将方程中的系数代入到Δ=b2-4ac=（-4）2-4（m-1）中，即可求得m的取值范围，再与m-1≠0联合，就得到m的取值范围。
11．【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点（1，2）在函数y＝ 上，则有2＝ ，即k＝2．
故答案为：2．
【分析】由点（1，2）在反比例函数的图象上可知，当x=1时，y=2，代入到反比例函数的解析式中即可求得k的值。
12．【答案】y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，
所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【分析】先将y=2x2-4x+5变成顶点式y=2(x-1)2+3，将抛物线沿x轴翻折，对称轴不变，顶点坐标由（1，3）变为（1，-3），抛物线的开口方向发生变化，而开口大小不变，所以a=-2，即可写出翻折后的解析式。
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共6个数，大于3的数有3个，
∴P（大于3）＝ ＝ ；
故答案为： ．
【分析】由题意可知，共有6种可能性，而大于3的可能性有3种，即P（大于3）=，约分得到指针指向大于3的数的概率。
14．【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：用样本估计总体：在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.2，
估计总体数据落在54.5～57.5这一组的频率同样是0.2，
那么总体数据落在54.5～57.5之间的约有100×0.2＝20个．
故答案为：20．
【分析】利用频率估计概率可知，50个样本的频率为0.2，即100个数据的频率仍为0.2，算出即为20。
15．【答案】3
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，
∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，
故答案为：3．
【分析】两圆内切时，圆心距的长等于两圆的半径之差。
16．【答案】
【知识点】向量的加法法则；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解： （ ）
＝ ﹣
＝（﹣ + ） +（1﹣ ）
＝ ．
故答案为： ．
【分析】先将括号去掉，即先将乘到括号内，再根据去括号法则，将括号去掉，最后将含有同样向量的系数进行相加减即可。
17．【答案】6
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况： ABC2D3、 ABC1D2、 AC1BD1、 AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．
故答案为：6．
【分析】先找到满足三角形ABC的面积为1时，所以点C的个数，然后将三角形ABC进行翻折、平移即可找到满足平行四边形的面积为2的所有的平行四边形，其中有四个平行四边形，分别是 BAC1D2， C1AD1B， BAD3C2， BC3AC2，还有两个正方形，分别是正方形BAC2D1和正方形BAC1C3.
18．【答案】5
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴△ADE≌△AD'E，
∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，
在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，
∴AB2＝9+（AB﹣1）2，
∴AB＝5
故答案为：5
【分析】由翻折的性质可知，AD=AD'=3，ED=ED'=1；再由矩形的对边平行与翻折的性质可知，∠EAB＝∠AEB，即AB=BE；再利用勾股定理AB2=AD'2+BD'2求出AB的值.
19．【答案】解：原式＝1﹣ ×
＝1﹣
＝ ﹣
＝﹣ ，
由题意得，x≠﹣1，0，1，
当x＝3时，原式＝﹣ .
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】运用分式的乘除法则，先将进行化简得到；再运用异分母的分式加减法则，将1-进行化简得到；由分式有意义的条件可知x不能为-1，0，1这三个数，将x=3代入到化简后的分式即可求出。
20．【答案】解： ，
把（1）变形y＝1﹣x，代入（2）得x2﹣（1﹣x）﹣2x﹣1＝0，
化简整理得x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
把x＝2代入（1）得y＝﹣1，
把x＝﹣1代入（1）得y＝2，
所以原方程组的解 ， ．
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】将方程（1）变形，用含有x的代数式将y表示出来，即y=1-x，再将其代入到方程（2）中，得到关于x的一元二次方程x2-x-2=0，运用一元二次方程的解法求出x的两个解，再将两个x的解代入到y=1-x中，即可求出二元二次方程组的两组解。
21．【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；
（2）解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝ BC＝6，BD＝CD＝9，
∴cos∠C＝ ＝ ＝ ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）分别以点B、点C为圆心，以大于BC一半的长度为半径画弧，分别交于线段BC的上方与下方，过这两个交点画一条直线，与AC交于点D，BC交于点E，直线DE即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质可知BD=CD=9，BE=EC=，即可求得cos∠C=。
22．【答案】（1）60
（2）解：当20≤t≤30时，设s＝mt+n，
由题意得
解得
∴s＝300t﹣6000.
（3）解：当20≤t≤30时，60t＝300t﹣6000，
解得t＝25，
∴乙出发后时间＝25﹣20＝5，
当30≤t≤60时，60t＝3000，
解得t＝50，
∴乙出发后时间＝50﹣20＝30，
综上所述：乙出发5分钟和30分钟时与甲在途中相遇。
（4）解：设乙从B步行到C的速度是x米/分钟，
由题意得5400﹣3000﹣（90﹣60）x＝360，
解得x＝68，
所以乙从景点B步行到景点C的速度是68米/分钟．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）甲的速度＝ ＝60米/分钟，
故答案为：60
【分析】（1）由图象可知甲用了90分钟走了5400米，即可求得甲的速度为60米/分钟；
（2）求一次函数的解析式用待定系数法，设s=mt+n，将图象中的（20，0）与（30，3000）代入到解析式中求出m=300，n=-6000，即可得到s与t的函数表达式；
（3）通过图象可知甲与乙有两次相交，这两次的交点的横坐标即为相遇的时间，由（2）中求得的函数表达式与甲的函数表达式联在一起得到60t=300t-6000，求得t=25；当乙在景点B逗留时，与甲第二次相遇，即60t=3000，求得t=50。
（4）由图象可知，当甲到达景点C时，乙离景点C还有360米，即乙走了5400-3000-360=2040米，一共用了90-60=30分钟，即可求得乙的速度。
23．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴OB2＝OE OF.
【知识点】平行四边形的判定；平行线分线段成比例；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】（1）由平行线的性质，ED∥BC，可知内错角∠EAB=∠ABC，再由∠EAB=∠BCF，得到∠ABC=∠BCF，再由平行线的判定可得AB∥DF，由平行四边形的定义即可判定四边形ABCD为平行四边形。
（2）由平行线分线段成比例，CB∥AD得到，AB∥CD得到，整理即可证得OB2=OE·OF.
24．【答案】（1）解：将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1
（2）解：过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝ AQ PF＝﹣ x2﹣ x+3＝﹣ （x+ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，△APC的面积取最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）
（3）解：当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3 ，AN＝ ＝ ，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 + ．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3 + ．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意，将点A和点B的坐标代入抛物线中，即可求得b和c的值，得到抛物线的解析式；设AC的直线解析式为y=mx+n，将点A和点C的坐标代入即可求得直线AC的直线解析式。
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，分别设出点P和点E的坐标，根据抛物线和直线的解析式，将两个点的坐标表示出三角形的面积公式，即可根据一元二次方程的顶点式，得到点P的坐标。
（3）令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，把抛物线的一般解析式化为顶点式，得出对称轴，再结合C、N的坐标得出关于对称轴对称，所以MN＝CM，即AM+MN=AC，△ANM周长取得最小值。最后根据两点间的距离公式求得AC、AN的值，即可得到△ANM 周长的最小值。
25．【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4.
（3）解：∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∵ ＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴ ＝ ，
即AC＝ BC．
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角是直角，得到∠AEB=∠ADB=90°；再由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，可知BD=CD，再由同圆中所对的弧相等可知弧BD等于弧ED，即可证得OD⊥BE；
（2）由（1）中可知弦DE=弦BD，由CD=BD，可知BC=2；再由圆内接四边形性质可知∠CDE=∠BAC，加∠C公共角，可判定△CDE∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长，即可求得AE的长。
（3）由（1）结论可知S△CDE=S△BDE，结合已知条件，得到S△BDE=S△OBF；由S△AEB=4S△OBF，可知S△AEB=6S△CDE，进一步可知S△CAB=8S△CDE，由（2）中结论△CDE∽△CAB，根据三角形的面积比等于对应线段比的平方，即可求出CD：CA=1：，再由（1）中的结论即可求出线段BC与AC之间的等量关系AC=BC。
1 / 1上海市江湾初级中学2019年中考数学三模试卷
一、选择题（满分24分）
1．（2018七上·利川期末）计算（﹣x2）3的结果是（　　）
A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．﹣x8
【答案】A
【知识点】积的乘方
【解析】【解答】（﹣x2）3
=﹣x2×3
=-x6，
故选A．
【分析】积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则即可算出答案。
2．（2019·上海模拟）下列方程中，有实数解的个数是（　　）
① ﹣1＝0，② ＝4﹣x，③ ＝ ，④ ＝﹣x
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：① ﹣1＝0，
＝1，
2x+8＝1，
解得x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是原方程的解；
② ＝4﹣x，
x﹣6＝（4﹣x）2，
整理得x2﹣9x+22＝0，
△＝92﹣4×22＜0，方程没有实数解，
所以原方程无实数解；
③ ＝
x+5＝2﹣x，
所以x＝﹣ ，
经检验x＝﹣ 是原方程的解；
④ ＝﹣x，
x+1＝x2，
整理得x2﹣x﹣1＝0，解得x1＝ ，x2＝ ，
经检验x＝ 为原方程无实数解．
故答案为：D．
【分析】将①②③④中的等式先进行平方，变成一元二次方程，然后分别写出①②③④中一元二次方程的a、b、c的值，判断Δ也就是b2-4ac的大小，Δ>0；即有实数解，Δ<0；即无实数解。
3．（2019·上海模拟）已知一次函数y＝mx+n的图象如图所示，则m、n的取值范围（　　）
A．m＞0，n＜0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝mx+n的图象过二、四象限，
∴m＜0，
∵函数图象与y轴交于正半轴，
∴n＞0，
故答案为：B．
【分析】由一次函数与y轴交于正半轴，可知n>0；再由一次函数必过二、四象限，可知m<0。
4．（2019·上海模拟）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．随时打开电视机，正在播天气预报
B．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上
C．从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除
D．长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形
【答案】C
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A，随时打开电视机，正在播天气预报是随机事件；
B，抛掷一枚质地均匀的骰子，出现4点朝上是随机事件；
C，从分别写有3，6两个数字的两张卡片中随机抽出一张，卡片上的数字能被3整除是必然事件；
D，长度分别是3cm，3cm，6cm的三根木条首尾相接，组成一个三角形是不可能事件；
故答案为：C．
【分析】必然事件是指一定会发生的事情，而随时打开电视，正在播天气预报的可能小，属随机事件；同样B选项中掷骰子，出现4朝上，也属于随机事件；C选项中共有3与6两个数，无论哪一个都能被3整除；D中3，3，6，不或能组成一个三角形，为不可能事件。
5．（2019·上海模拟）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴ ＝60°，
∴n＝6，
故答案为：C．
【分析】由圆O的半径与正n边形的边长相等，可知这个多边形的中心角为60°，所以这个多边形是个六边形。
6．（2019·上海模拟）如图，⊙O的半径为4，点A，B在⊙O上，点P在⊙O内，sin∠APB＝ ，AB⊥PB，如果OP⊥OA，那么OP的长为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】解：如图，连接OB，作BM⊥OP交OP的延长线于M，作AN⊥MB交MB的延长线于N．则四边形AOMN是矩形，
∵∠AOP＝∠ABP＝90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴∠BOP＝∠BAP，
∵sin∠APB＝ ，
∴tan∠BAP＝ ，
tan∠BOM＝tan∠BAP＝ ＝ ，设BM＝4k，OM＝3k，
在Rt△OMB中，（4k）2+（3k）2＝42，
解得k＝ （负根已经舍弃），
∴BM＝ ，OM＝ ，BN＝MN﹣BM＝ ，
∵∠MBP+∠BPM＝90°，∠MBP+∠ABN＝90°，
∴∠BPM＝∠ABN，
∵∠BMP＝∠ANB＝90°，
∴△BMP∽△ANB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴PM＝ ，
∴OP＝OM﹣PM＝ ．
故答案为：D．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可知∠BAP等于∠BOP；由已知中的∠APB的正弦，可求出∠APB的正切，即∠BOP的正切，设BM=4k，OM=3k，由勾股定理得BM2+OM2=OB2，利用解一元二次方程求出k=，从而求出BM=与OM=；由∠ABN+∠PBM=90°，∠BPM+∠PBM=90°，可知∠ABN=∠BPM，根据两组对应角相等的三角形为相似三角形，可得△BMP∽△ANB，得到，即可求得PM的值，从而求得OP的长。
二、填空题：（满分48分）
7．（2019·上海模拟）计算：a﹣2b2 （a2b﹣2）﹣3＝　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：原式＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】由积的乘方可得（a2b-2）-3=a-6b6，再根据同底数幂的乘法和负整数指数幂计算即可。
8．（2019七上·越城期末）小明在数轴上先作边长为1的正方形，再用圆规画出了点A（如图所示），则点A所表示的数为　 　．
【答案】1+
【知识点】无理数在数轴上表示；正方形的性质
【解析】【解答】解：根据勾股定理得，正方形的对角线的长度为 ＝ ，
则点A表示的数为1+ ，
故答案为：1+ ．
【分析】利用勾股定理可得正方形的对角线长我，由作图可知点A与1的距离等于，所以点A表示的数为1+ .
9．（2019·上海模拟）不等式3x≤x+4的非负整数解是　 　．
【答案】0，1，2
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：解不等式3x≤x+4得，x≤2，
∴不等式3x≤x+4的非负整数解是0，1，2，
故答案为：0，1，2．
【分析】通过移项、合并同类项，系数化为1可求出x≤2，即可得到在这个范围内的非负整数解。
10．（2019·上海模拟）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为　 　．
【答案】m＜5且m≠1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m﹣1≠0，即（﹣4）2﹣4（m﹣1）＞0且m≠1，
解得m＜5且m≠1，
故答案为：m＜5且m≠1．
【分析】由题意可知一元二次方程有两个不相等的实数根，即Δ>0且m-1≠0，将方程中的系数代入到Δ=b2-4ac=（-4）2-4（m-1）中，即可求得m的取值范围，再与m-1≠0联合，就得到m的取值范围。
11．（2019·上海模拟）已知反比例函数y＝ 的图象经过点（1，2），则k的值是　 　．
【答案】2
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点（1，2）在函数y＝ 上，则有2＝ ，即k＝2．
故答案为：2．
【分析】由点（1，2）在反比例函数的图象上可知，当x=1时，y=2，代入到反比例函数的解析式中即可求得k的值。
12．（2019·上海模拟）已知抛物线y＝2x2﹣4x+5，将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的解析式为　 　．
【答案】y＝﹣2（x﹣1）2﹣3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y＝2x2﹣4x+5＝2（x﹣1）2+3，其顶点坐标是（1，3），将该抛物线沿x轴翻折后的新抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），抛物线开口方向与原抛物线方向相反，
所以新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．
【分析】先将y=2x2-4x+5变成顶点式y=2(x-1)2+3，将抛物线沿x轴翻折，对称轴不变，顶点坐标由（1，3）变为（1，-3），抛物线的开口方向发生变化，而开口大小不变，所以a=-2，即可写出翻折后的解析式。
13．（2019·上海模拟）如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共6个数，大于3的数有3个，
∴P（大于3）＝ ＝ ；
故答案为： ．
【分析】由题意可知，共有6种可能性，而大于3的可能性有3种，即P（大于3）=，约分得到指针指向大于3的数的概率。
14．（2019·上海模拟）在100个数据中，用适当方法抽取50个样本进行统计，在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.2，那么估计总体数据落在54.5～57.5之间的约有　 　个．
【答案】20
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：用样本估计总体：在频数分布表中，54.5～57.5这一组的频率是0.2，
估计总体数据落在54.5～57.5这一组的频率同样是0.2，
那么总体数据落在54.5～57.5之间的约有100×0.2＝20个．
故答案为：20．
【分析】利用频率估计概率可知，50个样本的频率为0.2，即100个数据的频率仍为0.2，算出即为20。
15．（2019·上海模拟）已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于　 　厘米．
【答案】3
【知识点】圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，
∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，
故答案为：3．
【分析】两圆内切时，圆心距的长等于两圆的半径之差。
16．（2019·上海模拟）化简： （ ）＝　 　．
【答案】
【知识点】向量的加法法则；向量的减法法则；实数与向量相乘运算法则
【解析】【解答】解： （ ）
＝ ﹣
＝（﹣ + ） +（1﹣ ）
＝ ．
故答案为： ．
【分析】先将括号去掉，即先将乘到括号内，再根据去括号法则，将括号去掉，最后将含有同样向量的系数进行相加减即可。
17．（2019·上海模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B两点在小方格的顶点上．若点C、D也在小方格的顶点上，这四点恰好是面积为2的一个平行四边形的四个顶点，则这样的平行四边形有　 　个．
【答案】6
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：根据题意作图可发现符合题意的有5种情况： ABC2D3、 ABC1D2、 AC1BD1、 AC2BC3、正方形ABD1C2、正方形ABC3C1．
故答案为：6．
【分析】先找到满足三角形ABC的面积为1时，所以点C的个数，然后将三角形ABC进行翻折、平移即可找到满足平行四边形的面积为2的所有的平行四边形，其中有四个平行四边形，分别是 BAC1D2， C1AD1B， BAD3C2， BC3AC2，还有两个正方形，分别是正方形BAC2D1和正方形BAC1C3.
18．（2019·上海模拟）如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD＝3，DE＝1，则AB＝　 　．
【答案】5
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴△ADE≌△AD'E，
∴AD＝AD'＝3，DE＝D'E＝1，∠DEA＝∠D'EA，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴D'B＝BE﹣D'E＝AB﹣1，
在Rt△ABD'中，AB2＝D'A2+D'B2，
∴AB2＝9+（AB﹣1）2，
∴AB＝5
故答案为：5
【分析】由翻折的性质可知，AD=AD'=3，ED=ED'=1；再由矩形的对边平行与翻折的性质可知，∠EAB＝∠AEB，即AB=BE；再利用勾股定理AB2=AD'2+BD'2求出AB的值.
三、解答题（满分78分）
19．（2019·上海模拟）先化简代数式1﹣ ÷ ，并从﹣1，0，1，3中选取一个合适的代入求值．
【答案】解：原式＝1﹣ ×
＝1﹣
＝ ﹣
＝﹣ ，
由题意得，x≠﹣1，0，1，
当x＝3时，原式＝﹣ .
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】运用分式的乘除法则，先将进行化简得到；再运用异分母的分式加减法则，将1-进行化简得到；由分式有意义的条件可知x不能为-1，0，1这三个数，将x=3代入到化简后的分式即可求出。
20．（2019·上海模拟）解二元二次方程组 ．
【答案】解： ，
把（1）变形y＝1﹣x，代入（2）得x2﹣（1﹣x）﹣2x﹣1＝0，
化简整理得x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
把x＝2代入（1）得y＝﹣1，
把x＝﹣1代入（1）得y＝2，
所以原方程组的解 ， ．
【知识点】解二元二次方程组
【解析】【分析】将方程（1）变形，用含有x的代数式将y表示出来，即y=1-x，再将其代入到方程（2）中，得到关于x的一元二次方程x2-x-2=0，运用一元二次方程的解法求出x的两个解，再将两个x的解代入到y=1-x中，即可求出二元二次方程组的两组解。
21．（2019·上海模拟）如图，在△ABC中
（1）作图，作BC边的垂直平分线分别交于AC，BC于点D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）条件下，连接BD，若BD＝9，BC＝12，求∠C的余弦值．
【答案】（1）解：如图所示，直线DE即为所求；
（2）解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝ BC＝6，BD＝CD＝9，
∴cos∠C＝ ＝ ＝ ．
【知识点】线段垂直平分线的性质；锐角三角函数的定义；尺规作图的定义
【解析】【分析】（1）分别以点B、点C为圆心，以大于BC一半的长度为半径画弧，分别交于线段BC的上方与下方，过这两个交点画一条直线，与AC交于点D，BC交于点E，直线DE即为所求；
（2）由线段垂直平分线的性质可知BD=CD=9，BE=EC=，即可求得cos∠C=。
22．（2019·上海模拟）某景区在同一线路上顺次有三个景点A，B，C，甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙花20分钟时间排队后乘观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C．甲、乙两人离景点A的路程s（米）关于时间t（分钟）的函数图象如图所示．
（1）甲的速度是　 　米/分钟；
（2）当20≤t≤30时，求乙离景点A的路程s与t的函数表达式；
（3）乙出发后多长时间与甲在途中相遇？
（4）若当甲到达景点C时，乙与景点C的路程为360米，则乙从景点B步行到景点C的速度是多少？
【答案】（1）60
（2）解：当20≤t≤30时，设s＝mt+n，
由题意得
解得
∴s＝300t﹣6000.
（3）解：当20≤t≤30时，60t＝300t﹣6000，
解得t＝25，
∴乙出发后时间＝25﹣20＝5，
当30≤t≤60时，60t＝3000，
解得t＝50，
∴乙出发后时间＝50﹣20＝30，
综上所述：乙出发5分钟和30分钟时与甲在途中相遇。
（4）解：设乙从B步行到C的速度是x米/分钟，
由题意得5400﹣3000﹣（90﹣60）x＝360，
解得x＝68，
所以乙从景点B步行到景点C的速度是68米/分钟．
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：（1）甲的速度＝ ＝60米/分钟，
故答案为：60
【分析】（1）由图象可知甲用了90分钟走了5400米，即可求得甲的速度为60米/分钟；
（2）求一次函数的解析式用待定系数法，设s=mt+n，将图象中的（20，0）与（30，3000）代入到解析式中求出m=300，n=-6000，即可得到s与t的函数表达式；
（3）通过图象可知甲与乙有两次相交，这两次的交点的横坐标即为相遇的时间，由（2）中求得的函数表达式与甲的函数表达式联在一起得到60t=300t-6000，求得t=25；当乙在景点B逗留时，与甲第二次相遇，即60t=3000，求得t=50。
（4）由图象可知，当甲到达景点C时，乙离景点C还有360米，即乙走了5400-3000-360=2040米，一共用了90-60=30分钟，即可求得乙的速度。
23．（2019·上海模拟）如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF．求证：
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）OB2＝OE OF；
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠EAB＝∠BCF，
∴∠EAB＝∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∵AB∥CD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴OB2＝OE OF.
【知识点】平行四边形的判定；平行线分线段成比例；平行四边形的定义及其特殊类型
【解析】【分析】（1）由平行线的性质，ED∥BC，可知内错角∠EAB=∠ABC，再由∠EAB=∠BCF，得到∠ABC=∠BCF，再由平行线的判定可得AB∥DF，由平行四边形的定义即可判定四边形ABCD为平行四边形。
（2）由平行线分线段成比例，CB∥AD得到，AB∥CD得到，整理即可证得OB2=OE·OF.
24．（2019九上·徐闻期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得： ，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得： ，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1
（2）解：过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝ AQ PF＝﹣ x2﹣ x+3＝﹣ （x+ ）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当x＝﹣ 时，△APC的面积取最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（﹣ ， ）
（3）解：当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝ ＝3 ，AN＝ ＝ ，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3 + ．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3 + ．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意，将点A和点B的坐标代入抛物线中，即可求得b和c的值，得到抛物线的解析式；设AC的直线解析式为y=mx+n，将点A和点C的坐标代入即可求得直线AC的直线解析式。
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，分别设出点P和点E的坐标，根据抛物线和直线的解析式，将两个点的坐标表示出三角形的面积公式，即可根据一元二次方程的顶点式，得到点P的坐标。
（3）令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，把抛物线的一般解析式化为顶点式，得出对称轴，再结合C、N的坐标得出关于对称轴对称，所以MN＝CM，即AM+MN=AC，△ANM周长取得最小值。最后根据两点间的距离公式求得AC、AN的值，即可得到△ANM 周长的最小值。
25．（2019·上海模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE．
（2）若DE＝ ，AB＝6，求AE的长．
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的 ，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，BD＝CD，
∴ ＝ ，
∴OD⊥BE；
（2）解：∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝2 ，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4.
（3）解：∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∵△OBF∽△ABE，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∵ ＝ ，
∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，
∵△CDE∽△CAB，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∴ ＝ ，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴ ＝ ，
即AC＝ BC．
【知识点】圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角是直角，得到∠AEB=∠ADB=90°；再由AB=AC，根据等腰三角形的三线合一，可知BD=CD，再由同圆中所对的弧相等可知弧BD等于弧ED，即可证得OD⊥BE；
（2）由（1）中可知弦DE=弦BD，由CD=BD，可知BC=2；再由圆内接四边形性质可知∠CDE=∠BAC，加∠C公共角，可判定△CDE∽△CAB，根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长，即可求得AE的长。
（3）由（1）结论可知S△CDE=S△BDE，结合已知条件，得到S△BDE=S△OBF；由S△AEB=4S△OBF，可知S△AEB=6S△CDE，进一步可知S△CAB=8S△CDE，由（2）中结论△CDE∽△CAB，根据三角形的面积比等于对应线段比的平方，即可求出CD：CA=1：，再由（1）中的结论即可求出线段BC与AC之间的等量关系AC=BC。
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