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广东省深圳市福田区2020年中考数学二模试卷
一、选择题
1．（2019·广东模拟）2的倒数是（　　）
A． B．-2 C． D．2
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解:2的倒数是.
故答案为：A。
【分析】乘积是1的两个数是互为倒数，据此判断即可.
2．（2020·福田模拟）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看这个几何体，可以看到左、中、右3列，其中左边一列由两个小正方形，中间和右边一列均各有一个小正方形，所以该几何体的俯视图为B。
故答案为：B.
【分析】从上面看得到的视图即为该几何体的俯视图。
3．（2020·福田模拟）一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（　　）
A．42×103 B．4.2×103 C．4.2×104 D．4.24
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：42000=4.2×104.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，表示的方法是写成a×10n（其中1≤∣a∣＜10，n＞0 ）的形式， n的值等于原数中的整数位数减1.
4．（2020·福田模拟）下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D均是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、C、D都错误；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确。
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的特征，结合所给图形即可作出判断。
5．（2020·福田模拟）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4 B．（x+y）2=x2+y2
C． D．x ·x3=x6
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的加减法；完全平方式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：因为x2+x2=2x2，故A错误；
B：因为（x+y）2=x2+2xy+y2，故B错误；
C：因为，故C正确；
D：因为x2·x3=x2+3=x5，故D错误。
故答案为：C.
【分析】分别利用合并同类项法则、完全平方公式、二次根式的减法法则以及同底数幂的乘法法则一一计算出结果，即可作出判断。
6．（2020·福田模拟）某市疾控中心在对10名传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中，不正确的是（） ）
A．众数是5天 B．中位数是7.5天
C．平均数是7.9天 D．标准差是2.5天
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；标准差
【解析】【解答】解：A：在这组数据中，5（天）出现了3次，是出现次数最多的，所以众数是5天，故A正确；
B：这组数据中，第5个和第6个数分别是7和8，它们的平均数是7.5，所以这组数据的中位数是7.5天，故B正确；
C：这组数据的平均数=，故C正确；
D：这组数据标准差=≈2.62（天），故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用众数、中位数的定义以及平均数、标准差的计算公式一一求解即可作出判断。
7．（2020·福田模拟）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，若∠1=125°，∠2=50°，则∠3为（　　）
A．55° B．65° C．70° D．75°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠4=∠2=50°
又∵∠MAC=∠1=125°
∴∠4+∠3=125°
∴∠3=125°-∠4=75°.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质以及对顶角相等的性质求解即可。
8．（2020·福田模拟）下列选项中的尺规作图（各图中的点P，都在△ABC的边长），能推出PA=PC的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】A：由作图可知，AC=PC，故A错误；
B：由作图可知，AB=PB，故B错误；
C：由作图可知，射线BP是∠ABC的平分线，所以不一定能得到PA=PC，故C错误；
D.由作图可知，点P在线段AC的垂直平分线上，所以PA=PC，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用作图方法一一作出判断即可。
9．（2020·福田模拟）阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax2+bx（a≠0），我们把点（ ， ）称为该抛物线的焦点，把y= 称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x2+2x的焦点为（-1， ），准线方程是y= 。根据材料，现已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的焦点的纵坐标为3，准线方程y=5，则关于二次函数y=ax2+bx的最值情况，下列说法正确的是（　　）
A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为3.5 D．最小值为3.5
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：
解得 a=-
∵a=-＜0
∴二次函数y=ax2+bx有最大值为y=
∵=3，=5
∴=8
整理得
∴二次函数y=ax2+bx的最大值为4.
故答案为：A.
【分析】先利用焦点纵坐标和准线方程列出方程组，求出a的取值范围，进而判断出二次函数有最大值并计算出最大值；然后求出=8，整理得 ，即可得解。
10．（2020·福田模拟）如图，是函数y=ax2+bx+c的图象，则函数y=ax+c和y= 在同一直角坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下得a＜0；
由抛物线的对称轴位于y轴的右侧，所以x=-，∴b＞0
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴可得c＜0；
由抛物线与轴有两个交点，则b2-4ac＞0；
∵a＜0，c＜0，∴直线y=ax+c经过第二、三、四象限，故排除C、；
∵b2-4ac＞0，∴双曲线y=在第一、三象限，故排除B。
故答案为：A.
【分析】先利用函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点位置以及抛物线与x轴的交点个数判断出a、b、c和b2-4ac的符号，据此判断出直线与双曲线所经过的象限，即可作出判断。
11．（2020·福田模拟）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA=37°，AC=28米，∠BAC=45°，则这棵树的高AB约为（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ， ≈1.4）（　　）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。
在Rt△ABD中，∠BAC=45°，∴BD=AD=x米
在Rt△CBD中，，即
解得x=12
∴AB=x≈1.4×12=16.8≈17（米）
∴这棵树的高AB约为17米。
故答案为：C.
【分析】作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。先在Rt△ABD中，由∠BAC=45°，得BD=AD=x米
在Rt△CBD中，利用三角函数的定义列出方程并求出的值，然后利用勾股定理即可求出AB。
12．（2020·福田模拟）如图，正方形ABCD中， 点E是BC延长线上一点， 在AB上取一点F， 使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM。则下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③GD= CM；④若AG=1，GD=2，则BM= 。其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，分别过点B、G作BK⊥GE于K，GI⊥EB于I，则∠BKH=90°。
图1
∵点B与点G关于直线EF对称
∴EB=EG
∴S△BEG=
∴GI=BK
∵四边形ABCD是正方形，GI⊥EB
∴AB=BC=GI，∠BCD=90°
又∵BH=BH
∴Rt△BKH≌Rt△BCH（HL）
∴∠1=∠2，故①正确；
如图2，过点M分别作ML⊥EB于L，MJ⊥CD于J，MN⊥EG于N.
图2
∵点B与点G关于直线EF对称
∴∠GEF=∠BEF
∴ML=MJ
同理 MJ=MN
∴ML=MJ
∴四边形MLCJ是正方形
∴∠4=45°
在图1中，易证△ABG≌△KBG,△KBH≌△CBH
∴∠ABG=∠KBG=∠ABK，∠KBH=∠CNH=∠KBC
∴∠3=∠KBG+KBH=45°
∴∠GBH=∠4，故②正确；
如图3,连接GM，DM，延长LM交AD于W，则MW⊥DG。
图3
∵CB=CD，∠4=∠MCD，CM=CM
∴△MCB≌△MCD(SAS）
∴BM=DM
∵点B与点G关于直线EF对称
∴BM=MG
∴MG=MD，∠BMG=90°
∵MW⊥DG
∴WG=WD
即DG=2WG
∵∠BLM=∠MWG=∠BMG=90°
∴∠BML+∠GMW=90°
∠GMW+∠MGW=90°
∴∠BML=∠MGW
又∵MB=MG
∴△BLM≌△MWG(AAS)
∴ML=WG
∵ML=CM，DG=2WG
∴DG=CM,故③正确；
∵AG=1，GD=2
∴BC=AD=3
∴ML=CL=GW=GD=1
∴BL=2
在Rt△BLM中，由勾股定理得 BM=，故④正确。
故答案为：A.
【分析】如图1，过点B作BK⊥GH于K.利用轴对称的性质和等面积法证得GI=BK=BC，然后易证Rt△BKH≌Rt△BCH（HL），则有∠1=∠2；
如图2，分别作ML⊥EB，MJ⊥CD，MN⊥EG.然后分别求出∠GBH与∠4的度数即可作出判断；
如图3，连接GM，DM，延长LM交AD于W，则MW⊥DG。首先证明MG=MD,再证明△BLM≌△MWG(AAS),推出
ML=WG可得结论；
如图3，由AG、GD的长求出正方形的边长，然后求出BL=2,ML=1,利用勾股定理计算出BM即可作出判断。
二、填空题
13．（2020·福田模拟）因式分解：4a3-16a=　 　。
【答案】4a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=4a（a2-4）=4a（a+2）（a-2）。
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式因式分解即可。
14．（2020·福田模拟）袋中装有6个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回，经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在0.75附近，则袋中白球约有　 　个。
【答案】2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设白球有x个。根据题意得
解得 x=2
∴袋中白球约有2个。
【分析】白球有x个，利用黑球的个数与黑球和白球的总个数的比即为摸到黑球的概率列出方程求解即可得解。
15．（2020·福田模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E，若OE=2，AB=8，则CD=　 　。
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC.
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°
即∠OCA+∠DCE=90°
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC+∠DCE=90°
∵DO垂直平分AB，AB=8
∴∠DOA=90°，OA=OB=AB=4
∴OC=OA=4，∠OAC+∠AEO=90°
∴∠DCE=∠AEO
又∵∠AEO=∠DEC
∴∠DEC=∠DCE
∴∠AEO=∠DCE
∴CD=DE
∵OE=2
∴OD=OE+DE=2+CD
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2
即42+CD2=(2+CD)2
解得 CD=3
故答案为3.
【分析】连接OC，利用切线的性质以及余角性质、对顶角性质证得∠AEO=∠DCE，进而利用等边对等角证得CD=DE，则OD=OE+DE=2+CD，然后在在Rt△OCD中，利用勾股定理列出方程求出CD的值即可。
16．（2020·福田模拟）如图，函数y=x（x≥0）的图象与反比例函数y= 的图象交于点A，若点A绕点B台（ ，0）。顺时针旋转90°后，得到的点A'仍在y= 的图象上，则点A的坐标为　 　 。
【答案】（2 ，2 ）
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为(a，a），过A作AC⊥x轴于C，过A'作A'D⊥x轴于D，则∠ACB=∠A'DB=90°
，AC=OC=a。
∵B（，0）
∴BC=-a
∵点A绕点B(，0)顺时针旋转90°后得到的点A'
∴∠ABA'=90°，AB=A'B
∴∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠A'BD=90°
∴∠CAB=∠ABD
∴△ACB≌△BDA'(AAS)
∴BD=AC=a，A'D=BC=-a，OD=+a
∴A（+a，-a）
又∵点A，A'在y=的图象上
∴a2=（+a）（-a）=k
解得:a=2
点A的坐标为(2，2）。
故答案为:(2，2）。
【分析】设点A的坐标为(a，a），过A作AC⊥x轴于C，过A'作A'D⊥x轴于D，则得∠ACB=∠A'DB=90°
，AC=OC=a，BC=-a；然后利用旋转的性质证得△ACB≌△BDA'(AAS)，利用全等三角形对应边相等的性质得BD=AC=a，A'D=BC=-a，OD=+a，故可表示出点A坐标为（+a，-a），然后利用反比例函数图象上的点的特征列出方程并解出a，即可得到结论。
三、解答题：
17．（2020·福田模拟）计算：（π-2）0-2cos30°- +|1- |
【答案】解：（n-2）°-2cos 30°- +|1- |
=1-2× -4+（ -1）
=-4
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用实数混合运算的法则和运算顺序计算即可。
18．（2020·吉林模拟）先化简，再求值： ，其中x= +1。
【答案】解：原式=
=
= (3分)
当x= +1时，
原式= =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式利用分式混合运算的法则和运算顺序化简，然后代入求值即可。
19．（2020·福田模拟）某校组织学校开展了“2020新冠疫情”相关的手抄报竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：（1）A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如何预防新型冠状病毒”4个中任选一个；（2）E类为自拟其它与疫情相关的主题。评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两副尚不完整的统计图。
请根据以上信息回答：
（1）本次抽样调查的学生总人数是　 　，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是　 　，x=　 　，y-z=　 　；
（3）本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是　 　类。（填字母）
【答案】（1）120 补全条形统计图如下：
（2）72°；30；5
（3）B
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）利用A组的人数除以其所占的百分比即为被调查的总人数；先计算出“C”的人数，利用总人数减去另外4个小组的人数即可得E组人数，据此补全条形统计图即可；
（2）用360°乘C组的百分比即可得“C”对应的扇形圆心角的度数；用“B”的人数除以被调查的总人数得出“B”所占的百分比，即可得x的值；分别计算出“D”与“E”的百分比，即可得y、z的值，进而可求y-z；
（3）“B”人数最多，故填B。
20．（2020·福田模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，以点D为圆心，AC为半径画弧交BA的延长线于点E，连接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分线于点F，连接CF。
（1）求证：△BCD≌△AFE；
（2）若AC=6，∠BAC=30°，求四边形CDEF的面积S四边形CDEF。
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∵∠EAC=∠B+∠ACB，
∴∠EAC=2∠B
∵∠1=∠2，
∴∠EAC=2∠1，
∴∠B=∠1
∵EF∥CD，
∴∠BDC=∠AEF
∵AB=AC=DE，
∴BD=AE
∴△BCD≌△AFE
（2）解：作AH⊥CF，垂足为F。
∵△BCD≌△AFE，
∴CD=EF，
又∵EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形
∴CF=AB=AC=6，CF∥AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠3=30°，
∴AH= AC=3
∴S四边形CDEF=CF·AH=6×3=18
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）利用三角形外角性质以及平行线的性质可得∠B=∠1，∠BDC=∠AEF，根据ASA可判定△BCD≌△AFE；
（2）作AH⊥CF，由△BCD≌△AFE可得CD=EF，易证四边形CDEF是平行四边形，即可得出CF=AB=AC=6，且CF∥AB，再利用直角三角形30°角的性质得AH=AC=3，即可利用平行四边形的面积公式求解。
21．（2020·福田模拟）因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和1只KN95口罩共113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元。问：
（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？
（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由。
【答案】（1）解：设一只医用一次性口罩的售价是x元，一只KN95口罩的售价是y元。根据题意，
得
解这个方程，得
答：一只医用一次性口罩的售价是3元，一只KN95口罩的售价是11元
（2）解：设医用一次性口罩的购买量为a只，则KN95口罩的购买量为（1000-a）只，所需总费用为w元。
则，a≤2（1000-a）
解得，a≤666
又，w=3a+11（1000-a）=-8a+11000
∵-8<0，∴w随a的增大而减小
∵a是整数，∴a的最大值应取666。
∴当a=666时，W最小值=5672，此时，1000-a=334
∴最省钱的购买方案是：购买医用一次性口罩666只，购买KN95口罩334只
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元,根据“购买1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；购买3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元”列出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论；
（2）设设医用一次性口罩的购买量为a只，则KN95口罩的购买量为（1000-a）只，所需总费用为w元。利用医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范围；然后根据总价=单价×数量,即可得出w关于a的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题。
22．（2020·福田模拟）如图，⊙O直径AB=10，弦BC=2 ，点P是⊙O上的一动点（不与A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA、PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D。
（1）求tan∠BPC的值；
（2）随着点P的运动， 的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；
（3）在点P运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出来。
【答案】（1）解：连接AC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=2 ，
∴AC=
∴tan∠BPC=tan∠BAC=
（2）解： 的值不会发生变化。理由如下
∵∠PCD=∠ACB=90°，
∴∠1+∠PCB=∠2+∠PCB，
∴∠1=∠2
∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，
∴∠3=∠PAC．
∴△CBD∽△CAP，
∴
在Rt△PCD中， =tan∠BPC=
∴
（3）AP+2BP的最大值是10
解法一：由（2）知，BD= AP，
∴AP+2BP=2（ AP+BP）=2（BD+BP）=2PD=
由tan∠BPC= ，得，cos∠BPC=
∴AP+2BP= PC≤ AB=10
∴AP+2BP的最大值是10
解法二：设AP=x，AP+2PB=y，则，
易得，y=x+2
∴（y-x） =4（100-x ），
∴5x -2y·x+（y -400）=0，
∵这个关于x的一元二次方程有实根，
∴△=4y -20（y -400）≥0，
∴y2≤500，∵y>0，
∴y≤10 ，
∴AP+2BP的最大值是10
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理可得∠ACB=90°，且∠BPC=∠BAC，故tan∠BPC=tan∠BAC；然后
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，求出tan∠BAC即可为tan∠BPC；
（2）利用余角性质和圆内接四边形的性质易证∠1=∠2，∠3=∠PAC，故可得△CBD∽△CAP，利用相似三角形的对应边成比例可得，然后在Rt△PCD中，利用tan∠BPC的值求出，即可得 =，故不会变化。
（3）由（2）知，2BD=AP，则可得AP+2BP=2（BD+BP）=2PD=，然后由tan∠BPC的值得出cos∠BPC的值，即可求解。
23．（2020·福田模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，过点C、D（-3，0）的直线与抛物线的另一交点为点E。
（1）请你直接写出：
①抛物线的表达式　 　，②直线CD的表达式　 　，③点E的坐标（　 　，　 　）；
（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC、PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE=45°，请你求出此时点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH上x轴于点H，连接QA、QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Ｑ的坐标。
【答案】（1）y=x -4x+3；y=x+3；5；8
（2）解：解法一：如下图，作EF⊥x轴于F，
由C（0，3），D（-3，0），E（5，8），
可得，OC=OD=3，EF=8，
∴∠PDE=45°，且，
CD=3 ，ED=8 ，EC=5
当∠CPE=45°时，
∵∠PDE=∠CPE=45°，∠CEP是公共角，
∴△ECP∽△EPD，----1分（累计4分）
∴
∴EP2=EC·ED=5 ·8 =80，--1分（累计5分）
在Rt△EFP中，FP= = =4，
把点F（5，0）向右或向左平移4个单位长即得到点P，
∴P1（1，0），P2（9，0）为所求----1分（累计6分）
解法二：如下图，作EF⊥x轴于F，在x轴上取点G（13，0），连接EG，设点P的坐标为（x，0），则，FG=EF=8，∴∠FGE=45°，由∠CPE=∠FGE=45°，
可得，∠CPD=∠GEP，
又∠CDP=∠PGE=45°，
∴△CDP∽△PGE，
∴
∴PG·DP=CD·GE，
易得，CD=3 ，PG=13-x，DP=x+3，GE=8 ，
∴（13-x）（x+3）=3 ×8 ，
解得，x1=1，x2=9
∴P1（1，0），P2（9，0）为所求
解法三：如下图，以CE为斜边，在△CEP的内部作等腰Rt△COE，
则OC=0E=5，且O'C∥x轴，
把点C（0，3）向右平移5个单位长，可得，
点Ｏ'的坐标为（5，3）
以Ｏ'为圆心，5为半径作⊙O'，
则，⊙O'与x轴的交点即为所求，
由 O'P=O'C=5，可得，
P1（1，0），P2（9，0）为所求
（3）延长QH到M，使HM=1，连接AM，BM，延长QB交AM于N。
设点Q的坐标为（t，t -4t+3）．显然，点Ｑ只能位于点B右侧的抛物线上。
则，QH=t -4t+3=（t-1）（t-3），
BH=t-3，AH=t-1。
这样， =t-3=
又∵∠QHB=∠AHM=90°，
∴△QHB∽△AHM，
∴∠2=∠1，
易得，QN⊥AM，
∴当BM=AB=2时，QN垂直平分AM，
此时，QB平分∠AQH。
这样，在Rt△BHM中，
可得，BH= ，
于是，t=3+
故，此时点Ｑ的坐标为（3+ ，3+2 ）。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；
②设直线CD的解析式为y=k+b,利用待定系数法即可求解；
③联立二次函数和一次函数的解析式构建方程组求解即可；
(2)如图1，作EF⊥轴于F，由C，D，E的坐标可得OC=OD=3，EF=8，故∠PDE=45°以及CD，ED，EC的长；然后由∠PDE=∠CPE=45°，∠CEP=∠CEP可证△ECP∽△EPD，利用相似的性质可得,据此求出EP，进而在Rt△EFP中，利用勾股定理求出FP，然后利用点的平移规律求出点P的坐标即可；
（3）延长QH到M，使得HM=1,连接AM、BM，延长QB交AM于N.证明△QHB∽△AHM可得∠BQH=∠HAM，推出∠ANB=90°,即QN⊥AM，推出当BM=AB=2时,QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，利用勾股定理求出BH即可。
1 / 1广东省深圳市福田区2020年中考数学二模试卷
一、选择题
1．（2019·广东模拟）2的倒数是（　　）
A． B．-2 C． D．2
2．（2020·福田模拟）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2020·福田模拟）一方有难，八方支援！据报道，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情在湖北肆虐期间，先后约有42000名来自外省的医护人员勇敢逆行、驰援湖北．将“42000”用科学记数法表示正确的是（　　）
A．42×103 B．4.2×103 C．4.2×104 D．4.24
4．（2020·福田模拟）下列图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2020·福田模拟）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4 B．（x+y）2=x2+y2
C． D．x ·x3=x6
6．（2020·福田模拟）某市疾控中心在对10名传染病确诊病人的流行病史的调查中发现，这10人的潜伏期分别为：5，5，5，7，7，8，8，9，11，14（单位：天），则下列关于这组潜伏期数据的说法中，不正确的是（） ）
A．众数是5天 B．中位数是7.5天
C．平均数是7.9天 D．标准差是2.5天
7．（2020·福田模拟）如图，已知a∥b，点A在直线a上，点B、C在直线b上，若∠1=125°，∠2=50°，则∠3为（　　）
A．55° B．65° C．70° D．75°
8．（2020·福田模拟）下列选项中的尺规作图（各图中的点P，都在△ABC的边长），能推出PA=PC的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2020·福田模拟）阅读材料：坐标平面内，对于抛物线y=ax2+bx（a≠0），我们把点（ ， ）称为该抛物线的焦点，把y= 称为该抛物线的准线方程。例如：抛物线y=x2+2x的焦点为（-1， ），准线方程是y= 。根据材料，现已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）的焦点的纵坐标为3，准线方程y=5，则关于二次函数y=ax2+bx的最值情况，下列说法正确的是（　　）
A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为3.5 D．最小值为3.5
10．（2020·福田模拟）如图，是函数y=ax2+bx+c的图象，则函数y=ax+c和y= 在同一直角坐标系中的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
11．（2020·福田模拟）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA=37°，AC=28米，∠BAC=45°，则这棵树的高AB约为（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ， ≈1.4）（　　）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
12．（2020·福田模拟）如图，正方形ABCD中， 点E是BC延长线上一点， 在AB上取一点F， 使点B关于直线EF的对称点G落在AD上，连接EG交CD于点H，连接BH交EF于点M，连接CM。则下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③GD= CM；④若AG=1，GD=2，则BM= 。其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①② C．③④ D．①②④
二、填空题
13．（2020·福田模拟）因式分解：4a3-16a=　 　。
14．（2020·福田模拟）袋中装有6个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回，经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在0.75附近，则袋中白球约有　 　个。
15．（2020·福田模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作△ABC外接圆⊙O的切线交AB的垂直平分线于点D，AB的垂直平分线交AC于点E，若OE=2，AB=8，则CD=　 　。
16．（2020·福田模拟）如图，函数y=x（x≥0）的图象与反比例函数y= 的图象交于点A，若点A绕点B台（ ，0）。顺时针旋转90°后，得到的点A'仍在y= 的图象上，则点A的坐标为　 　 。
三、解答题：
17．（2020·福田模拟）计算：（π-2）0-2cos30°- +|1- |
18．（2020·吉林模拟）先化简，再求值： ，其中x= +1。
19．（2020·福田模拟）某校组织学校开展了“2020新冠疫情”相关的手抄报竞赛．对于手抄报的主题，组织者提出了两条指导性建议：（1）A类“武汉加油”、B类“最美逆行者”、C类“万众一心抗击疫情”、D类“如何预防新型冠状病毒”4个中任选一个；（2）E类为自拟其它与疫情相关的主题。评奖之余，为了解学生的选题倾向，发掘出最能引发学生触动的主题素材，组织者随机抽取了部分作品进行了统计，并将统计结果绘制成了如下两副尚不完整的统计图。
请根据以上信息回答：
（1）本次抽样调查的学生总人数是　 　，并补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，“C”对应的扇形圆心角的度数是　 　，x=　 　，y-z=　 　；
（3）本次抽样调查中，“学生手抄报选题”最为广泛的是　 　类。（填字母）
20．（2020·福田模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AB上一点，以点D为圆心，AC为半径画弧交BA的延长线于点E，连接CD，作EF∥CD，交∠EAC的平分线于点F，连接CF。
（1）求证：△BCD≌△AFE；
（2）若AC=6，∠BAC=30°，求四边形CDEF的面积S四边形CDEF。
21．（2020·福田模拟）因“抗击疫情”需要，学校决定再次购进一批医用一次性口罩及KN95口罩共1000只，已知1只医用一次性口罩和1只KN95口罩共113元；3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元。问：
（1）一只医用一次性口罩和一只KN95口罩的售价分别是多少元？
（2）参照上次购买获得的需求情况后，校长给出了一条建议：医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，请你遵循校长建议给出最省钱的购买方案，并说明理由。
22．（2020·福田模拟）如图，⊙O直径AB=10，弦BC=2 ，点P是⊙O上的一动点（不与A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA、PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D。
（1）求tan∠BPC的值；
（2）随着点P的运动， 的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；
（3）在点P运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出来。
23．（2020·福田模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，过点C、D（-3，0）的直线与抛物线的另一交点为点E。
（1）请你直接写出：
①抛物线的表达式　 　，②直线CD的表达式　 　，③点E的坐标（　 　，　 　）；
（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC、PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE=45°，请你求出此时点P的坐标；
（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH上x轴于点H，连接QA、QB，当QB平分∠AQH时，请你直接写出此时点Ｑ的坐标。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解:2的倒数是.
故答案为：A。
【分析】乘积是1的两个数是互为倒数，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看这个几何体，可以看到左、中、右3列，其中左边一列由两个小正方形，中间和右边一列均各有一个小正方形，所以该几何体的俯视图为B。
故答案为：B.
【分析】从上面看得到的视图即为该几何体的俯视图。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：42000=4.2×104.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，表示的方法是写成a×10n（其中1≤∣a∣＜10，n＞0 ）的形式， n的值等于原数中的整数位数减1.
4．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、C、D均是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、C、D都错误；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确。
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的特征，结合所给图形即可作出判断。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的加减法；完全平方式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：因为x2+x2=2x2，故A错误；
B：因为（x+y）2=x2+2xy+y2，故B错误；
C：因为，故C正确；
D：因为x2·x3=x2+3=x5，故D错误。
故答案为：C.
【分析】分别利用合并同类项法则、完全平方公式、二次根式的减法法则以及同底数幂的乘法法则一一计算出结果，即可作出判断。
6．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；标准差
【解析】【解答】解：A：在这组数据中，5（天）出现了3次，是出现次数最多的，所以众数是5天，故A正确；
B：这组数据中，第5个和第6个数分别是7和8，它们的平均数是7.5，所以这组数据的中位数是7.5天，故B正确；
C：这组数据的平均数=，故C正确；
D：这组数据标准差=≈2.62（天），故D错误.
故答案为：D.
【分析】利用众数、中位数的定义以及平均数、标准差的计算公式一一求解即可作出判断。
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠4=∠2=50°
又∵∠MAC=∠1=125°
∴∠4+∠3=125°
∴∠3=125°-∠4=75°.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质以及对顶角相等的性质求解即可。
8．【答案】D
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】A：由作图可知，AC=PC，故A错误；
B：由作图可知，AB=PB，故B错误；
C：由作图可知，射线BP是∠ABC的平分线，所以不一定能得到PA=PC，故C错误；
D.由作图可知，点P在线段AC的垂直平分线上，所以PA=PC，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用作图方法一一作出判断即可。
9．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：
解得 a=-
∵a=-＜0
∴二次函数y=ax2+bx有最大值为y=
∵=3，=5
∴=8
整理得
∴二次函数y=ax2+bx的最大值为4.
故答案为：A.
【分析】先利用焦点纵坐标和准线方程列出方程组，求出a的取值范围，进而判断出二次函数有最大值并计算出最大值；然后求出=8，整理得 ，即可得解。
10．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下得a＜0；
由抛物线的对称轴位于y轴的右侧，所以x=-，∴b＞0
由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴可得c＜0；
由抛物线与轴有两个交点，则b2-4ac＞0；
∵a＜0，c＜0，∴直线y=ax+c经过第二、三、四象限，故排除C、；
∵b2-4ac＞0，∴双曲线y=在第一、三象限，故排除B。
故答案为：A.
【分析】先利用函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点位置以及抛物线与x轴的交点个数判断出a、b、c和b2-4ac的符号，据此判断出直线与双曲线所经过的象限，即可作出判断。
11．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。
在Rt△ABD中，∠BAC=45°，∴BD=AD=x米
在Rt△CBD中，，即
解得x=12
∴AB=x≈1.4×12=16.8≈17（米）
∴这棵树的高AB约为17米。
故答案为：C.
【分析】作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。先在Rt△ABD中，由∠BAC=45°，得BD=AD=x米
在Rt△CBD中，利用三角函数的定义列出方程并求出的值，然后利用勾股定理即可求出AB。
12．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，分别过点B、G作BK⊥GE于K，GI⊥EB于I，则∠BKH=90°。
图1
∵点B与点G关于直线EF对称
∴EB=EG
∴S△BEG=
∴GI=BK
∵四边形ABCD是正方形，GI⊥EB
∴AB=BC=GI，∠BCD=90°
又∵BH=BH
∴Rt△BKH≌Rt△BCH（HL）
∴∠1=∠2，故①正确；
如图2，过点M分别作ML⊥EB于L，MJ⊥CD于J，MN⊥EG于N.
图2
∵点B与点G关于直线EF对称
∴∠GEF=∠BEF
∴ML=MJ
同理 MJ=MN
∴ML=MJ
∴四边形MLCJ是正方形
∴∠4=45°
在图1中，易证△ABG≌△KBG,△KBH≌△CBH
∴∠ABG=∠KBG=∠ABK，∠KBH=∠CNH=∠KBC
∴∠3=∠KBG+KBH=45°
∴∠GBH=∠4，故②正确；
如图3,连接GM，DM，延长LM交AD于W，则MW⊥DG。
图3
∵CB=CD，∠4=∠MCD，CM=CM
∴△MCB≌△MCD(SAS）
∴BM=DM
∵点B与点G关于直线EF对称
∴BM=MG
∴MG=MD，∠BMG=90°
∵MW⊥DG
∴WG=WD
即DG=2WG
∵∠BLM=∠MWG=∠BMG=90°
∴∠BML+∠GMW=90°
∠GMW+∠MGW=90°
∴∠BML=∠MGW
又∵MB=MG
∴△BLM≌△MWG(AAS)
∴ML=WG
∵ML=CM，DG=2WG
∴DG=CM,故③正确；
∵AG=1，GD=2
∴BC=AD=3
∴ML=CL=GW=GD=1
∴BL=2
在Rt△BLM中，由勾股定理得 BM=，故④正确。
故答案为：A.
【分析】如图1，过点B作BK⊥GH于K.利用轴对称的性质和等面积法证得GI=BK=BC，然后易证Rt△BKH≌Rt△BCH（HL），则有∠1=∠2；
如图2，分别作ML⊥EB，MJ⊥CD，MN⊥EG.然后分别求出∠GBH与∠4的度数即可作出判断；
如图3，连接GM，DM，延长LM交AD于W，则MW⊥DG。首先证明MG=MD,再证明△BLM≌△MWG(AAS),推出
ML=WG可得结论；
如图3，由AG、GD的长求出正方形的边长，然后求出BL=2,ML=1,利用勾股定理计算出BM即可作出判断。
13．【答案】4a（a+2）（a-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=4a（a2-4）=4a（a+2）（a-2）。
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式因式分解即可。
14．【答案】2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】设白球有x个。根据题意得
解得 x=2
∴袋中白球约有2个。
【分析】白球有x个，利用黑球的个数与黑球和白球的总个数的比即为摸到黑球的概率列出方程求解即可得解。
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC.
∵CD是⊙O的切线
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°
即∠OCA+∠DCE=90°
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC+∠DCE=90°
∵DO垂直平分AB，AB=8
∴∠DOA=90°，OA=OB=AB=4
∴OC=OA=4，∠OAC+∠AEO=90°
∴∠DCE=∠AEO
又∵∠AEO=∠DEC
∴∠DEC=∠DCE
∴∠AEO=∠DCE
∴CD=DE
∵OE=2
∴OD=OE+DE=2+CD
在Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2
即42+CD2=(2+CD)2
解得 CD=3
故答案为3.
【分析】连接OC，利用切线的性质以及余角性质、对顶角性质证得∠AEO=∠DCE，进而利用等边对等角证得CD=DE，则OD=OE+DE=2+CD，然后在在Rt△OCD中，利用勾股定理列出方程求出CD的值即可。
16．【答案】（2 ，2 ）
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为(a，a），过A作AC⊥x轴于C，过A'作A'D⊥x轴于D，则∠ACB=∠A'DB=90°
，AC=OC=a。
∵B（，0）
∴BC=-a
∵点A绕点B(，0)顺时针旋转90°后得到的点A'
∴∠ABA'=90°，AB=A'B
∴∠CAB+∠ABC=∠ABC+∠A'BD=90°
∴∠CAB=∠ABD
∴△ACB≌△BDA'(AAS)
∴BD=AC=a，A'D=BC=-a，OD=+a
∴A（+a，-a）
又∵点A，A'在y=的图象上
∴a2=（+a）（-a）=k
解得:a=2
点A的坐标为(2，2）。
故答案为:(2，2）。
【分析】设点A的坐标为(a，a），过A作AC⊥x轴于C，过A'作A'D⊥x轴于D，则得∠ACB=∠A'DB=90°
，AC=OC=a，BC=-a；然后利用旋转的性质证得△ACB≌△BDA'(AAS)，利用全等三角形对应边相等的性质得BD=AC=a，A'D=BC=-a，OD=+a，故可表示出点A坐标为（+a，-a），然后利用反比例函数图象上的点的特征列出方程并解出a，即可得到结论。
17．【答案】解：（n-2）°-2cos 30°- +|1- |
=1-2× -4+（ -1）
=-4
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】利用实数混合运算的法则和运算顺序计算即可。
18．【答案】解：原式=
=
= (3分)
当x= +1时，
原式= =
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先将原式利用分式混合运算的法则和运算顺序化简，然后代入求值即可。
19．【答案】（1）120 补全条形统计图如下：
（2）72°；30；5
（3）B
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【分析】（1）利用A组的人数除以其所占的百分比即为被调查的总人数；先计算出“C”的人数，利用总人数减去另外4个小组的人数即可得E组人数，据此补全条形统计图即可；
（2）用360°乘C组的百分比即可得“C”对应的扇形圆心角的度数；用“B”的人数除以被调查的总人数得出“B”所占的百分比，即可得x的值；分别计算出“D”与“E”的百分比，即可得y、z的值，进而可求y-z；
（3）“B”人数最多，故填B。
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB
∵∠EAC=∠B+∠ACB，
∴∠EAC=2∠B
∵∠1=∠2，
∴∠EAC=2∠1，
∴∠B=∠1
∵EF∥CD，
∴∠BDC=∠AEF
∵AB=AC=DE，
∴BD=AE
∴△BCD≌△AFE
（2）解：作AH⊥CF，垂足为F。
∵△BCD≌△AFE，
∴CD=EF，
又∵EF∥CD，
∴四边形CDEF是平行四边形
∴CF=AB=AC=6，CF∥AB，
∵∠BAC=30°，
∴∠3=30°，
∴AH= AC=3
∴S四边形CDEF=CF·AH=6×3=18
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）利用三角形外角性质以及平行线的性质可得∠B=∠1，∠BDC=∠AEF，根据ASA可判定△BCD≌△AFE；
（2）作AH⊥CF，由△BCD≌△AFE可得CD=EF，易证四边形CDEF是平行四边形，即可得出CF=AB=AC=6，且CF∥AB，再利用直角三角形30°角的性质得AH=AC=3，即可利用平行四边形的面积公式求解。
21．【答案】（1）解：设一只医用一次性口罩的售价是x元，一只KN95口罩的售价是y元。根据题意，
得
解这个方程，得
答：一只医用一次性口罩的售价是3元，一只KN95口罩的售价是11元
（2）解：设医用一次性口罩的购买量为a只，则KN95口罩的购买量为（1000-a）只，所需总费用为w元。
则，a≤2（1000-a）
解得，a≤666
又，w=3a+11（1000-a）=-8a+11000
∵-8<0，∴w随a的增大而减小
∵a是整数，∴a的最大值应取666。
∴当a=666时，W最小值=5672，此时，1000-a=334
∴最省钱的购买方案是：购买医用一次性口罩666只，购买KN95口罩334只
【知识点】二元一次方程的应用；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）设一只医用一次性口罩的售价为x元，一只KN95口罩的售价为y元,根据“购买1只医用一次性口罩和10只KN95口罩共需113元；购买3只医用一次性口罩和5只KN95口罩共需64元”列出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论；
（2）设设医用一次性口罩的购买量为a只，则KN95口罩的购买量为（1000-a）只，所需总费用为w元。利用医用一次性口罩的购买量不能多于KN95口罩数量的2倍，即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范围；然后根据总价=单价×数量,即可得出w关于a的函数关系式,再利用一次函数的性质即可解决最值问题。
22．【答案】（1）解：连接AC
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，BC=2 ，
∴AC=
∴tan∠BPC=tan∠BAC=
（2）解： 的值不会发生变化。理由如下
∵∠PCD=∠ACB=90°，
∴∠1+∠PCB=∠2+∠PCB，
∴∠1=∠2
∵∠3是圆内接四边形APBC的一个外角，
∴∠3=∠PAC．
∴△CBD∽△CAP，
∴
在Rt△PCD中， =tan∠BPC=
∴
（3）AP+2BP的最大值是10
解法一：由（2）知，BD= AP，
∴AP+2BP=2（ AP+BP）=2（BD+BP）=2PD=
由tan∠BPC= ，得，cos∠BPC=
∴AP+2BP= PC≤ AB=10
∴AP+2BP的最大值是10
解法二：设AP=x，AP+2PB=y，则，
易得，y=x+2
∴（y-x） =4（100-x ），
∴5x -2y·x+（y -400）=0，
∵这个关于x的一元二次方程有实根，
∴△=4y -20（y -400）≥0，
∴y2≤500，∵y>0，
∴y≤10 ，
∴AP+2BP的最大值是10
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）连接AC，利用圆周角定理可得∠ACB=90°，且∠BPC=∠BAC，故tan∠BPC=tan∠BAC；然后
在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，求出tan∠BAC即可为tan∠BPC；
（2）利用余角性质和圆内接四边形的性质易证∠1=∠2，∠3=∠PAC，故可得△CBD∽△CAP，利用相似三角形的对应边成比例可得，然后在Rt△PCD中，利用tan∠BPC的值求出，即可得 =，故不会变化。
（3）由（2）知，2BD=AP，则可得AP+2BP=2（BD+BP）=2PD=，然后由tan∠BPC的值得出cos∠BPC的值，即可求解。
23．【答案】（1）y=x -4x+3；y=x+3；5；8
（2）解：解法一：如下图，作EF⊥x轴于F，
由C（0，3），D（-3，0），E（5，8），
可得，OC=OD=3，EF=8，
∴∠PDE=45°，且，
CD=3 ，ED=8 ，EC=5
当∠CPE=45°时，
∵∠PDE=∠CPE=45°，∠CEP是公共角，
∴△ECP∽△EPD，----1分（累计4分）
∴
∴EP2=EC·ED=5 ·8 =80，--1分（累计5分）
在Rt△EFP中，FP= = =4，
把点F（5，0）向右或向左平移4个单位长即得到点P，
∴P1（1，0），P2（9，0）为所求----1分（累计6分）
解法二：如下图，作EF⊥x轴于F，在x轴上取点G（13，0），连接EG，设点P的坐标为（x，0），则，FG=EF=8，∴∠FGE=45°，由∠CPE=∠FGE=45°，
可得，∠CPD=∠GEP，
又∠CDP=∠PGE=45°，
∴△CDP∽△PGE，
∴
∴PG·DP=CD·GE，
易得，CD=3 ，PG=13-x，DP=x+3，GE=8 ，
∴（13-x）（x+3）=3 ×8 ，
解得，x1=1，x2=9
∴P1（1，0），P2（9，0）为所求
解法三：如下图，以CE为斜边，在△CEP的内部作等腰Rt△COE，
则OC=0E=5，且O'C∥x轴，
把点C（0，3）向右平移5个单位长，可得，
点Ｏ'的坐标为（5，3）
以Ｏ'为圆心，5为半径作⊙O'，
则，⊙O'与x轴的交点即为所求，
由 O'P=O'C=5，可得，
P1（1，0），P2（9，0）为所求
（3）延长QH到M，使HM=1，连接AM，BM，延长QB交AM于N。
设点Q的坐标为（t，t -4t+3）．显然，点Ｑ只能位于点B右侧的抛物线上。
则，QH=t -4t+3=（t-1）（t-3），
BH=t-3，AH=t-1。
这样， =t-3=
又∵∠QHB=∠AHM=90°，
∴△QHB∽△AHM，
∴∠2=∠1，
易得，QN⊥AM，
∴当BM=AB=2时，QN垂直平分AM，
此时，QB平分∠AQH。
这样，在Rt△BHM中，
可得，BH= ，
于是，t=3+
故，此时点Ｑ的坐标为（3+ ，3+2 ）。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；
②设直线CD的解析式为y=k+b,利用待定系数法即可求解；
③联立二次函数和一次函数的解析式构建方程组求解即可；
(2)如图1，作EF⊥轴于F，由C，D，E的坐标可得OC=OD=3，EF=8，故∠PDE=45°以及CD，ED，EC的长；然后由∠PDE=∠CPE=45°，∠CEP=∠CEP可证△ECP∽△EPD，利用相似的性质可得,据此求出EP，进而在Rt△EFP中，利用勾股定理求出FP，然后利用点的平移规律求出点P的坐标即可；
（3）延长QH到M，使得HM=1,连接AM、BM，延长QB交AM于N.证明△QHB∽△AHM可得∠BQH=∠HAM，推出∠ANB=90°,即QN⊥AM，推出当BM=AB=2时,QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，利用勾股定理求出BH即可。
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