资源简介

(共33张PPT)
第二单元　方程(组)与不等式(组)
考点一　一元二次方程及其解法
1.一元二次方程的一般形式:
图7-1
【温馨提示】一元二次方程必须具备的三个条件
(1)必须是整式方程;
(2)方程中只含有1个未知数;
(3)未知数的最高次数是2.
2.一元二次方程的解法
(续表)
考点二　一元二次方程根的判别式
1.根的判别式
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,用于判定方程根的情况.
2.判别式与根的关系
(1)b2-4ac>0?方程有④　　　　 的实数根;
(2)b2-4ac=0?方程有⑤　　　　 的实数根;?
(3)b2-4ac<0?方程⑥　　　　实数根.?
两个不相等
两个相等
没有
【温馨提示】
(1)求判别式时,应先将一元二次方程化为一般形式.
(2)应用判别式时,若二次项系数含有字母,则需注意二次项系数不为0这个限制条件,必要时需分类讨论.
考点三　一元二次方程根与系数的关系*
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,则
x1+x2=⑦　　　　,x1x2=⑧　　　　.?
考点四　一元二次方程的实际应用
应用类型 等量关系
增长率
问题 (1)增长率=增量÷基础量;
(2)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率时,有a(1-m)n=b
销售
利润
问题 (1)纯利润=售出价-进货价-其他费用;
(2)利润率=利润÷进货价×100%;
(3)总利润=(售价-成本)×数量
(续表)
(a-2x)(b-2x)
(a-x)(b-x)
考向一　一元二次方程及其解法
例1 用指定方法解方程x2-12x+27=0.
(1)公式法:
(2)配方法:
(3)因式分解法:
例1 用指定方法解方程x2-12x+27=0.
(1)公式法:
(2)配方法:
(3)因式分解法:
(2)配方法:
原方程为x2-12x+27=0,x2-12x=-27,x2-12x+62=-27+62,(x-6)2=9,x-6=±3,
x1=3,x2=9.
(3)因式分解法:
原方程为x2-12x+27=0,
(x-3)(x-9)=0.
∴x-3=0或x-9=0.∴x1=3,x2=9.
【方法点析】解一元二次方程满分攻略
解一元二次方程要根据方程的特点选取方法,考虑选用的先后顺序为:直接开平方法,因式分解法,公式法,配方法.形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程可用直接开平方法;若一元二次方程的一边是0,而另一边又能分解成两个一次因式的积,则用因式分解法;当二次项系数为1,且一次项系数为偶数时,可用配方法.
| 考向精练 |
1.[2019·扬州]一元二次方程x(x-2)=x-2的根是x=　　　　.?
1或2
2.[2019·齐齐哈尔]解方程:x2+6x=-7.
考向二　一元二次方程根的判别式
例2 已知关于x的方程(a-5)x2-4x-1=0,若有两个不相等的实数根,则a满足
　　　　　　;若有两个实数根,则a满足　　　　　　;若有实数根,则a满足　　　　.?
a>1且a≠5
a≥1且a≠5
a≥1
【方法点析】
(1)判别一元二次方程有无实数根,就是计算判别式b2-4ac的值,看它是否大于或等于0.注意,在计算前应先将方程化为一般形式.
(2)注意一元二次方程的二次项系数不为零这个隐含条件.
| 考向精练 |
1.[2019·包头样题二]若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则k的取值范围是 (　　)
A.k>-1
B.k≥-1
C.k>-1且k≠0
D.k≥-1且k≠0
D
2.[2019·包头]已知等腰三角形的三边长分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2=0的两根,则m的值是 (　　)
A.34 B.30
C.30或34 D.30或36
[答案] A　
[解析]∵等腰三角形的三边长分别为a,b,4,∴a=b或a,b中有一数为4.
当a=b时,有(-12)2-4×(m+2)=0,解得m=34,此时a=b=6,可构成等腰三角形;
当a,b中有一数为4时,有42-12×4+m+2=0,解得m=30.此时原方程为x2-12x+32=0,解得x1=4,x2=8,即a,b分别为4,8.∵4+4=8,∴m=30不合题意,舍去.故选A.
[答案] -1


3.若关于x的一元二次方程kx2-4x-3=0有两个不相等的实数根,则负整数k的值为
　　　　.?
解:∵x2-2x+2m-1=0有实数根,
∴Δ≥0,
即(-2)2-4(2m-1)≥0,∴m≤1.
∵m为正整数,∴m=1,
故此时方程为x2-2x+1=0,
即(x-1)2=0,
∴x1=x2=1,
∴m=1,此时方程的根为x1=x2=1.
4.[2019·北京]关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根,且m为正整数,求m的值及此时方程的根.
考向三　一元二次方程根与系数的关系
例3 已知方程x2+2018x-3=0的两根分别为α和β,则代数式α2+αβ+2018α的值为(　　)
A.1 B.0
C.2018 D.-2018
[答案] B
[解析]依题意得:αβ=-3,α+β=-2018,
α2+2018α-3=0,
所以α2+αβ+2018α=α(α+β)+2018α=
-2018α+2018α=0.
例4[2019·巴中]已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)设x1,x2是方程的两根且 x12+x22+x1x2-17=0,求m的值.
| 考向精练 |
1.[2019·盐城]设x1,x2是方程x2-3x+2=0的两个根,则x1+x2-x1·x2=　　　　.?
1
2.[2019·威海]已知a,b是方程x2+x-3=0的两个实数根,则a2-b+2019的值是 (　　)
A.2023 B.2021
C.2020 D.2019
[答案] A　
[解析]根据一元二次方程的解的定义,得a2+a-3=0,所以a2=-a+3,再利用根与系数的关系,得a+b=-1,然后利用整体代入方法计算.原式=
-a+3-b+2019=-(a+b)+3+2019=-(-1)
+3+2019=2023,故选A.
3.[2019·潍坊]关于x的一元二次方程x2+2mx
+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为 (　　)
A.-2 B.3
C.3或-2 D.3或2
[答案] A　
[解析]由题意可得:=(x1+x2)2-2x1x2=
12,因为x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,所以
(-2m)2-2(m2+m)=12,解得m1=3,m2=-2.
当m=3时Δ=62-4×1×12<0,所以m=3应舍去;当m=-2时Δ=(-4)2-4×1×2>0,符合题意.所以m=-2.
考向四　一元二次方程的应用
例5 [2019·天水]中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益,沿线某地区居民2016年人均年收入20000元,到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民人均年收入平均增长率为　　　　.(用百分数表示)?
[答案] 40%　
[解析]设该地区居民人均年收入平均增长率为x,则20000(1+x)2=39200,
解得x1=0.4,x2=-2.4(舍去),∴该地区居民人均年收入平均增长率为40%.
例6[2019·东营]为加快新旧动能转换,提高公司经济效益,某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销,使生产的电子产品能够及时售出,根据市场调查:这种电子产品销售单价定为200元时,每天可售出300个;若销售单价每降低1元, 则每天可多售出5个.已知每个电子产品的固定成本为100元,问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时,公司每天可获利32000元?
解:设降价后的销售单价为x元,根据题意得:
(x-100)[300+5(200-x)]=32000.
整理得:(x-100)(1300-5x)=32000,
即x2-360x+32400=0,
解得x1=x2=180,
x=180<200,符合题意.
答:这种电子产品降价后的销售单价为180元时,公司每天可获利32000元.
| 考向精练 |
1.[2019·山西]如图7-2,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77 m2,设道路的宽为x m,则根据题意,可列方程为　　　　　　　.?
图7-2
(12-x)(8-x)=77
2.[2019·德州]习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
解:(1)设进馆人次的月平均增长率为x,根据题意,得:128+128(1+x)+128(1+x)2=608,
解得x1=0.5,x2=-3.5(舍去).
答:进馆人次的月平均增长率为50%.
2.[2019·德州]习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计,第一个月进馆128人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608人次,若进馆人次的月平均增长率相同.
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过500人次,在进馆人次的月平均增长率不变的条件下,校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
(2)第四个月进馆人次为128×(1+0.5)3=432(人次),
∵432<500,
∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次.
　第7课时　一元二次方程及其应用　
|夯实基础|
1.[2019·山西]一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为 (　　)
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5
C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5
2.[2019·河南]一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
3.[2019·自贡]关于x的一元二次方程x2-2x+m=0无实数根,则实数m的取值范围是 (　　)
A.m<1 B.m≥1
C.m≤1 D.m>1
4.[2019·遂宁]已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为0,则a的值为 (　　)
A.0 B.±1
C.1 D.-1
5.[2019·衡阳]国家实施“精准扶贫”政策以来,很多贫困人口走向了致富的道路,某地区2016年底有贫困人口9万人,通过社会各界的努力,2018年底贫困人口减少至1万人.设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x,根据题意列方程得 (　　)
A.9(1-2x)=1 B.9(1-x)2=1
C.9(1+2x)=1 D.9(1+x)2=1
6.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-4x+3=0的根,则该三角形的周长是 (　　)
A.5 B.7
C.5或7 D.10
7.[2019·包头样题一]若x是方程x2+x-6=0的根,则÷1-的值为 (　　)
A.或-1 B. C.或1 D.
8.[2019·新疆]若关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是(　　)
A.k≤ B.k>
C.k<且k≠1 D.k≤且k≠1
9.[2019·聊城]若关于x的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6有实数根,则k的取值范围为 (　　)
A.k≥0 B.k≥0且k≠2
C.k≥ D.k≥且k≠2
10.[2019·新疆]在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可列方程为 (　　)
A.x(x-1)=36 B.x(x+1)=36
C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36
11.[2019·包头一模]若2是关于x的方程x2-(m-1)x+m+2=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长,则△ABC的周长为 (　　)
A.7或10 B.9或12
C.12 D.9
12.[2017·呼和浩特] 关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x+a-1=0的两个实数根互为相反数,则a的值为 (　　)
A.2 B.0
C.1 D.2或0
13.[2019·鄂州]关于x的一元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5,则m的值为 (　　)
A. B. C. D.0
14.[2019·陇南]关于x的一元二次方程x2+x+1=0有两个相等的实数根,则m的取值为　　　　.?
15.[2019·包头样题二]方程3x2-5x+2=0的一个根是a,则-6a2+10a+2015=　　　　.?
16.[2019·济宁]已知x=1是方程x2+bx-2=0的一个根,则方程的另一个根是　　　　.?
17.[2019·南京]已知2+是关于x的方程x2-4x+m=0的一个根,则m=　　　　.?
18.[2019·眉山]设a,b是方程x2+x-2019=0的两个实数根,则(a-1)(b-1)的值为　　　　.?
19.解方程:
(1)2y2=y;



(2)-3x2+22x-24=0;





(3)(x+8)(x+1)=-12;





(4)16x2=(2x-3)2.





20.[2019·衡阳]关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0与方程x2-3x+k=0有一个相同的根,求此时m的值.









21.[2019·孝感]已知关于x的一元二次方程x2-2(a-1)x+a2-a-2=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)若a为正整数,求a的值;
(2)若x1,x2满足-x1x2=16,求a的值.








22.[2019·襄阳]改善小区环境,争创文明家园.如图7-3所示,某社区决定在一块长(AD)16 m,宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路,其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.要使草坪部分的总面积为112 m2,则小路的宽应为多少?

图7-3













23.[2018·盐城] 一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售量,增加盈利,该店采取了降价措施.在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降价3元,则平均每天的销售数量为　　　　件;?
(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天的销售利润为1200元?






|拓展提升|
24.[2019·烟台]当b+c=5时,关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为 (　　)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
25.[2019·淄博]若x1+x2=3,=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是 (　　)
A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0
C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0
26.[2018·包头] 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m-2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为 (　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
27.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的长,求这个三角形的周长.





【参考答案】
1.D　2.A　3.D　4.D　5.B　6.B　7.B
8.D　[解析]∵关于x的一元二次方程(k-1)x2+x+1=0有两个实数根,
∴Δ≥0,即12-4×(k-1)×1≥0,解得k≤.
又∵k-1≠0,∴k≠1.
∴k的取值范围为k≤且k≠1.
9.D　[解析]∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2.
∵方程有实数根,∴(-2k)2-4(k-2)(k-6)≥0,解得k≥,∴k的取值范围为k≥且k≠2,故选D.
10.A　[解析]因为有x个队参赛,则每个队都要跟其余的(x-1)个队进行比赛,但两个队之间只比赛一场,故可列方程为x(x-1)=36.
11.C　[解析] ∵x=2是方程x2-(m-1)x+m+2=0的一个根,∴22-2(m-1)+m+2=0,解得m=8,则一元二次方程为x2-7x+10=0,即(x-2)(x-5)=0,故一元二次方程的另一个根为x=5.当等腰三角形腰为2时,∵2+2<5,故无法构成三角形,舍去;当等腰三角形腰为5时,任意两边之和都大于第三边,故此时△ABC的周长为5+5+2=12.故选C.
12.B　[解析]根据根与系数的关系得x1+x2=-,∴-(a2-2a)=0,解得a1=0,a2=2.∵当a=2时,原方程为x2+1=0无解,∴a=0.
13.A　[解析]∵x1+x2=4,∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5,∴x2=,
把x2=代入x2-4x+m=0,得2-4×+m=0,解得m=.
14.4
15.2019
16.-2　[解析]方法1:把x=1代入方程得1+b-2=0,解得b=1,所以方程是x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-2.
方法2:设方程的另一个根为m,由根与系数的关系知1×m=-2.∴m=-2.
17.1　[解析]把x=2+代入方程得(2+)2-4(2+)+m=0,解得m=1.
18.-2017　[解析]根据题意,得a+b=-1,ab=-2019,∴(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-2019+1+1=-2017.
19.解:(1)y1=0,y2=.
(2)x1=6,x2=.
(3)x1=-5,x2=-4.
(4)x1=-,x2=.
20.解:(1)由一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,得b2-4ac=9-4k≥0,∴k≤.
(2)k可取的最大整数为2,∴方程可化为x2-3x+2=0,该方程的根为1和2.
∵方程x2-3x+k=0与一元二次方程(m-1)x2+x+m-3=0有一个相同的根,
∴当x=1时,方程为(m-1)+1+m-3=0,解得m=;
当x=2时,方程为(m-1)×22+2+m-3=0,解得m=1(不合题意).
故m=.
21.解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-2(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,
整理得a2-2a+1-a2+a+2>0,
-a+3>0,∴a<3,
∵a为正整数,∴a=1或2.
(2)∵x1+x2=2(a-1),x1x2=a2-a-2,
又-x1x2=16,
则(x1+x2)2-3x1x2=16,
∴[2(a-1)]2-3(a2-a-2)=16,
4a2-8a+4-3a2+3a+6=16,
整理得a2-5a-6=0,
解得a1=-1,a2=6,
∵a<3,∴a=6舍去,
∴a=-1.
22.解:设小路的宽应为x m,
由题意可得方程为:(16-2x)(9-x)=112,
解得:x1=1,x2=16,
x2=16>9,不合题意,舍去,
∴x=1,
答:小路的宽应为1 m.
23.解:(1)26
(2)设当每件商品降价x元时,该商店每天的销售利润为1200元.
由题意,得(40-x)(20+2x)=1200.
整理,得x2-30x+200=0.
解得x1=10,x2=20.
又每件盈利不少于25元,
∴x=20不合题意舍去.
答:当每件商品降价10元时,该商店每天的销售利润为1200元.
24.A　[解析]因为b+c=5,所以c=5-b,因为Δ=b2-4×3×(-c)=b2+4×3×(5-b)=(b-6)2+24>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根.
25.A　[解析](x1+x2)2=+2x1·x2,
又∵x1+x2=3,=5,∴2x1·x2=(x1+x2)2-()=9-5=4,∴x1x2=2,
∴以x1,x2为根的一元二次方程是x2-3x+2=0.故选A.
26.B　[解析]根据题意得Δ=4-4(m-2)≥0,解得m≤3,
由m为正整数,得m=1或2或3.
利用求根公式表示出方程的根为x==-1±.
∵方程的根为整数,
∴3-m为完全平方数,
则m的值为2或3,2+3=5.故选择B.
27.解:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根,
∴
又∵(x1-1)(x2-1)=28,
∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=m2+5-2m-2+1=m2-2m+4=28,
即m2-2m-24=0,∴m=-4或m=6.
又∵Δ=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=4(m+1)2-4(m2+5)=4m2+8m+4-4m2-20=8m-16≥0,
∴m≥2,∴m=6.
(2)若x1,x2中有一个为7,代入方程x2-2(m+1)x+m2+5=0,得49-14(m+1)+m2+5=0,解得m=4或m=10.当m=4时,方程为x2-10x+21=0,解得x1=3,x2=7,三角形的周长为3+7+7=17;当m=10时,方程为x2-22x+105=0,解得x=7或x=15,∵7+7<15,不符合三角形三边关系,故舍去.
若x1,x2为等腰三角形的腰长,则方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,由(1)得Δ=8m-16,∴8m-16=0,∴m=2,此时方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3,∵3+3<7,不符合三角形三边关系,故舍去.
综上,这个三角形的周长为17.



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