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第1章
二次函数
一、选择题（共15小题；共45分）
1.
当
不为何值时，函数
（
是常数）是二次函数
A.
B.
C.
D.
2.
抛物线
的顶点坐标是
A.
B.
C.
D.
3.
下列函数：，，，，其中以
为自变量的二次函数有
A.
个
B.
个
C.
个
D.
个
4.
平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为
，手距地面均为
，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离
，
处．绳子在甩到最高处时刚好通过丙、丁的头顶．已知学生丙的身高是
，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）
A.
B.
C.
D.
5.
在平面直角坐标系中，将抛物线
先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是
A.
B.
C.
D.
6.
如图，现要在抛物线
上找点
，针对
的不同取值，所找点
的个数，三人的说法如下，
甲：若
，则点
的个数为
；
乙：若
，则点
的个数为
；
丙：若
，则点
的个数为
．
下列判断正确的是
A.
乙错，丙对
B.
甲和乙都错
C.
乙对，丙错
D.
甲错，丙对
7.
若
、
是方程
的两个根，则实数
，，，
的大小关系为
A.
B.
C.
D.
8.
已知二次函数
，当
取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值
总相等，则关于
的一元二次方程
的两根之积为
A.
B.
C.
D.
9.
已知
，
是抛物线
上的点，下列命题正确的是
A.
若
，则
B.
若
，则
C.
若
，则
D.
若
，则
10.
观察二次函数
的图象，过不同的六点
，，，，，，则
，，
的大小关系是
A.
B.
C.
D.
11.
如图是二次函数
的图象，下列结论：
①
二次三项式
的最大值为
；
②
；
③
一元二次方程
的两根之和为
；
④
使
成立的
的取值范围是
．
其中正确的个数有
A.
B.
C.
D.
12.
如图是二次函数
的部分图象，由图象可知不等式
的解集是
A.
B.
C.
且
D.
或
13.
下列关于二次函数
的图象与
轴交点的判断，正确的是
A.
没有交点
B.
只有一个交点，且它位于
轴右侧
C.
有两个交点，且它们均位于
轴左侧
D.
有两个交点，且它们均位于
轴右侧
14.
已知抛物线
与
轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在
轴左侧；
②关于
的方程
无实数根；
③
；
④
的最小值为
．
其中，正确结论的个数为
A.
B.
C.
D.
15.
一个长方形的周长是
，一边长是
，则这个长方形的面积
与边长
的函数关系可用图象表示为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（共8小题；共40分）
16.
已知二次函数
的图象上有三点
，，，则
，，
的大小关系为
?．
17.
如果抛物线
的顶点在
轴上，那么
?．
18.
观察下列
关于
的函数：
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
．
其中，二次函数是
?（填函数的序号）．
19.
抛物线
的对称轴是
?．
20.
某种商品每件进价为
元，调查表明：在某段时间内若以每件
元（，且
为整数）出售，可卖出
件．若使利润最大，每件的售价应为
?元．
21.
将二次函数
的图象向右平移
个单位，再向上平移
个单位后，所得图象的函数表达式是
?．
22.
已知二次函数
中，函数
与自变量
的部分对应值如下表：
若点
，
在抛物线上，则
?
．（选填“”、“”或“”）
23.
若函数
的图象与
轴只有一个交点，那么
的值为
?．
三、解答题（共5小题；共65分）
24.
已知二次函数
的图象的对称轴为直线
，判断该二次函数的图象与
轴是否有交点，并说明理由．
25.
已知抛物线
经过点
和
，求这个抛物线的顶点坐标．
26.
我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是
元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是
元/台时，可售出
台，且售价每降低
元，就可多售出
台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于
元/台，代理销售商每月要完成不低于
台的销售任务．
（1）试确定月销售量
（台）与售价
（元/台）之间的函数关系式；
（2）求售价
的范围；
（3）当售价
（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润
（元）最大?最大利润是多少?
27.
已知抛物线
与
轴相交于
，
两点（点
在点
的左侧），并与
轴相交于点
．
（1）求
，，
三点的坐标，并求出
的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线
，且
与
轴相交于
，
两点（点
在点
的左侧），并与
轴交于点
，要使
和
的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
28.
已知二次函数
的图象的对称轴是直线
，求图象的顶点坐标．
答案
第一部分
1.
B
2.
D
3.
B
4.
B
5.
B
6.
C
7.
C
【解析】由
，，
所以
，
同正，，
同负，又
，，
所以
．
8.
D
【解析】
二次函数
，
当
取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值
总相等，可知二次函数图象的对称轴为直线
，即
轴，
则
，解得：，
则关于
的一元二次方程
为
，
则两根之积为
．
9.
C
10.
D
【解析】根据题意，把点
，，
代入
，则
消去
，则得到
解得：
抛物线的对称轴为：，
与对称轴的距离最近；
与对称轴的距离最远；抛物线开口向上，
．
11.
B
【解析】由图象可知：抛物线的顶点坐标为
．
二次三项式
的最大值为
，①正确；
当
时，，
②正确；
的两根之和是
，
的两根之和是
，③错误；
当
时，借助图象可知
或
，④错误．
12.
A
【解析】由图象可知，抛物线与
轴的一个交点为
，对称轴是
，
根据抛物线的对称性可知抛物线与
轴的另一个交点的坐标为
．由图象看出当
时，函数图象在
轴上方，所以不等式
的解集是
．
13.
D
【解析】一元二次方程
的判别式为
．
二次函数
的图象与
轴有两个交点，
设方程的两个根为
和
，
则
，，
二次函数
的图象与
轴的两个交点均位于
轴右侧．
14.
D
【解析】，，
①正确．
抛物线与
轴最多有一个交点，．
关于
的方程
中，，
②正确．
，抛物线与
轴最多有一个交点，
取任何值时，．
当
时，，
③正确．
当
时，，．
，．，
④正确．
15.
A
第二部分
16.
17.
18.
①，④
19.
轴
【解析】抛物线
的对称轴是
轴．
20.
【解析】利润
，
因为
，
所以若使利润最大，每件的售价应为
元．
21.
22.
【解析】
时，；
时，，
抛物线的对称轴为直线
，且抛物线开口向下，
点
，
在抛物线上，且
，
，
故答案为
．
23.
或
第三部分
24.
二次函数的图象与
轴有交点，理由如下：
二次函数的对称轴为直线
，
，
解得
，
，
设
，则
，
，
即二次函数的图象与
轴有交点．
25.
把点
和
代入
，
得
解得
抛物线的解析式为
．
，
抛物线的顶点坐标为
．
26.
（1）
根据题中条件销售价每降低
元，月销售量就可多售出
台，
则月销售量
（台）与售价
（元/台）之间的函数关系式：，
化简得：．
??????（2）
根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于
元/台，
代理销售商每月要完成不低于
台，
则
解得：．
的范围是
．
??????（3）
，
整理得：．
在
内，
当
时，最大值为
，即售价定为
元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润
最大，最大利润是
元．
27.
（1）
当
时，，解得
，．
，．
当
时，，
，
．
??????（2）
由题意得，，
设抛物线向右平移
个单位，
，
由平移知
，
，即当
时，，
解得
，，（舍），．
当
时，；当
时，；当
时，．
28.
由已知二次函数的解析式，可知这个函数图象的对称轴是直线
，即
，得
，解得
．于是，这个二次函数的解析式为
，它的图象的顶点坐标是
．
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