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浙教数学单元测试题：二次函数的应用（含解析）
2020.9.14
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为（
）
A．y=（x+3）2+2
B．y=（x-3）2+2
C．y=（x+3）2-2
D．y=（x-3）2-2
2．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则抛物线y＝x2+mx与x轴的交点坐标为（　　）
A．（0，0）
B．（0，6）
C．（0，0）和（0，6）
D．（0，0）和（6，0）
3．抛物线y=（x+2）（x﹣4）的对称轴是（　　）
A．直线x=﹣1
B．y轴
C．直线x=1
D．直线x=2
4．已知等边三角形的边长为，则它面积与边长之间的关系用图象大致可表示为（
）
A．B．
C．
D．
5．己知二次函数的图象与轴交于点，，则当时，的取值范围是（
）
A．
B．
C．或
D．
6．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y(x﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为(　　)m．
A．12
B．25
C．13
D．14
7．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是(　　)
A．4米
B．3米
C．2米
D．1米
8．如图，抛物线交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A?恰好落在抛物线上．过点A?作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点A?的纵坐标为（）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
9．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝x+m与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是（
）
A．﹣7＜m＜﹣3
B．3＜m＜6
C．﹣7＜m＜3
D．﹣3＜m＜6
10．如图，在?ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．二次函数的图象与y轴的交点坐标是________.
12．一个边长是的正方形，当边长增加时，面积增加y，则y与之间的函数关系式为________.
13．把足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式,经_____秒后足球回到地面.
14．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=
元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
15．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险．
16．如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且经过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部份的面积是______________．
三、解答题（共46分）
17．已知抛物线的对称轴为直线，且经过点
（1）求抛物线的表达式；
（2）请直接写出时的取值范围.
18．已知直线l：y=x+1与抛物线y＝ax2﹣2x+c(a＞0)的一个公共点A恰好在x轴上，点B(4，m)在抛物线上.
(Ⅰ)用含a的代数式表示c.
(Ⅱ)抛物线在A，B之间的部分(不包含点A，B)记为图形G，请结合函数图象解答：若图形G在直线l下方，求a的取值范围.
19．已知二次函数y=x2+4x+k-1.
（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.
20．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．
（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）设利润为W元，写出W与x的函数关系式．
21．如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．
（1）求的值；
（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．
22．居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，若设花园的一边为，花园的面积为．
（1）求与之间的数关系式，写出自变量的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200吗？如果能，求出此时的的值；若不能，请说明理由；
（3）请结合题意判断：当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？
23．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点A(1,0),B(5,0),C(0,4)．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．A
5．D
6．A
7．A
8．B
【详解】
解：令得，即
解得
点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点A?恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当时，
所以点A?的纵坐标为2.
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键
9．A
【详解】
在中，当，，
解得，，
∴，
如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点，
把代入中，得，
∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为，
当直线与抛物线相切与点C时，直线与图象有3个交点，
把代入中，
得到方程有两个相等的实数根，整理得，
∴，
解得，
∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是．
故答案选A．
10．B
【详解】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC==8，
当0≤x≤6时，AP=6﹣x，AQ=x，∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2﹣12x+36；
当6≤x≤8时，AP=x﹣6，AQ=x，∴y=PQ2=（AQ﹣AP）2=36；
当8≤x≤14时，CP=14﹣x，CQ=x﹣8，∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2﹣44x+260，
故选B．
11．
12．
13．4
14．3.
15．会
【解析】
【分析】
由题意把代入即可求得s的值，与80比较即可判断．
【详解】
解：在中，当时，
则此时刹车会有危险．
【点睛】
本题考查二次函数的应用是初中数学的重点和难点，因而是中考的热点，尤其在压轴题中极为常见，一般难度不大，需熟练掌握．
16．2
【解析】
：根据图示及抛物线、正方形的性质，S阴影=S正方形=×2×2=2．故答案为2
17．（1）；（2）或
【详解】
解：
（1）根据题意得，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
(2)
函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x轴上，
则设与x轴另一交点坐标Q为(m,0)，
根据题意得：，
解得m=?1，
则抛物线与x轴的另一个交点Q坐标为(?1,0)，
由图可得，时的取值范围为：或；
18．(Ⅰ)c＝﹣4a﹣4；(Ⅱ)0＜a≤.
【详解】
解：(Ⅰ)当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，则A点坐标为(﹣2，0)，
把A(﹣2，0)代入y＝ax2﹣2x+c得4a+4+c＝0，
所以c＝﹣4a﹣4；
(Ⅱ)当x＝4时，y＝ax2﹣2x+c＝16a﹣8﹣4a﹣4＝12a﹣12，则B(4，12a﹣12)，
当x＝4时，y＝x+1＝3，
因为图形G在直线l下方，
所以12﹣12a≤3，
解得a≤，
所以a的取值范围为0＜a≤.
19．k＜5；k=5．
试题解析：(1)、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，即16-4k+4＞0.解得k＜5.
(2)、∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点纵坐标为0，即=0.解得k=5.
考点：二次函数的顶点
20．（1）y＝﹣10x+150，（0≤x≤5且x为整数）；（2）W＝﹣10x2+50x+1500．
【解析】
【分析】
（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围；
（2）根据总利润＝销量×每件利润可得出利润的表达式．
【详解】
（1）设每件涨价x元由题意得，
每星期的销量为y＝150﹣10x＝﹣10x+150，（0≤x≤5且x为整数）；
（2）设每星期的利润为W元，
W＝（x+40﹣30）×（150﹣10x）＝﹣10x2+50x+1500．
【点评】
本题考查了一次函数和二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式．
21．（1）；（2）存在，点的坐标为或或．
【详解】
（1）∵，
令，则，
∴，
令，即
解得，
由图象知：
∴，
∵
∴
解得：，（舍去）；
（2）∵，
∴，
∵.
∴点的纵坐标为±3，
把代入得，
解得或，
把代入得，
解得或，
∴点的坐标为或或．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
22．（1）；（2）不能，理由见解析；（3）时，面积最大为．
【详解】
（1）根据题意得：AB=,
y＝x（），
∴，
∵墙长15m，
∴0＜x≤15，
∴自变量x的取值范围是0＜x≤15；
（2）当y＝200时，即200＝，
解得：x1＝x2＝20，
∵0＜x≤15，
∴此花园的面积不能达到200m2；
（3）y＝的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝20．
∴当0＜x≤15时，y随x的增大而增大，
∴当x＝15时，y有最大值，此时y＝＝187.5．
即：当x＝15时，花园面积最大，最大面积为187.5m2．
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．（1），函数的对称轴为：；（2）点；（3）存在，点的坐标为或．
【详解】
解：根据点,的坐标设二次函数表达式为：，
∵抛物线经过点，
则，解得：，
抛物线的表达式为：
，
函数的对称轴为：；
连接交对称轴于点，此时的值为最小，
设BC的解析式为：，
将点的坐标代入一次函数表达式：得：
解得：
直线的表达式为：，
当时，，
故点；
存在，理由：
四边形是以为对角线且面积为的平行四边形，
则
，
点在第四象限，故：则，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得：或，
故点的坐标为或．
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
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精品试卷·第
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