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1.三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段。
2.相似三角形的性质
相似三角形的对应角平分线、高线、中线之比等于相似比。
3.相似三角形的周长比和面积比
相似三角形的周长之比等于相似比．相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
4.相似三角形的应用
(1)若物体的高度和宽度不能被直接测量，可根据题意建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系进行求解．
(2)同一时刻，两个物体的高度和在阳光下的影长是成比例的．
例1：如图，已知BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点．求证：DP＝BD．
证明：连结DE.
∵BD，CE是△ABC的两条中线，∴DE∥BC，且＝＝＝，
∴∠BDE＝∠CBD，∠CED＝∠BCE，
∴△DEP∽△BCP，∴＝＝，∴DP＝BD．
例2：如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE，AF分别交BD于点G，H，求图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比．
解：∵BE∥AD，E是BC的中点，易证△BEG∽△DAG，∴＝＝，即BG＝BD．
同理可得，DH＝BD，∴GH＝BD，∴S△AGH＝S△ABD＝S□ABCD．
∵E，F分别是边BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，易证△CEF∽△CBD，
∴＝2＝，∴S△CEF＝S△BCD＝S□ABCD，
∴图中阴影部分图形的面积＝S四边形ABCD＝S□ABCD，
即图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比为＝7∶24.
例3：如图是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN是35
mm，焦距LC是50
mm，拍摄的景物高度AB为4.9
m，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
解：由物体成像原理，知△LMN∽△LBA，∴＝.
(1)∵MN＝35
mm，LC＝50
mm，AB＝4.9
m，∴＝.解得LD＝7
m.即拍摄点离景物7
m.
(2)∵拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，∴＝.解得LC＝70
mm.
即相机的焦距应调整为70
mm.
一、选择题
1.【浙江杭州中考】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连结AM交DE于点N，则(　C　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2.如图，D是△ABC的重心，则下列结论正确的是(　B　)
A．2AD＝DE
B．AD＝2DE
C．3AD＝2DE
D．AD＝3DE
3.已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4
cm，则△A′B′C′中A′B′边上的中线C′D′的长为(B　　)
A．2
cm
B．8
cm
C．1
cm
D．16
cm
4.【辽宁营口中考】如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则的值是(　A　)
A．
B．1
C．
D．
5.如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶2，其中CB＝，DE的长为(　B　)
A．6
B．
C.
D．5
6.（2019春?海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】解：由于△ABC是直角三角形，
过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线．故选：C．
7.【贵州毕节中考】如图，在一块斜边长30
cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(　A　)
A．100
cm2
B．150
cm2
C．170
cm2
D．200
cm2
8.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1
m的竹竿的影长是0.8
m，但当她准备测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图5)，他先测得留在墙壁上的影高为1.2
m，又测得地面上的影长为2.6
m，请你帮她算一下，树高是(　C　)
A．3.25
m
B．4.25
m
C．4.45
m
D．4.75
m
【解析】
如答图，设BD是BC在地面上的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得＝，而BC＝1.2，∴BD＝0.96，
∴树在地面上的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56，则＝，解得x＝4.45，即树高是4.45
m.
9.[2018秋·浦东新区期中]如图，△ABC的两条中线AD，CE交于点G，连结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是(　B　)
　
A．AF＝FC
B．BF＝2GF
C．AG＝2GD
D．EG＝CE
【解析】
∵△ABC的两条中线AD，CE交于点G，∴点G是△ABC的重心，
∴BF也是△ABC的中线，∴AF＝FC，故A正确；
∵点G是△ABC的重心，∴BG＝2GF，∴BF＝3GF，故B不正确；
∵点G是△ABC的重心，∴AG＝2GD，故C正确；
∵点G是△ABC的重心，∴CG＝2EG，∴CE＝3EG，∴EG＝CE，故D正确．故选B.
10.（2020春?广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（　　）
A．2：1
B．4：1
C．
D．1：2
【解析】设原矩形ABCD的长为x，宽为y，∴小矩形的长为y，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，∴∴x：y＝2：1故选：A．
11.（2018秋?嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（　　）
A．60mm
B．mm
C．20mm
D．mm
【答案】解：如图，设AD交PN于点K．∵PM：PQ＝3：2，
∴可以假设MP＝3k，PQ＝2k．
∵四边形PQNM是矩形，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，∴AD⊥PN，∴＝，∴＝，
解得k＝20mm，∴PM＝3k＝60mm，故选：A．
12.（2018秋?秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　）
①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；
＝，②正确；
△EDG∽△CBG，③正确；
＝（）2＝，④正确，故选：D．
二、填空题
1.如图，小华做物理实验，蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量蜡烛的火焰是2
cm，它的像是4
cm.如果蜡烛距离小圆孔10
cm，那么蜡烛与成像板之间的距离是__30__cm__．
【解析】
∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴△AOB∽△COD，设蜡烛与成像板之间的距离是x
cm，
∴＝＝，解得x＝30
cm.
2.（2019?奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是　1：2　．
【答案】解：如图，∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，∴DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，
∴DE+DF+EF＝AC+BC+AB，∵△DEF∽△ABC，
∴所得到的△DEF与△ABC的周长之比是：1：2.
故答案为：1：2.
3.（2019春?滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于　11　．
【答案】解：∵△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，即S△ABF：S△BEF＝6：4＝3：2，
∴AF：FE＝3：2，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BE，S△ABD＝S△CBD，∴△AFD∽△EFB，
∴＝（）2＝（）2＝，∴S△AFD＝×4＝9，∴S△ABD＝S△CBD＝6+9＝15，
∴四边形CDFE的面积＝15﹣4＝11.故答案为11.
4.（2019秋?息县期末）如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为　　．
【解析】∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，∴不妨假设EFk，AB＝3k，
∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，∴∠AEH＝∠EFB，
∵EH＝EF，∴△HAE≌△EBF（AAS），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，
在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，
整理得x2﹣3kx+2k2＝0，解得x＝k或2k（舍弃），
∴AE＝k，BE＝2k，∴，故答案为．
三、解答题
1.如图是某厂生产时所剩下的形状为直角梯形的铁皮角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x，y.
解：如图，以点O为原点，建立直角坐标系，过点D作DE⊥OC，交NF于点M，交OC于点E.
∵NH∥DE，∴△CNH∽△CDE，∴＝.
∵CH＝24－y，CE＝24－8＝16，DE＝OA＝20，NH＝x，∴＝，解得x＝(24－y)．
∴矩形的面积S＝xy＝(24－y)·y＝－(y－12)2＋180，当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
2.【四川凉山中考】如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M.连结CM交DB于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
解：(1)证明：∵DB平分∠ADC，∴∠BDA＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，∴＝，
∴BD2＝AD·CD．
(2)解：∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠BDC，∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°，
∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA，
∴BM＝MD＝AM＝4.∵BD2＝AD·CD，且CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝48，∴BC2＝BD2－CD2＝12，
∴MC2＝MB2＋BC2＝28，∴MC＝2.∵BM∥CD，易证△MNB∽△CND，
∴＝＝，且MC＝2，
∴MN＝×2＝.
3.（2018秋?德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC?DB，且△PCD是等边三角形．
（1）证明：△ACP∽△PDB；
（2）求∠APB的度数．
【答案】解：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，
∵CD2＝AC?DB，由PC＝PD＝CD可得：PC?PD＝AC?DB，即，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，∴∠APC＝∠PBD．
∵∠PDB＝120°，∴∠DPB+∠DBP＝60°，∴∠APC+∠BPD＝60°．
∴∠APB＝∠CPD+∠APC+∠BPD＝120°．
4.（2018秋?番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．
（1）写出x与y的关系式；
（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．
【答案】解：（1）易得四边形EGDK为矩形，则KD＝EG＝x，∴AK＝AD﹣DK＝80﹣x，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，
∴y＝﹣x+120（0＜x＜80）；
（2）这个同学的说法错误．理由如下：
S＝xy＝﹣x2+120x＝﹣（x﹣40）2+2400，当x＝40时，S有最大值2400，
此时y＝﹣×40+120＝60，
即矩形EGHF的长为60mm，宽为40mm时，矩形EGHF的面积最大，最大值为2400mm2，
此时矩形不为正方形，所以这个同学的说法错误．
5.（2019秋?赣榆区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，
②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；
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精品试卷·第
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1.三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段。
2.相似三角形的性质
相似三角形的对应角平分线、高线、中线之比等于相似比。
3.相似三角形的周长比和面积比
相似三角形的周长之比等于相似比．相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
4.相似三角形的应用
(1)若物体的高度和宽度不能被直接测量，可根据题意建立相关的相似三角形的模型，然后根据相似三角形的性质以及比例关系进行求解．
(2)同一时刻，两个物体的高度和在阳光下的影长是成比例的．
例1：如图，已知BD，CE是△ABC的两条中线，P是它们的交点．求证：DP＝BD．
例2：如图，在□ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE，AF分别交BD于点G，H，求图中阴影部分图形的面积与□ABCD的面积之比．
例3：如图是一个照相机成像的示意图．
(1)如果像高MN是35
mm，焦距LC是50
mm，拍摄的景物高度AB为4.9
m，拍摄点离景物有多远？
(2)如果要完整的拍摄高度是2
m的景物，拍摄点离景物有4
m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？
一、选择题
1.【浙江杭州中考】如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连结AM交DE于点N，则(　　)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
2.如图，D是△ABC的重心，则下列结论正确的是(　　)
A．2AD＝DE
B．AD＝2DE
C．3AD＝2DE
D．AD＝3DE
3.已知△ABC∽△A′B′C′，＝，AB边上的中线CD＝4
cm，则△A′B′C′中A′B′边上的中线C′D′的长为(　　)
A．2
cm
B．8
cm
C．1
cm
D．16
cm
4.【辽宁营口中考】如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则的值是(　　)
A．
B．1
C．
D．
5.如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶2，其中CB＝，DE的长为(　　)
A．6
B．
C.
D．5
6.（2019春?海州区校级月考）若P是Rt△ABC斜边BC上异于B，C的一点，过点P作直线截△ABC，截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线有（　　）条．
A．1
B．2
C．3
D．4
7.【贵州毕节中考】如图，在一块斜边长30
cm的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF∶AC＝1∶3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为(　　)
A．100
cm2
B．150
cm2
C．170
cm2
D．200
cm2
8.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1
m的竹竿的影长是0.8
m，但当她准备测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图5)，他先测得留在墙壁上的影高为1.2
m，又测得地面上的影长为2.6
m，请你帮她算一下，树高是(　　)
A．3.25
m
B．4.25
m
C．4.45
m
D．4.75
m
9.[2018秋·浦东新区期中]如图，△ABC的两条中线AD，CE交于点G，连结BG并延长，交边AC于点F，那么下列结论不正确的是(　　)
　
A．AF＝FC
B．BF＝2GF
C．AG＝2GD
D．EG＝CE
10.（2020春?广饶县期末）如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为（　　）
A．2：1
B．4：1
C．
D．1：2
11.（2018秋?嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝3：2，则PM的长为（　　）
A．60mm
B．mm
C．20mm
D．mm
12.（2018秋?秀洲区期末）如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（　　）
①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
1.如图，小华做物理实验，蜡烛的火焰透过小孔在成像板上形成一个倒立的像，经过测量蜡烛的火焰是2
cm，它的像是4
cm.如果蜡烛距离小圆孔10
cm，那么蜡烛与成像板之间的距离是____cm__．
2.（2019?奉贤区一模）联结三角形各边中点，所得的三角形的周长与原三角形周长的比是　　．
3.（2019春?滨湖区期末）如图，平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，AE和BD交于点F，已知△ABF的面积等于6，△BEF的面积等于4，则四边形CDFE的面积等于　　．
4.（2019秋?息县期末）如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为　　．
三、解答题
1.如图是某厂生产时所剩下的形状为直角梯形的铁皮角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两边长x，y.
2.【四川凉山中考】如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M.连结CM交DB于点N.
(1)求证：BD2＝AD·CD；
(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．
3.（2018秋?德清县期末）如图，点C，D在线段AB上，CD2＝AC?DB，且△PCD是等边三角形．
（1）证明：△ACP∽△PDB；
（2）求∠APB的度数．
4.（2018秋?番禺区期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG＝xmm，EF＝ymm．
（1）写出x与y的关系式；
（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．
5.（2019秋?赣榆区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
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精品试卷·第
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