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黑龙江省哈尔滨156中2017-2018学年九年级上学期数学开学考试试卷（五四学制）
一、选择题
1．（2017九上·黑龙江开学考）下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣ C． D．﹣3
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：因为 ，
故答案为：D
【分析】根据零大于负数，正数大于零，两个负数比大小绝对值达的反而小进行判断即可。
2．（2017九上·黑龙江开学考）下列运算正确的是（　　）
A．2x+3y=5xy B．5m2 m3=5m5
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．m2 m3=m6
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A.2x+3y无法计算，故此选项错误；
B.5m2 m3=5m5，故此选项正确；
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
D．m2 m3=m5，故此选项错误．
故答案为：B．
【分析】同底数的幂相乘，底数不变指数相加，单项式相乘，系数的积作积的系数，再把相同的字母按同底数的幂相乘进行计算，完全平方式的展开式是一个三项式，整式加法的实质就是合并同类项，是同类项的就合并，不是的不能合并进行判断即可。
3．（2017九上·莒南期末）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
4．（2017九上·黑龙江开学考）若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k＜﹣1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故答案为：D．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，得出k≠0且△＞0，不等式组求解得出公共部分即可。
5．（2017八下·禅城期末）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． ﹣ =2 B． ﹣ =2
C． ﹣ =2 D． ﹣ =2
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程： ﹣ =2，
故答案为：A．
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，接下来，用含x的式子表示实际需要的天数和计划需要的天数，最后依据原计划所用时间-实际所用时间=2列出方程即可.
6．（2016九上·黑龙江期中）如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF；
∵DE∥BC，
∴，
，
∵EF∥AB，
∴，
∴=，
故选C．
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
7．（2017八下·宜城期末）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE﹣AD=2，
即6+6﹣AD=2，
解得：AD=10；
故答案为：B．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∠AFB=∠FBC，又因BF平分∠ABC，得到∠ABF=∠FBC，∠ABF=∠AFB，得到AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，因为EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，得到AD=BC=10.
8．（2017九上·黑龙江开学考）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F作FH⊥AE于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∴AF=3﹣DE，
∴AE= ，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，
∴∠DAE=∠AFH，
∴△ADE∽△AFH，
∴ ，
∴AE=AF，
∴ =3﹣DE，
∴DE= ，
故答案为：D．
【分析】 过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，进而判断出四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质得出AF=CE，进而得出AF=3﹣DE，根据勾股定理得出AE的长，再判断出△ADE∽△AFH，由相似三角形对应边成比例得出方程，求解即可。
9．（2017九上·黑龙江开学考）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论错误的是（　　）
A．AC=FG B．S△FAB：S四边形CBFG=1：2
C．AD2=FQ AC D．∠ADC=∠ABF
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，A正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB= FB FG= S四边形CBFG，B正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，D正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD FE=AD2=FQ AC，C正确；
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG；证明四边形CBFG是矩形，根据矩形的性质得出S△FAB= FB FG= S四边形CBFG；由等角直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例得出AD FE=AD2=FQ AC。
10．（2017九上·黑龙江开学考）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0； ②若a=﹣1，则b=3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6 ．其中正确的命题有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=﹣ =1，当a=﹣1时有 =1，解得b=3，故本选项正确；③∵x1+x2＞2，
∴ ＞1，
又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；
则DE= = ；D′E′= = ；
∴四边形EDFG周长的最小值为 + ，故本选项错误．
正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】①根据二次函数所过象限，判断出Y的符号；
②根据A,B关于对称轴对称，求出b的值；
③根据若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；
④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值，求D、E、D′，E′的坐标即可解答。
二、填空题
11．（2017九上·黑龙江开学考）用科学记数法表示53700000是　 　．
【答案】5.37×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将53700000用科学记数法表示为：5.37×107．
故答案为：5.37×107．
【分析】科学记数法—表示绝对值较大的数，一般表示成a10n，其中1|a|10，n是原数的整数位数减一。
12．（2017九上·黑龙江开学考）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤ ．
故答案是：x≤ ．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数得出不等式，求解即可。
13．（2017九上·黑龙江开学考）分解因式：4ax2﹣ay2=　 　 ．
【答案】a（2x+y）（2x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）
=a（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
14．（2017九上·黑龙江开学考）不等式组 的解集是　 　．
【答案】﹣2＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得，x＞﹣2，
由②得，x≤3，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．
故答案为：﹣2＜x≤3．
【分析】由①得，x＞﹣2，由②得，x≤3，然后根据大小小大中间找得出结论。
15．（2017九上·黑龙江开学考）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=　 　．
【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
故答案为：8
【分析】过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，从而得出四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，根据平行四边形的性质得出△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，根据全等三角形的性质，知S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，由三角形中位线定理得出EF∥BC，进而判断出△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，根据相似三角形的性质得S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，从而利用S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
16．（2017九上·黑龙江开学考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN= AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM= AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴BM= AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
∴MN=BM= AC=1，
∴BN= ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形中位线定理得出MN=AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出=BM= AC，由此即可证明BM=MN，再证明∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，根据BN2=BM2+MN2，即可解决问题。
17．（2017九上·黑龙江开学考）某公司2012年的利润为160万元，到了2014年的利润达到了250万元．设平均每年利润增长的百分率为x，则可列方程为　 　．
【答案】160×（1+x）2=250
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵2012年的利润为160万元，
∴2013年的利润为160×（1+x）万元，
∴2014年的利润为160×（1+x）2万元，
∴可列方程为160×（1+x）2=250．
故答案为160×（1+x）2=250．
【分析】这是一道平均增长率的问题，设平均每年利润增长的百分率为x，根据公式a（1+x）n=p，(a表示平均增长开始前的量，n代表增长次数，p代表增长结束达到的量）列出方程，即可。
18．（2017·大庆模拟）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是　 　 cm．
【答案】8
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8﹣a，
∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣a）2=42+a2，
解得：a=3．
∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠BFE=∠AEH．
又∵∠EAH=∠FBE=90°，
∴△EBF∽△HAE，
∴ = = = ．
∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，
∴C△EBF= C△HAE=8．
故答案为：8．
【分析】设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，利用勾股定理求出a的值，再根据同角的余角相等得∠BFE=∠AEH，从而证出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比）即可得出结论.
19．（2017九上·黑龙江开学考）△ABD中，AB=BD，点C在直线BD上，BD=3CD，cos∠CAD= ，AD=6，则AC=　 　．
【答案】6或
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，
Rt△ADE中，cos∠CAD= = ，即 = ，
∴AE= ， 分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，在Rt△ADE中根据锐角三角函数的定义得出AE的长，
∵BD=3CD，DE∥BF，
∴ = = ，
设CE=x，则CG=2x，GE=3x，
∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD，
∴AG=GE=3x，
∴AE=6x，AC=5x，
∴AC= AE= × =6；②如图所示，当C在BD的延长线上时，过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD= AD=3，
∵CE∥BF，BD=3CD，
∴ = = ，
∴ = ，即DE=1，
∴AE=6+1=7，
∵Rt△ACE中，cos∠CAD= ，
∴ = ，即 = ，
∴AC= ．
综上所述，AC的长为6或 ．
故答案为：6或 ．
【分析】 分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，②如图所示，当C在BD的延长线上时，分别根据平行线分线段成比例定理，求得AE与AC的数量关系，最后根据AE的长求得AC的长。
20．（2017九上·黑龙江开学考）已知图，正方形ABCD，M是BC延长线上一点，过B作BE⊥DM于点E，交DC于点F，过F作FG∥BC交BD于点G，连接GM，若S△EFD= DF2，AB=4 ，则GM=　 　．
【答案】8（ ﹣1）
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCM=90°，BC=DC，
∵BE⊥DM，
∴∠BEM=90°，
∴∠CBF+∠BME=90°，∠BME+∠CDM=90°，
∴∠CBF=∠CDM，
∴△BCF≌△DCM，
∴BF=DM，CF=CM，
∴∠FMB=∠GBM=45°，
∵FG∥BM，
∴四边形BMFG是等腰梯形，
∴GM=BF=DM，
∵S△DEF= DF EH= DF2，
∴EH= DF，即DF=4EH，
∵△DEF∽△DNC∽△DCM，
∴CD=4NK，DM=4CN，
∵AB=CD=4 ，
∴NK= ，设CK=x，则DK=4 ﹣x，
∵△DKN∽△NKC，
∴NK2=DK KC，
∴2=x（4 ﹣x），
∴x=2 ﹣ 或2 + （舍弃），
在Rt△CKN中，CN= = =2（ ﹣1），
∴GM=DM=4CN=8（ ﹣1）．
故答案为8（ ﹣1）．
【分析】如图，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．首先证明△BCF≌△DCM，推出BF=DM，CF=CM，四边形BMFG是等腰梯形，进一步推出GM=BF=DM，由三角形的面积推出EH=DF，即DF=4EH，由△DEF∽△DNC∽△DCM，可得CD=4NK，DM=4CN，由△DKN∽△NKC，得出NK2=DK KC，从而得出方程求解，然后根据勾股定理得出CN，从而得出答案。
三、解答题
21．（2017九上·黑龙江开学考）先化简，再求代数式 ÷（x﹣ ）的值，其中x=2sin60°+tan45°．
【答案】解：当x=2× +1= +1时， 当x=+1时，原式==
∴原式= ×
=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把整式看成分母为一然后通分进行分式的加法，然后算除法，分子分母分别分解因式，能约分的必须约分化简，然后利用特殊锐角的三角函数值对x进行化简，再代入求值，计算的最后结果化为最简形式。
22．（2017九上·黑龙江开学考）如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D的端点都在小正方形的顶点上．
（1）①在方格纸中画出一个以线段AB为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．
②在方格纸中以CD为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且△CDK的面积为5．
（2）在（1）的条件下，连接BK，请直接写出线段BK的长．
【答案】（1）解：如图所示：菱形ABEF，等腰三角形CDK即为所求；
（2）解：如图所示：线段BK的长为：BK= = ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）结合等腰三角形的性质及三角形的面积求法得出答案；
（3）直接利用勾股定理得出答案。
23．（2017九上·黑龙江开学考）如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）解：∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．∵DF∥EC，
∴△DFG∽△CEG，
∴ = ，∴CE= =4× =6．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，又DF=BE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BEFD是平行四边形，再利用平行四边形的对边平行得出BD∥EF；
（2）根据平行四边形的性质得出DF=BE=4．根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似得出△DFG∽△CEG，再由相似三角形对应边成比例得出结论。
24．（2017九上·黑龙江开学考）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）
【答案】解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=ABsin60°=10 m，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则AE= =10 m．答：改造后的坡长AE为10 m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中∠ABF=∠α=60°，利用正弦的定义得出AF的长度，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，再利用正弦定义得出AE的长即可。
25．（2017九上·合肥开学考）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，
∴x=12；
（2）解：设苗圃园的面积为y，∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，∵a=﹣2＜0，∴苗圃园的面积y有最大值，∴当x= 时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x=11时，y最小=88平方米；
（3）解：由题意得：﹣2x2+30x≥100，∵30﹣2x≤18
解得：6≤x≤10．
【知识点】一元二次方程的其他应用；解一元一次不等式组；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据苗圃园的面积=72平方米，垂直于墙的一边的长2+平行于墙的一边长=30，设未知数建立方程求解，再根据30﹣2x≤18，求出x的取值范围，即可得出符合条件的x的值。
（2）设苗圃园的面积为y，建立y与x的函数关系式，再根据8，8≤30﹣2x≤18，求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质，求出结果。
（3）根据这个苗圃园的面积≥100及30﹣2x≤18，即可求解。
26．（2017九上·黑龙江开学考）如图，点O为正方形ABCD对角线的交点，点E，F分别在DA和CD的延长线上，且AE=DF，连接BE，AF，延长FA交BE于G．
（1）试判断FG与BE的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接OG，求∠OGF的度数；
（3）若AE= ，tan∠ABG= ，求OG的长．
【答案】（1）解：FG⊥BE，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠EAB=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中， ，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠E=∠AFD，
∵∠EAG=∠DAF，
∴∠AGE=∠ADF=90°，
∴FG⊥BE；
（2）解：连接OA，OB，
∵点O为正方形ABCD对角线的交点，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∵∠AGB=90°，
∴A，G，B，O四点共圆，
∴∠AGO=∠ABO=45°；
（3）解：∵AE= ，tan∠ABG= ，
∴AB=2 ，
∴BE= =5，AO=BO= ，
∴AG= =2，
∴BG= =4，
过A作AM⊥OG于M，过B作BN⊥OG于N，
则△AGM，△BNG是等腰直角三角形，
∴BN=GN=2 ，AM=GM= ，
∵S四边形AGBO=S△AGB+S△AOB=S△BOG+S△AOG，
∴ AG BG+ AO BO= OG BN+ OG AM，
即 ×2×4+ = 2 OG+ OG，
∴OG=3 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°然后证出△ABE≌△DAF，依据三角形全等的性质得出∠E=∠AFD，从而得出结论；
（2）连接OA，OB，依据正方形的性质得出△AOB是等腰直角三角形，推出A，G，B，O四点共圆，根据圆周角定理得出结论；
（3）根据三角函数的定义得出AB的长，根据勾股定理得BE的长，OA=OB，根据三角形的面积公式得出AG的长，从而利用勾股定理得出BG的长，过A作AM⊥OG于M，过B作BN⊥OG于N，根据等腰直角三角形得性质得到BN=GN，AM=GM根据图形的面积列出方程即可求解。
27．（2017九上·黑龙江开学考）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣ ax2+ ax+3a（a≠0）与x轴交于A和点B（A在左，B在右），与y轴的正半轴交于点C，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D为OB中点，E为CO中点，动点F在y轴的负半轴上，G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若D恰为FG中点，且S△GDE= ，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，动点P在线段OB上，动点Q在OC的延长线上，且BP=CQ．连接PQ与BC交于点M，连接GM并延长，GM的延长线交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若角满足∠QPG﹣∠NQP=∠NQO﹣∠PGB时，求NP的长．
【答案】（1）解：将y=0代入得：y=﹣ ax2+ ax+3a，
∵a≠0，
∴﹣ x2+ x+3=0．
解得：x1=﹣ ，x2=6．
∴A（﹣ ，0）、B（6，0）．
∴OB=6．
∵将x=0代入抛物线的解析式得：y=3a，
∴C（0，3a）．
∴OC=3a．
∵OB=0C，
∴3a=6．
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6；
（2）解：如图1所示：连接GB．∵E、D分别是OC、0B的中点，∴OE=3，OD=BD．在△ODF和△GDB中，
，
∴△ODF≌△GDB，
∴BG=OF，∠GBD=∠FOD=90°，
∵S△EDG=S△EFG﹣S△EFD，
∴ EF OB﹣ EF OD= ，即3EF﹣ EF= ，解得：EF=9；∴OF=EF﹣OE=9﹣3=6，∴F（0，﹣6）；
（3）解：如图2所示：过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R，NH⊥x轴于H，∵TP∥OQ，∴∠MPT=∠MQC，∠PTM=∠QCM，∵OB=0C=6，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠PBT=∠PTB=45°，∴PT=PB=CQ，在△PTM和△QCM中，
，
∴△PTM≌△QCM，
∴PM=QM，
∵GB⊥x轴，∴BG∥y轴∥PT，∴∠BGP=∠TPG．∵∠QPG﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PGB，∴∠QPT+∠TPG﹣∠NQO=∠NQO+∠OQP﹣∠PCB，∵∠QPT=∠OQP，∠TPG=∠PGB，∴2∠TPG=2∠NQO，∴∠TPG=∠NQO，∴∠NQP=∠GPQ，在△NMQ和△GMP中， ，
∴△NMQ≌△GMP，
∴NQ=GP，
在Rt△QNR和Rt△GPB中， ，
∴△QNR≌△GPB，
∴QM=BG=6，NR=PB=CQ．设N（t，﹣ t2+ t+6）．∵QO=QC+CO=QR+RO，∴QC=RO，
∴NR=RO，
∴﹣t=﹣ t2+ t+6，解得：t1=﹣2，t2=8（舍去）．∴N（﹣2，2），∴NH=2，OH=NR=2．∴PH=OB=6，∴PN= =2 ，∴线段NP的长为2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】 （1）令y=0可求得点A,B的坐标，将x=0代入抛物线的解析式求得点C的坐标，然后根据OB=OC可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接GB．首先依据SAS证明△ODF≌△GDB，从而得到BG=OF，接下来依据S△EDG=S△EFG﹣S△EFD可求得EF的长，从而得到BG的长，故此可得到点F的坐标；
(3)过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R，NH⊥x轴于H，首先证明PT=PB=CQ，然后依据SAS证明△PTM≌△QCM，于是得到PM=QM，再证明△NMQ≌△GMP，得到NQ=GP，再证明△QNR≌△GPB，得到NR=RO，从而列出关于t的方程，求得NR的长，最后在Rt△NHP中依据勾股定理得出结论。
1 / 1黑龙江省哈尔滨156中2017-2018学年九年级上学期数学开学考试试卷（五四学制）
一、选择题
1．（2017九上·黑龙江开学考）下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B．﹣ C． D．﹣3
2．（2017九上·黑龙江开学考）下列运算正确的是（　　）
A．2x+3y=5xy B．5m2 m3=5m5
C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D．m2 m3=m6
3．（2017九上·莒南期末）由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（　　）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
4．（2017九上·黑龙江开学考）若x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣1且k≠0 B．k＜﹣1且k≠0
C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
5．（2017八下·禅城期末）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（　　）
A． ﹣ =2 B． ﹣ =2
C． ﹣ =2 D． ﹣ =2
6．（2016九上·黑龙江期中）如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（　　）
A．= B．= C．= D．=
7．（2017八下·宜城期末）如图，在 ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．（2017九上·黑龙江开学考）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（　　）
A． B． C．1 D．
9．（2017九上·黑龙江开学考）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论错误的是（　　）
A．AC=FG B．S△FAB：S四边形CBFG=1：2
C．AD2=FQ AC D．∠ADC=∠ABF
10．（2017九上·黑龙江开学考）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列四个命题：①当x＞0时，y＞0； ②若a=﹣1，则b=3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6 ．其中正确的命题有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2017九上·黑龙江开学考）用科学记数法表示53700000是　 　．
12．（2017九上·黑龙江开学考）若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
13．（2017九上·黑龙江开学考）分解因式：4ax2﹣ay2=　 　 ．
14．（2017九上·黑龙江开学考）不等式组 的解集是　 　．
15．（2017九上·黑龙江开学考）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S、S1、S2，若S=2，则S1+S2=　 　．
16．（2017九上·黑龙江开学考）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为　 　．
17．（2017九上·黑龙江开学考）某公司2012年的利润为160万元，到了2014年的利润达到了250万元．设平均每年利润增长的百分率为x，则可列方程为　 　．
18．（2017·大庆模拟）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是　 　 cm．
19．（2017九上·黑龙江开学考）△ABD中，AB=BD，点C在直线BD上，BD=3CD，cos∠CAD= ，AD=6，则AC=　 　．
20．（2017九上·黑龙江开学考）已知图，正方形ABCD，M是BC延长线上一点，过B作BE⊥DM于点E，交DC于点F，过F作FG∥BC交BD于点G，连接GM，若S△EFD= DF2，AB=4 ，则GM=　 　．
三、解答题
21．（2017九上·黑龙江开学考）先化简，再求代数式 ÷（x﹣ ）的值，其中x=2sin60°+tan45°．
22．（2017九上·黑龙江开学考）如图，每个小正方形的边长都是1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D的端点都在小正方形的顶点上．
（1）①在方格纸中画出一个以线段AB为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，并且其面积为20．
②在方格纸中以CD为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且△CDK的面积为5．
（2）在（1）的条件下，连接BK，请直接写出线段BK的长．
23．（2017九上·黑龙江开学考）如图，在 ABCD中，点E在边BC上，点F在边AD的延长线上，且DF=BE，EF与CD交于点G．
（1）求证：BD∥EF；
（2）若 = ，BE=4，求EC的长．
24．（2017九上·黑龙江开学考）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）
25．（2017九上·合肥开学考）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；
（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．
26．（2017九上·黑龙江开学考）如图，点O为正方形ABCD对角线的交点，点E，F分别在DA和CD的延长线上，且AE=DF，连接BE，AF，延长FA交BE于G．
（1）试判断FG与BE的位置关系，并证明你的结论；
（2）连接OG，求∠OGF的度数；
（3）若AE= ，tan∠ABG= ，求OG的长．
27．（2017九上·黑龙江开学考）如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=﹣ ax2+ ax+3a（a≠0）与x轴交于A和点B（A在左，B在右），与y轴的正半轴交于点C，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D为OB中点，E为CO中点，动点F在y轴的负半轴上，G在线段FD的延长线上，连接GE、ED，若D恰为FG中点，且S△GDE= ，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，动点P在线段OB上，动点Q在OC的延长线上，且BP=CQ．连接PQ与BC交于点M，连接GM并延长，GM的延长线交抛物线于点N，连接QN、GP和GB，若角满足∠QPG﹣∠NQP=∠NQO﹣∠PGB时，求NP的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：因为 ，
故答案为：D
【分析】根据零大于负数，正数大于零，两个负数比大小绝对值达的反而小进行判断即可。
2．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A.2x+3y无法计算，故此选项错误；
B.5m2 m3=5m5，故此选项正确；
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
D．m2 m3=m5，故此选项错误．
故答案为：B．
【分析】同底数的幂相乘，底数不变指数相加，单项式相乘，系数的积作积的系数，再把相同的字母按同底数的幂相乘进行计算，完全平方式的展开式是一个三项式，整式加法的实质就是合并同类项，是同类项的就合并，不是的不能合并进行判断即可。
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，
解得k＞﹣1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．
故答案为：D．
【分析】由关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，得出k≠0且△＞0，不等式组求解得出公共部分即可。
5．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】x米，则实际每天施工（x+50）米，
根据题意，可列方程： ﹣ =2，
故答案为：A．
【分析】设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设（x+50）米，接下来，用含x的式子表示实际需要的天数和计划需要的天数，最后依据原计划所用时间-实际所用时间=2列出方程即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF；
∵DE∥BC，
∴，
，
∵EF∥AB，
∴，
∴=，
故选C．
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠FBC，
则∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=6，
同理可证：DE=DC=6，
∵EF=AF+DE﹣AD=2，
即6+6﹣AD=2，
解得：AD=10；
故答案为：B．
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC，∠AFB=∠FBC，又因BF平分∠ABC，得到∠ABF=∠FBC，∠ABF=∠AFB，得到AF=AB=6，同理可证DE=DC=6，因为EF=AF+DE﹣AD=2，即6+6﹣AD=2，得到AD=BC=10.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过F作FH⊥AE于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE，
∴DE=BF，
∴AF=3﹣DE，
∴AE= ，
∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，
∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°，
∴∠DAE=∠AFH，
∴△ADE∽△AFH，
∴ ，
∴AE=AF，
∴ =3﹣DE，
∴DE= ，
故答案为：D．
【分析】 过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，进而判断出四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质得出AF=CE，进而得出AF=3﹣DE，根据勾股定理得出AE的长，再判断出△ADE∽△AFH，由相似三角形对应边成比例得出方程，求解即可。
9．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，
∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，
∴∠CAD+∠FAG=90°，
∵FG⊥CA，
∴∠GAF+∠AFG=90°，
∴∠CAD=∠AFG，
在△FGA和△ACD中，
，
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，A正确；
∵BC=AC，
∴FG=BC，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴FG∥BC，
∴四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，S△FAB= FB FG= S四边形CBFG，B正确；
∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，
∴∠ABC=∠ABF=45°，D正确；
∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，
∴△ACD∽△FEQ，
∴AC：AD=FE：FQ，
∴AD FE=AD2=FQ AC，C正确；
故答案为：B．
【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG；证明四边形CBFG是矩形，根据矩形的性质得出S△FAB= FB FG= S四边形CBFG；由等角直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例得出AD FE=AD2=FQ AC。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；②二次函数对称轴为x=﹣ =1，当a=﹣1时有 =1，解得b=3，故本选项正确；③∵x1+x2＞2，
∴ ＞1，
又∵x1﹣1＜1＜x2﹣1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m=2时，二次函数为y=﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y=﹣1+2+3=4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；
则DE= = ；D′E′= = ；
∴四边形EDFG周长的最小值为 + ，故本选项错误．
正确的有2个．
故答案为：B．
【分析】①根据二次函数所过象限，判断出Y的符号；
②根据A,B关于对称轴对称，求出b的值；
③根据若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2从而得到Q点距离对称轴较远，进而判断出y1＞y2；
④作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′， 连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值，求D、E、D′，E′的坐标即可解答。
11．【答案】5.37×107
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将53700000用科学记数法表示为：5.37×107．
故答案为：5.37×107．
【分析】科学记数法—表示绝对值较大的数，一般表示成a10n，其中1|a|10，n是原数的整数位数减一。
12．【答案】x≤
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：1﹣3x≥0，
解得：x≤ ．
故答案是：x≤ ．
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数得出不等式，求解即可。
13．【答案】a（2x+y）（2x﹣y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）
=a（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
14．【答案】﹣2＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得，x＞﹣2，
由②得，x≤3，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤3．
故答案为：﹣2＜x≤3．
【分析】由①得，x＞﹣2，由②得，x≤3，然后根据大小小大中间找得出结论。
15．【答案】8
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，
∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，
∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，
∴S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，
∵EF为△PCB的中位线，
∴EF∥BC，EF= BC，
∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，
∴S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，
∴S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
故答案为：8
【分析】过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，从而得出四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，根据平行四边形的性质得出△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，根据全等三角形的性质，知S△PDC=S△CQP，S△ABP=S△QPB，由三角形中位线定理得出EF∥BC，进而判断出△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，根据相似三角形的性质得S△PEF：S△PBC=1：4，S△PEF=2，从而利用S△PBC=S△CQP+S△QPB=S△PDC+S△ABP=S1+S2=8．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，
∴MN∥AD，MN= AD，
在Rt△ABC中，∵M是AC中点，
∴BM= AC，
∵AC=AD，
∴MN=BM，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC=30°，
∴BM= AC=AM=MC，
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，
∵MN∥AD，
∴∠NMC=∠DAC=30°，
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，
∴BN2=BM2+MN2，
∴MN=BM= AC=1，
∴BN= ．
故答案为： ．
【分析】根据三角形中位线定理得出MN=AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出=BM= AC，由此即可证明BM=MN，再证明∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，根据BN2=BM2+MN2，即可解决问题。
17．【答案】160×（1+x）2=250
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：∵2012年的利润为160万元，
∴2013年的利润为160×（1+x）万元，
∴2014年的利润为160×（1+x）2万元，
∴可列方程为160×（1+x）2=250．
故答案为160×（1+x）2=250．
【分析】这是一道平均增长率的问题，设平均每年利润增长的百分率为x，根据公式a（1+x）n=p，(a表示平均增长开始前的量，n代表增长次数，p代表增长结束达到的量）列出方程，即可。
18．【答案】8
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，
在Rt△AEH中，∠EAH=90°，AE=4，AH=a，EH=DH=8﹣a，
∴EH2=AE2+AH2，即（8﹣a）2=42+a2，
解得：a=3．
∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠BFE=∠AEH．
又∵∠EAH=∠FBE=90°，
∴△EBF∽△HAE，
∴ = = = ．
∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12，
∴C△EBF= C△HAE=8．
故答案为：8．
【分析】设AH=a，则DH=AD﹣AH=8﹣a，利用勾股定理求出a的值，再根据同角的余角相等得∠BFE=∠AEH，从而证出△EBF∽△HAE，根据相似三角形的周长比等于相似比（即对应边的比）即可得出结论.
19．【答案】6或
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，
Rt△ADE中，cos∠CAD= = ，即 = ，
∴AE= ， 分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，过B作BF⊥AD于F，过D作DE⊥AD交AC的延长线于E，在Rt△ADE中根据锐角三角函数的定义得出AE的长，
∵BD=3CD，DE∥BF，
∴ = = ，
设CE=x，则CG=2x，GE=3x，
∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD，
∴AG=GE=3x，
∴AE=6x，AC=5x，
∴AC= AE= × =6；②如图所示，当C在BD的延长线上时，过B作BF⊥AD于F，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
∵AB=BD，BF⊥AD，
∴AF=FD= AD=3，
∵CE∥BF，BD=3CD，
∴ = = ，
∴ = ，即DE=1，
∴AE=6+1=7，
∵Rt△ACE中，cos∠CAD= ，
∴ = ，即 = ，
∴AC= ．
综上所述，AC的长为6或 ．
故答案为：6或 ．
【分析】 分两种情况：①如图所示，当点C在线段BD上时，②如图所示，当C在BD的延长线上时，分别根据平行线分线段成比例定理，求得AE与AC的数量关系，最后根据AE的长求得AC的长。
20．【答案】8（ ﹣1）
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCM=90°，BC=DC，
∵BE⊥DM，
∴∠BEM=90°，
∴∠CBF+∠BME=90°，∠BME+∠CDM=90°，
∴∠CBF=∠CDM，
∴△BCF≌△DCM，
∴BF=DM，CF=CM，
∴∠FMB=∠GBM=45°，
∵FG∥BM，
∴四边形BMFG是等腰梯形，
∴GM=BF=DM，
∵S△DEF= DF EH= DF2，
∴EH= DF，即DF=4EH，
∵△DEF∽△DNC∽△DCM，
∴CD=4NK，DM=4CN，
∵AB=CD=4 ，
∴NK= ，设CK=x，则DK=4 ﹣x，
∵△DKN∽△NKC，
∴NK2=DK KC，
∴2=x（4 ﹣x），
∴x=2 ﹣ 或2 + （舍弃），
在Rt△CKN中，CN= = =2（ ﹣1），
∴GM=DM=4CN=8（ ﹣1）．
故答案为8（ ﹣1）．
【分析】如图，作EH⊥CD于H，CN⊥DM于N，NK⊥CD于K．首先证明△BCF≌△DCM，推出BF=DM，CF=CM，四边形BMFG是等腰梯形，进一步推出GM=BF=DM，由三角形的面积推出EH=DF，即DF=4EH，由△DEF∽△DNC∽△DCM，可得CD=4NK，DM=4CN，由△DKN∽△NKC，得出NK2=DK KC，从而得出方程求解，然后根据勾股定理得出CN，从而得出答案。
21．【答案】解：当x=2× +1= +1时， 当x=+1时，原式==
∴原式= ×
=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把整式看成分母为一然后通分进行分式的加法，然后算除法，分子分母分别分解因式，能约分的必须约分化简，然后利用特殊锐角的三角函数值对x进行化简，再代入求值，计算的最后结果化为最简形式。
22．【答案】（1）解：如图所示：菱形ABEF，等腰三角形CDK即为所求；
（2）解：如图所示：线段BK的长为：BK= = ．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性质结合勾股定理得出符合题意的图形；
（2）结合等腰三角形的性质及三角形的面积求法得出答案；
（3）直接利用勾股定理得出答案。
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∵DF=BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD∥EF；
（2）解：∵四边形BEFD是平行四边形，∴DF=BE=4．∵DF∥EC，
∴△DFG∽△CEG，
∴ = ，∴CE= =4× =6．
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，又DF=BE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形BEFD是平行四边形，再利用平行四边形的对边平行得出BD∥EF；
（2）根据平行四边形的性质得出DF=BE=4．根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所得的三角形与原三角形相似得出△DFG∽△CEG，再由相似三角形对应边成比例得出结论。
24．【答案】解：过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中，∠ABF=∠α=60°，则AF=ABsin60°=10 m，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，则AE= =10 m．答：改造后的坡长AE为10 m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点A作AF⊥BC于点F，在Rt△ABF中∠ABF=∠α=60°，利用正弦的定义得出AF的长度，在Rt△AEF中，∠E=∠β=45°，再利用正弦定义得出AE的长即可。
25．【答案】（1）解：根据题意得：（30﹣2x）x=72，解得：x=3，x=12，
∵30﹣2x≤18，
∴x=12；
（2）解：设苗圃园的面积为y，∴y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，∵a=﹣2＜0，∴苗圃园的面积y有最大值，∴当x= 时，即平行于墙的一边长15＞8米，y最大=112.5平方米；
∵6≤x≤11，
∴当x=11时，y最小=88平方米；
（3）解：由题意得：﹣2x2+30x≥100，∵30﹣2x≤18
解得：6≤x≤10．
【知识点】一元二次方程的其他应用；解一元一次不等式组；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据苗圃园的面积=72平方米，垂直于墙的一边的长2+平行于墙的一边长=30，设未知数建立方程求解，再根据30﹣2x≤18，求出x的取值范围，即可得出符合条件的x的值。
（2）设苗圃园的面积为y，建立y与x的函数关系式，再根据8，8≤30﹣2x≤18，求出自变量的取值范围，根据二次函数的性质，求出结果。
（3）根据这个苗圃园的面积≥100及30﹣2x≤18，即可求解。
26．【答案】（1）解：FG⊥BE，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠EAB=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中， ，
∴△ABE≌△DAF，
∴∠E=∠AFD，
∵∠EAG=∠DAF，
∴∠AGE=∠ADF=90°，
∴FG⊥BE；
（2）解：连接OA，OB，
∵点O为正方形ABCD对角线的交点，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∵∠AGB=90°，
∴A，G，B，O四点共圆，
∴∠AGO=∠ABO=45°；
（3）解：∵AE= ，tan∠ABG= ，
∴AB=2 ，
∴BE= =5，AO=BO= ，
∴AG= =2，
∴BG= =4，
过A作AM⊥OG于M，过B作BN⊥OG于N，
则△AGM，△BNG是等腰直角三角形，
∴BN=GN=2 ，AM=GM= ，
∵S四边形AGBO=S△AGB+S△AOB=S△BOG+S△AOG，
∴ AG BG+ AO BO= OG BN+ OG AM，
即 ×2×4+ = 2 OG+ OG，
∴OG=3 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°然后证出△ABE≌△DAF，依据三角形全等的性质得出∠E=∠AFD，从而得出结论；
（2）连接OA，OB，依据正方形的性质得出△AOB是等腰直角三角形，推出A，G，B，O四点共圆，根据圆周角定理得出结论；
（3）根据三角函数的定义得出AB的长，根据勾股定理得BE的长，OA=OB，根据三角形的面积公式得出AG的长，从而利用勾股定理得出BG的长，过A作AM⊥OG于M，过B作BN⊥OG于N，根据等腰直角三角形得性质得到BN=GN，AM=GM根据图形的面积列出方程即可求解。
27．【答案】（1）解：将y=0代入得：y=﹣ ax2+ ax+3a，
∵a≠0，
∴﹣ x2+ x+3=0．
解得：x1=﹣ ，x2=6．
∴A（﹣ ，0）、B（6，0）．
∴OB=6．
∵将x=0代入抛物线的解析式得：y=3a，
∴C（0，3a）．
∴OC=3a．
∵OB=0C，
∴3a=6．
解得：a=2，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+6；
（2）解：如图1所示：连接GB．∵E、D分别是OC、0B的中点，∴OE=3，OD=BD．在△ODF和△GDB中，
，
∴△ODF≌△GDB，
∴BG=OF，∠GBD=∠FOD=90°，
∵S△EDG=S△EFG﹣S△EFD，
∴ EF OB﹣ EF OD= ，即3EF﹣ EF= ，解得：EF=9；∴OF=EF﹣OE=9﹣3=6，∴F（0，﹣6）；
（3）解：如图2所示：过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R，NH⊥x轴于H，∵TP∥OQ，∴∠MPT=∠MQC，∠PTM=∠QCM，∵OB=0C=6，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠PBT=∠PTB=45°，∴PT=PB=CQ，在△PTM和△QCM中，
，
∴△PTM≌△QCM，
∴PM=QM，
∵GB⊥x轴，∴BG∥y轴∥PT，∴∠BGP=∠TPG．∵∠QPG﹣∠NQO=∠NQP﹣∠PGB，∴∠QPT+∠TPG﹣∠NQO=∠NQO+∠OQP﹣∠PCB，∵∠QPT=∠OQP，∠TPG=∠PGB，∴2∠TPG=2∠NQO，∴∠TPG=∠NQO，∴∠NQP=∠GPQ，在△NMQ和△GMP中， ，
∴△NMQ≌△GMP，
∴NQ=GP，
在Rt△QNR和Rt△GPB中， ，
∴△QNR≌△GPB，
∴QM=BG=6，NR=PB=CQ．设N（t，﹣ t2+ t+6）．∵QO=QC+CO=QR+RO，∴QC=RO，
∴NR=RO，
∴﹣t=﹣ t2+ t+6，解得：t1=﹣2，t2=8（舍去）．∴N（﹣2，2），∴NH=2，OH=NR=2．∴PH=OB=6，∴PN= =2 ，∴线段NP的长为2 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】 （1）令y=0可求得点A,B的坐标，将x=0代入抛物线的解析式求得点C的坐标，然后根据OB=OC可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连接GB．首先依据SAS证明△ODF≌△GDB，从而得到BG=OF，接下来依据S△EDG=S△EFG﹣S△EFD可求得EF的长，从而得到BG的长，故此可得到点F的坐标；
(3)过点P作PT∥y轴，交BC与点T，过点N作NR⊥y轴，垂足为R，NH⊥x轴于H，首先证明PT=PB=CQ，然后依据SAS证明△PTM≌△QCM，于是得到PM=QM，再证明△NMQ≌△GMP，得到NQ=GP，再证明△QNR≌△GPB，得到NR=RO，从而列出关于t的方程，求得NR的长，最后在Rt△NHP中依据勾股定理得出结论。
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