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微专题3 巧作一条平行线
1．如图1是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
图1
2．（2018广西）如图2，直线a//b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3的度数为 ．
图2
3．如图3，CD//AE，AB⊥AE，求∠ABC+∠BCD的度数．
图3
4．如图4，已知AB//ED，∠4=125°，∠ACD=80°，求∠D的度数．
图4
5．如图5，已知AB//DE，求∠B、∠BCD、∠D三者之间的数量关系．
图5
6．如图6，已知点A在DB上，∠EAC=90°，∠1=∠C，∠2=∠E．求证：DE//BC．
图6
7．已知AB//DE．
（1）如图7，猜想∠BAC+∠ACD+∠CDE的度数为 ，并证明你的结论；
图7
（2）如图8，若∠BAC的平分线、∠CDE的平分线相交于点G，猜想∠ACD与∠G的数量关系，并证明你的结论．
图8
8．问题：已知线段AB//CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
图9 图10 图11 图12
（1）端点A、C同向．
如图9，点P在直线AC右侧时，∠APC－（∠A+∠C）= 度；
如图10，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）= 度；
（2）端点A、C反向．
如图11，点P在直线AC右侧时，∠APC与（∠A－∠C）有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图12，点P在直线AC左侧时，∠APC－（∠A－∠C）= 度．

微专题3 巧作一条平行线
1．如图1是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（ ）
A．90° B．100° C．120° D．140°
答案：B
图1
2．（2018广西）如图2，直线a//b，∠1=85°，∠2=35°，则∠3的度数为 ．
图2
答案：50°
3．如图3，CD//AE，AB⊥AE，求∠ABC+∠BCD的度数．
图3
答案：
解：过B作BF//CD，则BF//AE，∴∠ABF=90°，∠CBF+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠BCD=270°
4．如图4，已知AB//ED，∠4=125°，∠ACD=80°，求∠D的度数．
图4
答案：
解：过点C作CF//AB，∴∠A+∠ACF=180°，又∵∠A=125°，∴∠ACF=55°，∵∠ACD=80°，∴∠DCF=∠ACD－∠ACF=25°，∵AB//ED，CF//AB，∴CF//ED，∴∠D=∠DCF=25°．
5．如图5，已知AB//DE，求∠B、∠BCD、∠D三者之间的数量关系．
图5
答案：
解：过点C作CF//AB，∴∠BCF=∠B，∴∠DCF=∠BCF－∠BCD=∠B－∠BCD，又∵AB//DE，CF//AB，∴CF//DE，∴∠DCF+∠D=180°，∴∠B－∠BCD+∠D=180°．
6．如图6，已知点A在DB上，∠EAC=90°，∠1=∠C，∠2=∠E．求证：DE//BC．
图6
答案：
解：作AM//DE，则∠E=∠EAM=∠2，∵∠EAC=90°，∴∠1+∠2=180°－∠EAC=90°，又∠EAC=∠EAM+∠MAC=90°，∴∠MAC=∠1=∠C，∴AM//BC，又AM//DE，∴DE//BC．
7．已知AB//DE．
（1）如图7，猜想∠BAC+∠ACD+∠CDE的度数为 ，并证明你的结论；
图7
答案：猜想360°
证明：过点C作CF//AB，∴∠BAC+∠ACF=180°①
∵AB//DE，CF//AB，∴CF//DE，∴∠DCF+∠CDE=180° ②
∴①+②得∠BAC+∠ACF+∠DCF+∠CDE=360°
即∠BAC+∠ACD+∠CDE=360°
（2）如图8，若∠BAC的平分线、∠CDE的平分线相交于点G，猜想∠ACD与∠G的数量关系，并证明你的结论．
图8
答案：
解：∠ACD+2∠G=360°．证明如下：
过点G作GP//AB，∴∠AGP=∠BAG，∵AB//DE，GP//AB，∴GP//DE，∴∠DGP=∠EDG，∴∠AGD=∠AGP+∠DGP=∠BAG+∠EDG，∵AG平分∠BAC，DG平分∠CDE，∴∠BAC=2∠BAG，∠CDE=2∠EDG，又由（1）知∠BAC+∠ACD+∠CDE=360°，∴∠ACD+2∠BAG+2∠EDG=360°，∴∠ACD+2∠AGD=360°．
8．问题：已知线段AB//CD，在AB、CD间取一点P（点P不在直线AC上），连接PA、PC，试探索∠APC与∠A、∠C之间的关系．
图9 图10 图11 图12
（1）端点A、C同向．
如图9，点P在直线AC右侧时，∠APC－（∠A+∠C）= 度；
如图10，点P在直线AC左侧时，∠APC+（∠A+∠C）= 度；
（2）端点A、C反向．
如图11，点P在直线AC右侧时，∠APC与（∠A－∠C）有怎样的等量关系？写出结论并证明；
如图12，点P在直线AC左侧时，∠APC－（∠A－∠C）= 度．
答案：（1）0，360，180；
解：（2）∠APC+（∠A－∠C）=180°，证明略

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