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(共22张PPT)
21.4小结
第1课时
一元二次方程
知识梳理
基本概念
一元二次方程
一般形式
一元二次方程的解
是整式方程
只含有一个未知数
未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0(a≠0)
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
知识梳理
解法
直接开平方法
配方法
因式分解法
利用平方根的意义直接降次
对方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式
左边配成完全平方式的形式，右边为常数
公式法
知识梳理
根的判别式
时，方程有两个不相等的实数根
时，方程有两个相等的实数根
时，方程无实数根
知识梳理
根与系数的关系
知识梳理
一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2
＋
bx
＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
知识梳理
3.项数和系数：
ax2
＋
bx
＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
二次项：
ax2
二次项系数：a
一次项：
bx
一次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1)只含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．
知识梳理
解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法
适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
x2
+
px
+
q
=
0
（p2
-
4q
≥0）
(x+m)2＝n（n
≥
0）
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0
，
b2
-
4ac≥0)
(x
+
m)
（x
+
n）＝0
各种一元二次方程的解法及适用类型
知识梳理
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的根与系数的关系
数学语言
文字语言
一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
使用条件
1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为
0；
2.方程有实数根，即
Δ≥0.
重要结论
重点解析
1
若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是(
)
A.
m≠1
B.
m=1
C.
m≥1
D.
m≠0
解：本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项(二次项系数不为0)，因此它的系数m-1≠0，即m≠1，故选A.
A
重点解析
2
解：根据一元二次方程根的定义可知，将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程，即m2-1=0，解得m=±1.又二次项系数不能为0，所以m≠1，即m=-1.
若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m=
.
-1
这种解题方法我们称之为“有根必代”.
重点解析
3
解：配方法的关键是配上一次项系数一半的平方.
用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为(
)
A.
(x-1)2=6
B.(x+2)2=9
C.
(x+1)2=6
D.(x-2)2=9
A
重点解析
4
解：解方程x2-13x+36=0得
x1=9，x2=4，
即第三边长为9或4．
边长为9，3，6不能构成三角形；
而4，3，6能构成三角形，
所以三角形的周长为3+4+6=13，
故选A．
三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为(
)
A.13
B.15
C.18
D.13或18
A
重点解析
5
已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是(
)
A.
B.m<2
C.m
≥0
D.m<0
A
解：根据方程根的情况可知此方程的根的判别式
>0，
即(-4)2-4×1×(-3m)=16+12m>0，
解得
，
故选A.
重点解析
6
已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根分别为m，n，则m2－mn＋n2＝
．
25
解：根据根与系数的关系可知
m+n=4，mn=-3.
m2－mn＋n2
=m2+n2-mn
=(m+n)2-3mn
=42-3
×(-3)
=25.
深化练习
1
(1)
方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是
，一次项系数是
，常数项是
.
4
-2
0
(2)
一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则
p
的值为
.
-1
解：把
x=2代入方程
x2+px-2=0得
4+2p-2=0，解得
p=-1．
深化练习
2
菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2-7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为(
)
A.
16
B.
12
C.
16或12
D.
24
A
解：方程x2-7x+12=0可转化为(x-3)(x-4)=0，
x-3=0或
x-4=0，
所以x1=3，x2=4，
因为菱形ABCD的一条对角线长为6，
所以边AB的长是4，
所以菱形ABCD的周长为16．
故选A．
用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).
深化练习
3
公式法：,
,
方程有两个不相等的实数根，
，
即
.
深化练习
3
用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0(要求写出必要解题步骤).
配方法：移项，得，
配方，得
，
(x-2)2=5，
由此可得
，
即
.
深化练习
4
下列所给方程中，没有实数根的是(
)
A.
x2+x=0
B.
5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D.
4x2-5x+2=0
D
解：
对于A，=12-4×1×0=1＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
对于B，=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
对于C，=(-4)2-4×3×1=4＞0，所以方程有两个不相等的实数根；
对于D，=(-5)2-4×4×2=-7＜0，所以方程没有实数根．
故选D．
深化练习
5
若关于
x
的一元二次方程
x2-x+m=0
有两个不相等的实数根，则
m
的值可能是　　(写出一个即可)．
0
解：因为一元二次方程
x2-x+m=0有两个不相等的实数根，
所以=1-4m＞0，
解得
m＜，
故m的值可能是0．
深化练习
6
已知方程2x2+4x?3=0的两根分别为x1和x2，则
的值等于(
)
A.
7
B.
?2
C.
D.
A
解：因为方程
2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2，
所以
x1+x2=?2，x1x2=，
所以
=(x1+x2)2?2x1x2=7．

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