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《一元二次方程》
单元练习题
一．选择题
1．已知x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0的一个根，那么直线y＝mx经过的象限是（　　）
A．第一、三象限
B．第二、四象限
C．第一、二象限
D．第三、四象限
2．一元二次方程x2+4x+5＝0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有一个实根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
3．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1?x2的值是（　　）
A．5
B．﹣5
C．6
D．﹣6
4．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣9＝0，可变形为（　　）
A．（x﹣2）2＝9
B．（x﹣2）2＝13
C．（x+2）2＝9
D．（x+2）2＝13
5．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣1
B．x2﹣2x＝2x2﹣1
C．ax2+bx+c＝0
D．x+＝2
6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A．3x2+2x﹣1＝0
B．2x2+4x﹣1＝0
C．﹣x2﹣2x+3＝0
D．3x2﹣2x﹣1＝0
7．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2017年手机支付用户约为3.56亿人，连续两年增长后，2019年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为（　　）
A．3.56（1+x）＝5.27
B．3.56（1+2x）＝5.27
C．3.56（1+x2）＝5.27
D．3.56（1+x）2＝5.27
8．一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（　　）
A．10%
B．15%
C．18%
D．20%
9．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）
A．32x+2×20x﹣2x2＝570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝32×20﹣570
D．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
10．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为（　　）
A．6.5
B．7
C．6.5或7
D．8
二．填空题
11．方程x2＝2020x的两根之和是　
　．
12．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为
　
　．
13．在元旦前夕，某通讯公司的每位员工都向本公司的其他员工发出了1条祝贺元旦的短信．已知全公司共发出2450条短信，那么这个公司有员工　
　人．
14．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　
　．
15．学校打算用长16m的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小动物，生物园的一面靠墙（如图），面积是30m2，求生物园的长和宽．设生物园的宽（与墙相邻的一边）为xm，则列出的方程为　
　．
三．解答题
16．解下列一元二次方程：
（1）x2+4x﹣8＝0；
（2）（x﹣3）2＝5（x﹣3）；
（3）2x2﹣4x＝1（配方法）．
17．关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）已知等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．
18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天赢利600元，每件衬衫应降价多少元？
19．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？
20．学了一元二次方程的根与系数的关系后，小亮兴奋地说：“若设一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1，x2，由根与系数的关系有x1+x2＝﹣，x1x2＝，由此就能快速求出，x12+x22，…的值了．比如设x1，x2是方程x2+2x+3＝0的两个根，则x1+x2＝﹣2，x1x2＝3，得．
（1）小亮的说法对吗？简要说明理由；
（2）写一个你最喜欢的一元二次方程，并求出两根的平方和；
（3）已知2﹣是关于x的方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求方程的另一个根与c的值．
21．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1．由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0），若10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．
参考答案
一．选择题
1．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+mx+4m2﹣4＝0有一个根是0，
∴4m2﹣4＝0，
解得：m＝±1，
根据题意，得m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1．
∴直线y＝mx经过的象限是第二、四象限．
故选：B．
2．解：∵△＝42﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程无实数根．
故选：A．
3．解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，
∴x1?x2＝＝＝5，
故选：A．
4．解：∵x2﹣4x﹣9＝0，
∴x2﹣4x＝9，
则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，
故选：B．
5．解：A、方程整理得：x2﹣4x+3＝x2﹣1，即4x﹣4＝0，不符合题意；
B、方程整理得：x2+2x﹣1＝0，符合题意；
C、当a＝0时，方程为bx+c＝0，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不符合题意，
故选：B．
6．解：A、3x2+2x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
B、2x2+4x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
C、﹣x2﹣2x+3＝0中，x＝，不合题意；
D、3x2﹣2x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
7．解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，
依题意，得：3.56（1+x）2＝5.27．
故选：D．
8．解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得：
100×（1﹣x）2＝81，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去），
故选：A．
9．解：设道路的宽为xm，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：D．
10．解：∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程kx2﹣（k+3）x+6＝0的两根，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
∴一元二次方程为x2﹣6x+6＝0，
∴两腰之和为＝4，
∴△ABC的周长为4+3＝7，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．解：方程化为一般式：x2﹣2020x＝0，
设方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝2020，
故答案为2020．
12．解：根据题意△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，
解得m1＝0，m2＝2，
而m≠0，
∴m＝2，
此时方程化为2m2﹣5x+3＝0，
（2x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x1＝，x2＝1．
故答案为x1＝，x2＝1．
13．解：设这个公司有员工x人，则每人需发送（x﹣1）条祝贺元旦的短信，
依题意，得：x（x﹣1）＝2450，
解得：x1＝50，x2＝﹣49（不合题意，舍去）．
故答案为：50．
14．解：令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2﹣≥，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023，
故答案为：2023．
15．解：设宽为x
m，则长为（16﹣2x）m．
由题意，得
x（16﹣2x）＝30，
故答案为：x（16﹣2x）＝30．
三．解答题（共6小题）
16．解：（1）∵x2+4x﹣8＝0，
∴x2+4x＝8，
则x2+4x+4＝8+4，
即（x+2）2＝12，
∴x+2＝±2，
∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2；
（2）∵（x﹣3）2＝5（x﹣3），
∴（x﹣3）2﹣5（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（x﹣3﹣5）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣8＝0，
解得：x1＝3，x2＝8；
（3）方程两边同除以2，变形得x2﹣2x＝，
配方，得x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
17．解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，
解得m≥2；
（2）∵等腰△ABC的底边长为4，另两边的长恰好是方程的两个根，
∴方程有两个相等的实数解，
∴△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）＝0，解得m＝2，
此时方程为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，
∴△ABC的周长＝3+3+4＝10．
18．解：设每件衬衫降价x元，则每件赢利（40﹣x）元，每天可以售出（10+x）件，
依题意，得：（40﹣x）（10+x）＝600，
整理，得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，
∴x的值应为20．
答：若商场平均每天要盈利600元，每件衬衫应降价20元．
19．解：（1）设BC＝xm，则AB＝（33﹣3x）m，
依题意，得：x（33﹣3x）＝90，
解得：x1＝6，x2＝5．
当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，
当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞18，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC＝ym，则AB＝（33﹣3y）m，
依题意，得：y（33﹣3y）＝100，
整理，得：3y2﹣33y+100＝0．
∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，
∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
20．解：（1）小亮的说法不对
若有一根为震，就无法计算的值了，因为零作除数无意义．
（2）所喜欢的一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0，
设方程的两个根分别是为x1，x2，
∴x1+x2＝5，x1x2＝﹣6，
又∵，
代入得：＝52﹣2×（﹣6）＝37；
（3）把x＝2﹣代入方程得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得c＝1，
则x1+x2＝4，
则．
21．解：根据题意，得：2（1+2x）×200（1+2x）+（1+4x）×100（1+x）＝（2×200+1×100）（1+4.4x），
整理，得：20x2﹣x＝0，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝0（不合题意，舍去）．
答：x的值是5%．

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