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(共39张PPT)
4.4　对数函数
第1课时　对数函数及其图象、性质(一)
课标定位
素养阐释
1.掌握对数函数的概念.
2.掌握对数函数的图象与性质,能够利用性质解决问题.
3.了解反函数的概念,知道指数函数与对数函数互为反函数.
4.感悟数学抽象的过程,体会数学直观在解决数学问题中的应用.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思
想
方
法
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
一、对数函数的概念
【问题思考】
1.指数函数y=2x的定义域、值域、单调性分别是什么?
提示:定义域为R,值域为(0,+∞),在R上单调递增.
2.将y=2x化为对数式得到什么结果?根据这一结果,对于区间(0,+∞)内的每一个y的值,是否都有唯一的实数x与之对应?x能否看作是关于y的函数?
提示:x=log2y,对于区间(0,+∞)内的每一个y的值,都有唯一的实数x与之对应,x能看作是关于y的函数.
3.填空:一般地,函数y=
logax
(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是
(0,+∞)
.
答案:D
二、对数函数的图象与性质
【问题思考】
1.函数的性质包括哪些?如何探索对数函数的性质?
提示:函数的性质通常包括定义域、值域、单调性、最值、奇偶性等.先通过列表、描点、连线的方法画具体的对数函数的图象,再研究其性质,最后推广到一般.
2.填写下表:对数函数的图象与性质
答案:D
三、反函数
【问题思考】
给出函数f(x)=2x,g(x)=log2x.
1.这两个函数的定义域、值域之间有什么关系?
提示:f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域.
2.在同一坐标系中作出这两个函数的图象,观察它们有什么关系?
提示:f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称.
3.填空:(1)一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.
(2)互为反函数的两个函数的图象关于直线
y=x
对称.
答案:1
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)对数函数的定义域为R.(
×
)
(2)函数y=log2x2与y=logx2都不是对数函数.(
√
)
(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧.(
√
)
(4)函数y=log2x与y=x2互为反函数.(
×
)
(5)对数函数在其定义域上一定是单调函数.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
对数函数的概念及定义域
答案:(1)2　
(2){x|x<4,且x≠-2}
反思感悟
1.求对数函数的解析式,主要采用待定系数法,通过图象上一个点的坐标即可确定对数函数的解析式.
2.判断一个函数是不是对数函数的依据
(1)形如y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数;(4)定义域为(0,+∞).
3.求与对数函数有关函数的定义域,可参照一般函数定义域的求法,但要注意:对数的真数必须大于0,底数必须大于0且不等于1.
答案:(1)D　(2){x|x>3,且x≠4}
探究二
对数函数的图象及其应用
【例2】
(1)已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图象不经过(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)若函数f(x)=loga(2x-3)-4(a>0,且a≠1)的图象一定经过定点P,则点P的坐标为　　　　　.?
解析:(1)由题意可知函数y=loga(x-b)的图象如图所示,故选D.
(2)令2x-3=1,得x=2.于是f(2)=loga(2×2-3)-4=0-4=-4,所以图象经过定点P(2,-4).
答案:(1)D　(2)(2,-4)
反思感悟
解决对数函数图象有关问题的基本方法
(1)给出函数的解析式判断函数的图象,应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种;然后找出函数图象的特殊点,判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等;最后综合上述几个方面将图象选出,解决此类题目常采用排除法.
(2)根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数,根据在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数的大小.
(3)求函数y=m+logaf(x)(a>0,且a≠1)的图象过定点时,只需令f(x)=1,求出x,即得定点为(x,m).
【变式训练2】
(1)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=logbx的图象,则(　　)
A.0B.0C.a>b>1
D.b>a>1
(2)若函数f(x)=loga(x-m)+n(a>0,且a≠1)恒过定点(-2,1),则实数m,n的值分别为　　　　　.?
解析:(1)作直线y=1,则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0(2)由已知得f(-2)=1,因此-2-m=1,0+n=1,故m=-3,n=1.
答案:(1)B　(2)-3,1
探究三
对数函数的单调性及其应用
解:(1)设f(x)=log3x,因为3>1,
所以f(x)在区间(0,+∞)内是单调递增函数.
又因为0.7<0.8,所以f(0.7)即log30.7(3)因为log0.61.4log0.81=0,所以log0.61.4(4)因为log78>log77=1,log95所以log78>log95.
(5)当a>1时,因为函数y=logax在区间(0,+∞)内是单调递增函数,所以loga3当0loga4.
本例中,将(5)改为:若loga3>logb3>0,试比较a,b的大小.
反思感悟
比较对数值大小的几种常用方法
(1)同底的利用对数函数的单调性.
(2)底数不同但真数相同的利用对数换底公式转化或直接利用函数的图象.
(3)底数和真数都不同的,找中间量.
(4)底数为相同参数但取值范围不确定,应对底数的取值范围分类讨论并结合单调性比较.
思
想
方
法
分类讨论在解决对数函数问题中的应用
【典例】
若
,试确定参数m的取值范围.
审题视角:已知条件中对数的底数为参数m,且问题与比较大小有关,因此可先将不等式的两边化为底数相同的对数,再对m的取值范围分类讨论,以确定相应函数的单调性,从而建立关于m的不等式,求得m的取值范围.
方法点睛
1.解答含参数的问题,往往需要对参数进行分类讨论.
2.本题因m的取值范围不确定,导致相应函数的单调性不同,从而需要讨论.
3.在分类讨论的每一种情况中,求得的参数取值范围要与讨论前提中的取值范围取公共部分.
4.针对参数的所有情况讨论完成后,应将结论进行整合.
【变式训练】
若函数f(x)=3+logax(a>0,且a≠1)在区间[5,10]上的最大值与最小值之差为2,求实数a的值.
随
堂
练
习
1.下列函数为对数函数的是(　　)
A.y=logax+1(a>0,且a≠1)
B.y=loga(2x)(a>0,且a≠1)
C.y=log(a-1)x(a>1,且a≠2)
D.y=lgxa(a>0,且a≠1)
答案:C
2.函数y=log2(x-2)的定义域是(　　)
A.(0,+∞)
B.(1,+∞)
C.(2,+∞)
D.[4,+∞)
解析:由已知得x-2>0,所以x>2,即函数的定义域为(2,+∞).
答案:C
3.函数f(x)=loga(x+2)(0(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:因为f(x)=loga(x+2)(0所以其图象如下图所示,故选A.
?
答案:A
4.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是
　　　　　.?
解析:因为y=logax的图象恒过点(1,0),
所以令x-3=1,即x=4,可得y=-1.
答案:(4,-1)(共41张PPT)
4.4　对数函数
第2课时　对数函数及其图象、性质(二)
课标定位
素养阐释
1.掌握对数型函数的奇偶性及其应用.
2.掌握对数型函数的单调性及其应用.
3.掌握对数函数与指数函数的综合问题.
4.感悟逻辑推理的过程,提高逻辑推理以及数学运算能力.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思
想
方
法
随
堂
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自主预习·新知导学
一、对数型函数的奇偶性
【问题思考】
(2)对于?x∈(-b,b),f(x)与f(-x)有何关系?
答案:A
二、对数型函数的单调性
【问题思考】
1.给出函数f(x)=logag(x)(a>0,a≠1).
(1)该函数的定义域如何确定?
提示:由g(x)>0确定函数的定义域;
(2)若令t=g(x),则有y=logat,设I为函数定义域的一个子区间.①当a>1时,若在区间I上,t随x的增大而增大,则y随t怎样变化?y随x怎样变化?②当0提示:①y随t的增大而增大,y随x的增大而增大;②y随t的增大而减小,y随x的增大而减小.
2.填空:(1)若a>1,则函数f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递增区间与函数定义域的交集,f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的
单调递减区间与函数定义域的交集;
(2)若00,且a≠1)的单调递增区间就是g(x)的单调递减区间与函数定义域的交集;f(x)=logag(x)(a>0,且a≠1)的单调递减区间就是g(x)的
单调递增区间与函数定义域的交集.
3.做一做:函数f(x)=log4(9-x2)的单调递增区间是　　　　　,单调递减区间是　　　　　.?
解析:由9-x2>0得函数定义域为(-3,3),当x∈(-3,0)时,t=9-x2单调递增,所以f(x)在区间(-3,0)内单调递增;当x∈(0,3)时,t=9-x2单调递减,所以f(x)在区间(0,3)内单调递减.
答案:(-3,0)　(0,3)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)函数f(x)=loga(1+x)+loga(1-x)(a>0,且a≠1)是一个偶函数.(
√
)
(2)函数f(x)=log3g(x)的单调递增区间就是函数g(x)的单调递增区间.(
×
)
(4)函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1)在其定义域上是增函数.
(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
对数型函数的奇偶性及其应用
反思感悟
判断对数型函数奇偶性的方法
判断对数型函数奇偶性的方法与一般函数奇偶性的判断方法基本一样,先考查函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下,再探究f(-x)与f(x)的关系,这时往往需要将f(-x)的表达式利用对数运算法则和性质进行转化变形,以明确f(-x)与f(x)的关系,从而得出奇偶性的结论.
探究二
对数型函数的单调性及其应用
反思感悟
求复合函数的单调性要抓住两个要点
(1)函数的单调区间必须是定义域的子集,哪怕一个端点都不能超出其定义域;
(2)若f(x),g(x)单调性相同,则f(g(x))为增函数;若f(x),g(x)单调性相反,则f(g(x))为减函数,简称“同增异减”.
【变式训练1】
若函数f(x)=loga(6-ax)在区间[0,2]上为单调递减函数,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)
B.(1,3)
C.(1,3]
D.[3,+∞)
解析:函数f(x)由y=logau,u=6-ax复合而成.因为a>0,所以u=6-ax在区间[0,2]上是单调递减函数.因为f(x)在区间[0,2]上为单调递减函数,所以函数y=logau在区间[0,2]上为单调递增函数.所以a>1.又当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3,所以1答案:B
探究三
对数函数与指数函数的综合问题
【例3】
已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)解方程:f(2x)=loga(ax+1).
解:(1)由ax-1>0,得ax>1.
所以当a>1时,函数的定义域为(0,+∞);当0(2)当a>1时,设0-1>0,
所以loga(-1)>loga(-1),即f(x2)>f(x1).
所以当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)内是单调递增函数.
同理可得,当0(3)由f(2x)=loga(ax+1),得loga(a2x-1)=loga(ax+1),即a2x-1=ax+1,即a2x-ax-2=0,即ax=2(舍去ax=-1).所以x=loga2.
反思感悟
指数函数与对数函数的综合问题常以这两类函数为依托,考查指数运算、对数运算、两类函数的图象与性质、函数单调性、值域等,熟悉常见函数的图象和性质是求解问题的关键.
【变式训练2】
设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.
(1)求a,b的值;
(2)当x∈[1,3]时,求f(x)的最大值.
思
想
方
法
对数函数问题中的转化与化归思想
【典例】
求函数f(x)=log2(4x)·log2(2x)在区间
上的最值,并求出取最值时对应的x的值.
审题视角:利用对数的运算性质将f(x)的解析式用log2x表示,即可通过换元转化为二次函数在闭区间上的最值问题.
方法点睛
1.合理运用对数的运算性质是解决本题的关键.
2.换元后一定要注意新元的取值范围.
3.二次函数在闭区间上的最值要结合对称轴以及给定区间进行分析求解.
4.求得最值后要通过取得最值时t的值,换算为自变量x的值作答.
随
堂
练
习
1.函数f(x)=x3[ln(1-x)-ln(1+x)]是(　　)
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
解析:因为函数f(x)的定义域为(-1,1),?x∈(-1,1),有-x∈(-1,1),且f(-x)=(-x)3[ln(1+x)-ln(1-x)]=x3[ln(1-x)-ln(1+x)]=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
答案:B
2.已知函数y=loga(2-ax)在区间[0,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)
B.(0,2)
C.(1,2)
D.[2,+∞)
解析:由已知可得a>1,当x∈[0,1]时,2-ax>0恒成立,所以a<2.所以1答案:C
3.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)
B.(0,1)∪(1,2)
C.(1,2)
D.[2,+∞)
解析:令t=x2-ax+1,则y=logat,要使y有最小值,则a>1且Δ=a2-4<0,即1答案:C
4.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增减性相同,那么a的取值范围是　　　　　.?
答案:(1,2)
(1)求a的值与函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,求实数m的取值范围.
(2)由(1)知,f(x)+log2(x-1)=log2(1+x).
当x>1时,x+1>2,故log2(1+x)>log22=1.
当x∈(1,+∞)时,f(x)+log2(x-1)>m恒成立,可知m≤1.
故m的取值范围是(-∞,1].(共40张PPT)
4.4　对数函数
第3课时　不同函数增长的差异
课标定位
素养阐释
1.了解一次函数、指数函数、对数函数增长的差异.
2.能够运用不同函数增长的差异解决实际问题.
3.感受数学抽象以及数学直观的作用,提高数学建模能力.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
思
想
方
法
随
堂
练
习
自主预习·新知导学
一、一次函数与指数函数增长的差异
【问题思考】
1.在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=2x的图象,观察图象思考下列问题:
(1)这两个函数在区间(0,+∞)内的单调性是怎样的?
提示:都是单调递增的.
(2)当x趋于无穷大时,在这两个函数中,哪一个函数的增长速度快?哪一个慢?
提示:函数y=2x增长速度快,函数y=2x增长速度慢.
2.填空:一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长速度不同,即使k的值远大于a的值,y=ax(a>1)的增长速度最终会大大超过
y=kx(k>0)的增长速度.
二、一次函数与对数函数增长的差异
【问题思考】
1.在同一直角坐标系中画出函数y=2x,y=log2x的图象,观察图象思考下列问题:
(1)这两个函数在区间(0,+∞)内的单调性是怎样的?
提示:都是单调递增的.
(2)当x趋于无穷大时,在这两个函数中,哪一个函数的增长速度快?哪一个慢?
提示:函数y=2x增长速度快,函数y=log2x增长速度慢.
2.填空:一般地,虽然对数函数y=logax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)在区间(0,+∞)内都单调递增,但它们的增长速度
不同.随着x的增大,一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,而对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.不论a的值比k的值大多少,在一定范围内,logax可能会大于kx,但由于logax的增长慢于kx的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,恒有logax.
解析:指数函数的增长速度最快,故选C.
答案:C
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.(
×
)
(2)当a>1,k>0时,在区间(0,+∞)内,对任意的x,总有logax×
)
(3)函数
减小的速度越来越慢.(
√
)
(4)在指数函数y=ax(a>1)中,底数a越大,其增长速度越快.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
不同函数的增长特点及其应用
【例1】
下列函数中,增长速度最快的是(　　)
A.y=2
019x
B.y=2
019x
C.y=log2
019x
D.y=2
018x
解析:在一次函数、指数函数、对数函数中增长速度最快的是指数函数,又因为2
019>2
018,所以y=2
019x比y=2
018x的增长速度更快,因此选B.
答案:B
反思感悟
常见函数模型的增长特点
(1)线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变;
(2)指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,形象地称为“指数爆炸”;
(3)对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓;
(4)幂函数模型y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
探究二
函数模型的选择
【例2】
某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求,对超市的商品种类做了一定的调整,结果调整初期的利润增长迅速,随着时间的推移,增长速度越来越慢.如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系,那么可选用(　　)
A.一次函数
B.二次函数
C.指数型函数
D.对数型函数
解析:在四个函数中,选项A的增长速度不变,选项B,C的增长速度越来越快,其中选项C的增长速度比选项B的增长速度更快,选项D的增长速度越来越慢,故只有选项D能正确反映y与x的关系.
答案:D
反思感悟
根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时,要注意利用函数图象的直观性来确定适合题意的函数模型.
【变式训练1】
四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:
关于x呈指数函数变化的变量是　　　　　.?
解析:以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,可知变量y2关于x呈指数函数变化.
答案:y2
探究三
函数不同增长特点在实际问题中的应用
【例3】
某企业常年生产一种出口产品,最近几年以来,该产品的产量平稳增长.记2015年为第1年,且前4年中,第x年与年产量f(x)(单位:万件)之间的关系如下表所示:
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取表中你认为最适合的数据并求出相应的解析式;
(2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响,2020年的年产量比预计减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2020年的年产量.
反思感悟
1.此类问题求解的关键是利用待定系数法求出相关的函数模型,也就是借助数据信息,得到相关方程,进而求出待定参数.
2.函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容,解题的关键在于通过对已知数据的分析,得出重要信息,根据解题积累的经验,从已有的各类型函数中选择模拟,进行数据的拟合.
【变式训练2】
某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.
(1)给出以下几个模拟函数:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.
(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2
L,人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5
L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出年人均A饮料的销售量最多是多少?
解:(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.
思
想
方
法
数形结合在函数增长差异中的应用
【典例】
已知函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示,设这两个函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)比较f(6),g(6),f(2
019),g(2
019)的大小.
审题视角:(1)观察曲线的增长特点,对照指数函数、幂函数的增长特点确定曲线对应的函数;(2)结合题中函数的图象,确定6,2
019与x1,x2的大小关系,根据函数的增长特点比较这四个函数值的大小.
解:(1)从题中图象可以看出,当x越来越大时,曲线C2对应的函数比曲线C1对应的函数增长得更快,因此C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),
所以1019>x2.
从题中图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),
所以f(2
019)>g(2
019).
又g(2
019)>g(6),
故f(2
019)>g(2
019)>g(6)>f(6).
方法点睛
1.函数值的大小关系以及函数的增长特点都可以通过函数的图象直观地显现出来,因此通过数形结合可以直观地解决函数值的大小比较问题.
2.函数在它们图象交点处的函数值相等,在两个交点之间,图象的高低表示了函数值的大小.
随
堂
练
习
1.下列函数中,随x的增长而增长,最快的是(　　)
A.y=2x
B.y=ln
x
C.y=x2
D.y=ex
解析:因为y=ex和y=2x同为指数函数,且e>2,
所以y=ex的增长速度最快.
答案:D
2.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是(　　)
A.一次函数
B.二次函数
C.指数函数
D.对数函数
解析:自变量每增加1,函数值增加2,函数值的增量是不变的,故为一次函数模型.
答案:A
3.能使不等式log2xA.(0,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(4,+∞)
解析:画出y1=log2x,y2=x2,y3=2x的图象(图略),由图象可知当x>4时,log2x答案:D
4.某企业为了实现60万元的利润目标,准备制定一个奖励方案:在利润达到5万元时,按利润进行奖励,且资金y(单位:万元)随利润x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过3万元,同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y=0.2x,y=log5x,
y=1.02x,其中哪个模型符合该企业的要求?
解:借助工具画出函数y=3,y=0.2x,y=log5x,y=1.02x的图象如图所示.
观察图象可知,在区间[5,60]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y=3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行奖励才符合企业的要求.(共40张PPT)
4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
课标定位
素养阐释
1.理解函数零点的概念,会求给定函数的零点.
2.掌握函数的零点、方程的解与函数的图象之间的关系.
3.掌握函数零点的存在性定理,会判断函数零点的个数.
4.感受数学抽象的不同层次,感受直观想象的作用,提高数形结合的意识.
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合作探究·释疑解惑
易
错
辨
析
随
堂
练
习
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一、函数零点的概念
【问题思考】
1.我们已经学习过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点,它是指使得ax2+bx+c=0的实数x.
(1)二次函数的零点是几何中的“点”吗?
提示:不是,二次函数的零点是一个实数.
提示:f(x),g(x),h(x)都存在,p(x)不存在.
2.填空:对于函数y=f(x),我们把使
f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
3.函数y=2x-5,y=x2-3x+2,y=2x-1,y=ln(x-2)的零点分别是什么?它们的图象与x轴的交点坐标分别是什么?方程2x-5=0,x2-3x+2=0,2x-1=0,ln(x-2)=0的解与它们有何关系?
4.填空:方程f(x)=0有实数解?函数y=f(x)有零点?函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
答案:B
二、函数零点存在定理
【问题思考】
1.给出下列函数图象,根据图象分析判断:
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)<0,那么f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点?有多少个零点?
提示:一定有,至少有一个.
(2)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象不连续,但f(a)f(b)<0,那么f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点?
提示:不一定.
(3)如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,但f(a)f(b)>0,那么f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点?
提示:不一定.
2.填空:函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有
f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得
f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
3.做一做:若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,且f(a)f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)内(　　)
A.必有唯一零点
B.一定没有零点
C.必有无数个零点
D.可能有两个零点
解析:当函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,但f(a)f(b)>0时,f(a)在区间(a,b)内的零点情况不确定,可以没有零点,也可能有零点,有零点的话,其个数也不确定.
答案:D
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)所有的函数都有零点.(
×
)
(2)若方程f(x)=0有两个不相等的实根x1,x2,则函数y=f(x)的零点为(x1,0),(x2,0).(
×
)
(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则一定有f(a)·f(b)<0.
(
×
)
(4)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且在区间(a,b)内没有零点,则一定有f(a)·f(b)>0.(
√
)
(5)若y=f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且是单调函数,则f(x)在区间(a,b)内至多有一个零点.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
求函数的零点
反思感悟
求函数零点的基本方法
(1)求函数的定义域;
(2)令f(x)=0,求出x的值;
(3)判断x的值是否符合函数的定义域,若符合,则其即为函数的零点.
【变式训练1】
若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-1,4,则函数g(x)=bx-a的零点是　　　　　.?
探究二
求函数零点所在的区间
A.(3,4)
B.(2,e)
C.(1,2)
D.(0,1)
(2)根据表格内的数据,可以断定方程ex-x-3=0的一个解所在的区间是(　　)
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
解析:(1)因为f(1)=ln
2-
<0,f(2)=ln
3-1>0,且函数f(x)在区间(0,+∞)内的图象连续不断,
所以函数的零点所在区间为(1,2).
(2)构造函数f(x)=ex-x-3,由上表可得f(-1)=0.37-2=-1.63<0,
f(0)=1-3=-2<0,f(1)=2.72-4=-1.28<0,f(2)=7.39-5=2.39>0,
f(3)=20.08-6=14.08>0,
可知f(1)·f(2)<0,所以方程的一个解所在区间为(1,2).
答案:(1)C　(2)C
反思感悟
判断函数的零点所在区间的三个步骤
(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值.
(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断.
(3)结论:若符号为负且函数的图象是连续的,则在该区间内至少有一个零点.
探究三
判断函数零点的个数
【例3】
求函数f(x)=2x+lg(x+1)-2的零点个数.
解:(方法1)因为f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=2+lg
2-2>0,
所以f(x)在区间(0,1)内一定存在零点.
又f(x)=2x+lg(x+1)-2在区间(-1,+∞)内为单调递增函数,
故函数f(x)有且只有一个零点.
(方法2)由f(x)=2x+lg(x+1)-2=0得2-2x=lg(x+1).
在同一坐标系下分别画出函数h(x)=2-2x和g(x)=lg(x+1)的草图.
?
由图象知g(x)=lg(x+1)的图象和h(x)=2-2x的图象有且只有一个交点,故f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一个零点.
反思感悟
判断函数存在零点的两种方法
(1)方程法:若方程f(x)=0的解可求或能判断解的个数,可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数.
(2)图象法:由f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一坐标系内作出y1=g(x)和y2=h(x)的图象,根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数.
∵x≠0,∴x3-1=0.
∴(x-1)(x2+x+1)=0.
∴x=1或x2+x+1=0.
∵方程x2+x+1=0的根的判别式Δ=12-4=-3<0,
∴方程x2+x+1=0无实数根.
∴函数f(x)只有一个零点.
易
错
辨
析
求参数的取值范围时忽视限制条件致错
【典例】
若函数f(x)=x2-2ax+2在区间[0,4]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.?
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:错解中盲目运用函数零点存在定理,没有注意限制条件“至少有一个零点”,从而导致错误.
防范措施
解决一元二次方程解的分布问题,首先要画出相应的函数的图象,然后将方程问题转化为函数问题,结合图象,考虑四个方面:(1)开口方向;(2)判别式与0的关系;(3)对称轴与所给端点处函数值的关系;(4)端点的函数值与0的关系.
【变式训练】
问当a取何值时,方程ax2-2x+1=0的一个解在区间(0,1)上,另一个解在区间(1,2)上.
随
堂
练
习
答案:C
答案:B
答案:C
4.若函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是　　　　　.?
解析:因为f(0)=-1,所以要使函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,只需f(1)=m-1>0,即m>1.
答案:m>1
5.已知函数f(x)=x2-x-2a.
(1)若a=1,求函数f(x)的零点;
(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x2-x-2.令f(x)=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.
即函数f(x)的零点为-1和2.(共38张PPT)
4.5.2　用二分法求方程的近似解
课标定位
素养阐释
1.了解二分法的概念.
2.掌握用二分法求方程近似解的步骤.
3.体会具体问题中数学运算的过程,提高数学运算能力.
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易
错
辨
析
随
堂
练
习
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一、二分法
【问题思考】
1.某电视台有一档节目是这样的:主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价,如果猜中,就把物品奖给选手.某次猜一种品牌的手机,手机价格在500~1
000元之间,选手开始报价
1
000
元,主持人说高了.紧接着报价900元,高了;700元,低了;
880元,高了;850元,低了;851元,恭喜你,猜中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?
提示:取价格区间[500,1
000]的中间值750,如果主持人说低了,就再取[750,1
000]的中间值875;否则取另一个区间[500,750]的中间值;若遇到中间值为小数,则取整数,按照这种方案,游戏过程猜价如下:750,875,812,843,859,851,大约经过6次可以猜中价格.
2.填空:对于在区间[a,b]上图象连续不断且
f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.做一做:下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是(　　)
解析:只有选项C中零点左右的函数值符号相反,且函数的图象连续,可以利用二分法求解.
答案:C
二、用二分法求方程的近似解
【问题思考】
1.我们已经知道f(x)=ex-3x的零点在区间(1,2)内,如何缩小零点所在区间的范围?
提示:(1)取区间(1,2)的中点1.5;(2)计算f(1.5)的值,用计算器算得f(1.5)≈-0.018.因为f(1.5)·f(2)<0,所以零点在区间(1.5,2)内.
2.填空:给定精确度ε,用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下
(1)确定零点x0的初始区间[a,b],验证
f(a)f(b)<0
.
(2)求区间[a,b]的中点c
.
(3)计算
f(c)
,并进一步确定零点所在的区间:
①若f(c)=0(此时x0=c),则
c
就是函数的零点;
②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c)),则令
b=c
;
③若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b)),则令
a=c
.
(4)判断是否达到精确度ε:若
|a-b|<ε
,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4).
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)用二分法求出方程的解一定是近似解.(
×
)
(2)函数f(x)=|x|的零点可以用二分法求解.(
×
)
(3)用二分法求函数零点的近似值时,每次等分区间后,零点必定在右侧区间内.(
×
)
(4)若给定的精确度为0.001,则当|a-b|<0.001时即可得到零点近似值.(
√
)
合作探究·释疑解惑
探究一
对二分法概念的理解
【例1】
已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(　　)?
A.4,4
B.3,4
C.5,4
D.4,3
解析:函数的图象与x轴一共有4个交点,因此函数有4个零点.其中左右函数值异号的零点只有3个,即可以用二分法求解的零点有3个,故选D.
答案:D
反思感悟
判断一个函数的零点能否用二分法求解的依据:该函数图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点(即零点两侧的函数值异号).对于函数的不变号零点,不能用二分法求解.
【变式训练1】
下面关于二分法的叙述中,正确的是(　　)
A.用二分法可求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位
C.二分法无规律可循,无法在计算机上完成
D.只能用二分法求函数的零点
解析:用二分法求函数零点的近似值,需要有端点函数值符号相反的区间,故选项A错误;二分法是一种程序化的运算,故可以在计算机上完成,故选项C错误;求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等,故选项D错误.
答案:B
探究二
二分法取中点的次数问题
【例2】
若函数f(x)在区间(1,2)内有1个零点,要使零点的近似值满足的精确度为0.01,则对区间(1,2)至少二等分(　　)
A.5次
B.6次
C.7次
D.8次
答案:C
反思感悟
【变式训练2】
在用二分法求方程的近似解时,若初始区间的长度为1,精确度为0.05,则取中点的次数不小于　　　　.
答案:5
探究三
用二分法求方程的近似解
【例3】
求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负数零点.(精确度为0.01)
解:确定一个包含负数零点的区间(m,n),且f(m)·f(n)<0.
因为f(-1)>0,f(-2)<0,所以可取区间(-2,-1)作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算,列表如下:
因为|-1.929
687
5+1.937
5|=0.007
812
5<0.01,所以函数的一个负数零点近似值可取为-1.929
687
5.
若将本例中的函数改为“f(x)=x3+2x2-3x-6”,请求出该函数的正数零点?(精确度为0.1)
解:确定一个包含正数零点的区间(m,n),
且f(m)f(n)<0.
因为f(0)=-6<0,f(1)=-6<0,f(2)=4>0,所以可取区间(1,2)作为计算的初始区间.
用二分法逐步计算,列表如下:
因为|1.75-1.687
5|=0.062
5<0.1,所以函数的正数零点的近似值可取为1.687
5.
反思感悟
用二分法求函数零点近似值的步骤可以概括如下
易
错
辨
析
对精确度理解不清致错
【典例】
用二分法求方程x2-5=0的一个近似正解.(精确度0.1)
错解:令f(x)=x2-5.
因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,
所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明函数f(x)在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29>0,
因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.062
5>0,
因为f(2.2)·f(2.25)<0,
所以x0∈(2.2,2.25).
取区间(2.2,2.25)的中点x3=2.225,
因为f(2.225)≈-0.049
4<0,
所以x0∈(2.225,2.25),
同理可得x0∈(2.225,2.237
5).
又f(2.237
5)≈0.006
4>0,
且|0.006
4-(-0.049
4)|=0.055
8<0.1,
所以原方程的近似正解可取为2.237
5.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么
?你如何改正?你如何防范?
提示:错解是由于对精确度的理解不清而导致的,误认为精确度ε应满足|f(a)-f(b)|<ε,事实上,精确度ε是指|a-b|<ε.
正解:令f(x)=x2-5.
因为f(2.2)=-0.16<0,f(2.4)=0.76>0,
所以f(2.2)·f(2.4)<0,说明函数f(x)在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1=2.3,f(2.3)=0.29>0,
因为f(2.2)·f(2.3)<0,所以x0∈(2.2,2.3).
再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.062
5>0,
因为f(2.2)·f(2.25)<0,
所以x0∈(2.2,2.25).
由于|2.25-2.2|=0.05<0.1,
所以原方程的近似正解可取为2.25.
防范措施
用二分法求函数零点的近似值或方程的近似解时,务必弄清楚精确度的要求,以便确定计算(取中点)的次数,从而求得近似值.
【变式训练】
某方程在区间(2,4)内有一无理根,若用二分法求此根的近似值,要使所得的近似值的精确度达到0.1,则应将区间(2,4)等分的次数至少是　　　　　.?
答案:5
随
堂
练
习
1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数的零点的是(　　)
解析:二分法的理论依据是函数零点存在定理,必须满足零点两侧的函数值异号才能求解.
答案:B
2.用二分法求函数f(x)在区间(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是(　　)
A.|a-b|<0.1
B.|a-b|<0.001
C.|a-b|>0.001
D.|a-b|=0.001
解析:据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.
答案:B
解析:因为f(2)·f(3)<0,所以零点在区间(2,3)内.
答案:(2,3)
4.某同学在借助计算器求“方程lg
x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg
x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用“二分法”又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出方程的近似解是x≈1.8,则他取的x的4个值依次是　　　　　.?
解析:第一次用二分法计算得区间(1.5,2),
第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),
第四次得区间(1.75,1.812
5).
答案:1.5,1.75,1.875,1.812
5(共36张PPT)
4.5.3　函数模型的应用
课标定位
素养阐释
1.会利用指数函数、对数函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.通过本节内容的学习,使学生认识函数模型的作用,提高学生数学建模,数据分析的能力.
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易
错
辨
析
随
堂
练
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一、常见的函数模型
【问题思考】
1.在现实生活、生产中,有许多问题蕴含着量与量之间的关系,可通过建立变量之间的函数关系并对所得函数进行研究的方式,使问题得到解决.到目前为止,我们已经学过的函数模型有哪些?
提示:一次函数、二次函数、分段函数、幂函数、反比例函数、指数型函数、对数型函数.
2.填写下列表格:
常见的几种函数模型
二、解决函数实际应用问题的基本步骤
【问题思考】
解决函数实际应用问题,首先建立函数模型,即将实际问题转化为数学问题,然后通过对函数性质的研究解决数学问题,从而达到解决实际问题的目的.
1.解决函数实际应用问题的一般步骤是怎样的?
提示:设变量,建立函数模型,求解函数模型,解决实际问题.
2.解决函数实际应用问题的一般步骤
(1)设恰当的变量:研究实际问题中的变量之间的关系,并用x,y表示问题中的变量.
(2)建立函数模型:将y表示为x的函数,写出y关于x的解析式,并注意标明函数的定义域.
(3)求解函数模型:根据函数模型及其定义域,利用相应的函数知识求解函数模型.
(4)给出实际问题的解:将数学模型的解还原为实际问题的解,得出实际问题的解.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数型函数模型来表述.(
√
)
(2)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.
(
√
)
(3)当自变量在不同的范围下,对应关系不同时,可以选择分段函数模型.(
√
)
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探究一
指数型函数模型的应用
【例1】
某医药研究所开发了一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);
(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.
若将本例中(2)改为:据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗有效.如果第一次服药在上午7:00,那么第二次服药应该在什么时间?
反思感悟
应用指数函数模型需注意的问题
(1)在利用指数函数模型解决实际问题时,要注意自变量x的取值范围;
(2)对于指数型函数y=kax,不仅要注意底数a的取值范围,还要注意k的符号对函数性质的影响;
(3)若原有量为N,每次的减少率为p,经过x次减少,原有量减少到y,则y=N(1-p)x.
探究二
对数型函数模型的应用
【例2】
候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模迁徙,研究某种候鸟的专家发现,该种候鸟的飞行速度v(单位:m·s-1)与其耗氧量Q之间的关系为
(其中a,b是常数).据统计,该种候鸟在静止时的耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,飞行速度为1
m·s-1.
(1)求a,b的值;
(2)若这种候鸟为赶路程,飞行的速度不能低于2
m·s-1,则其耗氧量至少要多少个单位?
解:(1)由题意可知,当这种候鸟静止时,它的速度为0
m·s-1,耗氧量为30个单位,
反思感悟
对数函数模型应用的基本类型和求解技巧
(1)基本类型:有关对数函数模型的应用问题,一般都会先直接给出函数的解析式,再根据实际问题近似求解;
(2)求解技巧:先根据已知条件求出解析式中的参数值,或结合具体问题从中提炼出数据,代入解析式求解,再根据数值回答其实际意义.
答案:e6-1
探究三
函数模型的选择
【例3】
某汽车制造商在2019年初公告:公司计划2019年生产目标定为43万辆.已知该公司近三年汽车生产量如下表所示:
如果我们分别将2016,2017,2018,2019定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系?
解:建立年产量y与年份x的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).
①构造二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
将以上三点坐标代入,
由①②可得,f(x)=x2+7x模型能更好地反映公司年产量y与年份x的关系.
反思感悟
函数模型选取的依据
(1)对于增长速度不变的实际问题,可建立线性函数增长模型;
(2)对于增长速度急剧变化的实际问题,可建立指数函数增长模型;
(3)对于增长速度平缓的实际问题,可建立对数函数增长模型.
在解决具体问题时,需要抓住问题中蕴含的数学信息,恰当准确地建立相应的函数模型.
【变式训练2】
某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数解析式大致可以是(　　)
解析:对于选项A,当x=1,2时,符合题意,当x=3时,y=0.6,与0.76相差0.16;
对于选项B,当x=1时,y=0.3;当x=2时,y=0.8;当x=3时,y=1.5,相差较大,不符合题意;
对于选项C,当x=1,2时,符合题意;当x=3时,y=0.8,与0.76相差0.04,与选项A比较,更符合题意;
对于选项D,当x=1时,y=0.2;当x=2时,y=0.45;当x=3时,y≈0.6<0.7,相差较大,不符合题意.
答案:C
易
错
辨
析
审题不清致错
【典例】
某工厂连续数年的产值月平均增长率为p,则它的年平均增长率为　　　　　.?
错解:设第一年的产值为1,则经过12个月后,即第二年的产值为(1+p)12,即它的年平均增长率为(1+p)12.
以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?
提示:上述错解是由于对年平均增长率的含义理解不清导致的.
正解:依题意可设,连续两年中每月的产值分别为:
第一年:a,a(1+p),a(1+p)2,…,a(1+p)11,
第二年:a(1+p)12,a(1+p)13,a(1+p)14,…,a(1+p)23,
因此年平均增长率为
答案:(1+p)12-1
防范措施
在增长率公式y=N(1+p)x中,指数x是指基数所在时间后所跨过的时间间隔数.
【变式训练】
若某工厂连续两年的产值月平均增长率都是a,则第二年某月的产值与第一年相应月的产值相比,增长了
　　　　　.?
解析:不妨设第一年1月份的生产产值为b,则2月份的生产产值是b(1+a),3月份的生产产值是b(1+a)2,依次类推,到第二年1月份就是第一年1月份后的第12个月,故第二年1月份的生产产值是b(1+a)12.
故第二年某月的生产产值与第一年相应月相比增长了
答案:(1+a)12-1
随
堂
练
习
1.某种细菌在培养过程中,每15
min分裂1次(由1个分裂成2个),则这种细菌由1个分裂成256个需经过(　　)
A.8
h
B.4
h
C.3
h
D.2
h
解析:设细菌共分裂了x次,则有2x=256,即2x=28,即x=8.又此细菌每15
min分裂1次,所以共需15×8=120(min),即2
h,故选D.
答案:D
2.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物.已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到(　　)
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
解析:将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),
解得a=100.
所以x=7时,y=100log2(7+1)=300.
答案:A
3.已知测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合函数模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y)的另一组对应值为(3,10.2),则选用　　　　　作为拟合模型较好.(填“甲”或“乙”)?
解析:对于甲:当x=3时,y=32+1=10;对于乙:当x=3时,y=8.因此用甲作为拟合模型较好.
答案:甲
4.灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是θ1℃,室内气温是θ0℃,t
min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一个某种类型的热水瓶灌满开水,测得瓶内水温为100
℃,1
h后又测得瓶内水温变为98
℃.已知某种奶粉必须用不低于85
℃的开水冲泡,现用这种类型的热水瓶在早上6:00灌满100
℃的开水,问:能否在这一天的中午12:00用这瓶开水来冲奶粉?
(假定该地白天室温为20
℃)
解:根据题意,有98=20+(100-20)e-60k,
故θ=20+80e-0.000
42t,从早上6:00到这一天的中午12:00共经过6
h,即360
min.
当t=360时,θ=20+80e-0.000
42×360=20+80e-0.151
2.
利用计算器,解得θ≈88.8,因为88.8
℃>85
℃,
所以可以在这一天的中午12:00用这瓶开水来冲奶粉.(共53张PPT)
第4课时　指数函数与对数函数
知识梳理·构建体系
专题归纳·核心突破
知识梳理·构建体系
知识网络
要点梳理
1.根式有哪些性质?指数幂的运算性质是怎样的?
2.对数的运算性质有哪些?
3.换底公式及常用结论有哪些?
4.指数函数与对数函数的定义域、值域、图象、性质是怎样的?请完成下表:
5.函数的零点是什么?函数的零点、方程的根、函数的图象之间的关系是什么?
提示:(1)使得f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点;
(2)函数f(x)的零点即为方程f(x)=0的实数根,亦即f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
6.一次函数、指数函数、对数函数的增长特点分别是什么?
提示:一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度,指数函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,对数函数y=logax(a>1)的增长速度越来越慢.
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(3)若lg(a+b)=lg
a+lg
b,则ab的最小值为4.(
√
)
(4)若ab>1(a>0,a≠1),则有a>1,且b>0.(
×
)
(5)若logab<0(a>0,a≠1),则(a-1)(b-1)<0.(
√
)
(6)函数f(x)=a|x|(a>0,a≠1)的最小值等于1.(
×
)
(8)若函数f(x)=loga|x|(a>0,a≠1)在区间(-∞,0)内单调递减,则0×
)
(9)若偶函数f(x)有6个零点,则其零点之和等于0.(
√
)
(10)函数y=-log3x减小的速度越来越慢.(
√
)
专题归纳·核心突破
专题整合
专题一　指数与对数运算
反思感悟
指数、对数运算应遵循的原则
指数的运算首先要注意化简顺序,一般把负指数转化为正指数,根式转化为分数指数幂,其次若出现分式,则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算要注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式;换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.
专题二　指数函数与对数函数的图象及其应用
【例2】
若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如下图所示,则下列函数图像正确的是(　　)
解析:由已知函数图象,可得loga3=1,所以a=3.
在选项A中,函数的解析式为y=3-x,在R上单调递减,与图象不符;
在选项C中,函数的解析式为y=(-x)3=-x3,当x>0时,y<0,与图象不符;
在选项D中,函数的解析式为y=log3(-x),在区间(-∞,0)内单调递减,与图象不符;
在选项B中,函数的解析式为y=x3,与图象相符,故选B.
答案:B
反思感悟
1.根据函数的解析式判断函数的相关性质,如定义域、值域、单调性、奇偶性等,也可根据函数的性质排除干扰项而得到正确结果.
2.根据函数解析式的特征确定相关的基本初等函数,如指数函数、对数函数等,然后确定其平移变化的方向,从而判断函数的图象.
3.指数函数与对数函数的图象经过定点的实质是a0=1,
loga1=0.
4.指数函数与对数函数都具有单调性,当01时,两者在整个定义域上都是单调递增函数.
【变式训练2】
若f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1),且
f(3)·g(-3)<0,则函数f(x),g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　)
解析:由f(3)·g(-3)=a·loga3<0,得0答案:B
专题三　指数函数与对数函数的性质及其应用
【例3】
函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)是(　　)
A.奇函数,在区间(-2,2)内单调递增
B.奇函数,在区间(-2,2)内单调递减
C.偶函数,在区间(0,2)内单调递增
D.偶函数,在区间(0,2)内单调递减
解析:因为函数f(x)的定义域为(-2,2),
且f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.
答案:A
反思感悟
判断函数的奇偶性时,应首先确定函数的定义域,然后根据奇函数和偶函数的定义进行判断.对于指数型和对数型的复合函数,其单调性应根据“同增异减”的规则进行判断.
专题四　函数零点及其应用
答案:C
反思感悟
在判定函数的零点所在的区间时,可将函数的单调性与函数零点存在定理结合起来使用,根据函数值的符号关系,通过解不等式进行求解.
解析:作出函数y=f(x)与y=k的图象,如图所示.
?
由图象可知k∈(0,1].
答案:(0,1]
专题五　函数模型及其应用
【变式训练5】
某投资公司拟投资开发某种新产品,市场评估能获得10万~1
000万元的投资收益.现公司准备制订一个对科研课题组的奖励方案:奖金f(x)(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.
(1)根据题目要求,写出f(x)满足的条件.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
试分别分析这两个函数模型是否符合公司的要求.
解:(1)由题意,知f(x)满足的条件:
当x∈[10,1
000]时,①f(x)是单调递增函数;
②对于函数模型f(x)=4lg
x-2:
当x∈[10,1
000]时,f(x)是单调递增函数,
且f(x)≥f(10)=4lg
10-2=2≥1,
所以f(x)≥1在区间[10,1
000]上恒成立.
在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=4lg
x-2和
的图象,如图所示.
故该函数模型符合公司的要求.
高考体验
考点一　指数与对数运算
1.(2018·全国Ⅲ高考)设a=log0.20.3,b=log20.3,则(　　)
A.a+bB.abC.a+b<0D.ab<0答案:B
2.(2018·全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=　　　　　.?
解析:因为f(3)=log2(9+a)=1,
所以9+a=2,即a=-7.
答案:-7
考点二　指数函数与对数函数的图象与性质
答案:B
且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.
因为y=ln
x在区间(0,+∞)内单调递增,且b=ln
2,
所以ln
2e=1,即b<1.
综上可知,c>a>b.故选D.
答案:D
5.(2017·全国Ⅱ高考)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,-2)
B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
解析:由题意可知x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4.
故定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞),易知t=x2-2x-8在区间(-∞,-2)内单调递减,在区间(4,+∞)内单调递增.
因为y=ln
t在t∈(0,+∞)内单调递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的单调递增区间为(4,+∞).故选D.
答案:D
6.(2017·天津高考)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aB.cC.bD.b解析:∵f(x)是R上的奇函数,
∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.
∴g(-log25.1)=g(log25.1).
∵奇函数f(x)在R上是增函数,
∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.
∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,
∴g(x)在区间(0,+∞)内是增函数.
∵2结合函数g(x)的性质得b答案:C
7.(2017·全国Ⅰ高考)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(　　)
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
答案:D
答案:-2
考点三　函数零点及其应用
解析:要使得方程g(x)=f(x)+x+a有两个零点,等价于方程f(x)=
-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点,由图象可知,必须使得直线y=-x-a与直线y=-x+1重合或位于直线y=-x+1的下方,所以-a≤1,即a≥-1.故选C.
答案:C
考点四　函数模型及其应用
10.(2017·北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与
最接近的是(　　)
(参考数据:lg
3≈0.48)
A.1033
B.1053
C.1073
D.1093
答案:D

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