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5．2　数学探究活动

必备知识基础练 进阶训练第一层
知识点一 用样本的数字特征估计总体的数字特征
1.为了了解甲、乙两人的工作效率，随机抽取了甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数，用茎叶图表示如图所示，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则估计甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．
2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
3．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人的成绩的标准差为(　　)
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
A. B.
C．3 D.
4．高一(3)班有男同学27名，女同学21名．在一次语文测验中，男同学得分的平均数是82，中位数是75，女同学得分的平均数是80，中位数是80.
(1)求这次测验全班成绩的平均数(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人；
(3)分析男同学得分的平均数与中位数相差较大的主要原因．
知识点二 用样本的分布来估计总体的分布
5.在用样本频率分布估计总体分布的过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．样本容量一定时总体容量越大，估计越精确
B．总体容量与估计的精确度无关
C．总体容量一定时样本容量越大，估计越精确
D．总体容量一定时样本容量越小，估计越精确
6．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(　　)
A．90 B．75
C．60 D．45
7．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________；
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
8.已知一组数据：
125　121　123　125　127　129　125　128　130　129
126　124　125　127　126　122　124　125　126　128
(1)填写下面的频率分布表：
分组 频数累计 频数 频率
[120.5,122.5)


[122.5,124.5)


[124.5,126.5)


[126.5,128.5)


[128.5,130.5]


合计


(2)作出频率分布直方图；
(3)以这组数据为样本估计总体的众数、中位数和平均数．

关键能力综合练 进阶训练第二层
一、选择题
1．在某次测量中得到的A样本数据如下：2,4,4,6,6,6,8,8,8,9.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征相同的是(　　)
A．众数 B．平均数
C．中位数 D．标准差
2．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)
A．me＝m0＝ B．me＝m0＜
C．me＜m0＜ D．m0＜me＜
3．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
4．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为(　　)
A．62,62.5 B．65,62
C．65,62.5 D．62.5,62.5
5．从甲、乙两种玉米苗中各抽6株，分别测得它们的株高如图所示(单位：cm)．根据数据估计(　　)
A．甲种玉米比乙种玉米不仅长得高而且长得整齐
B．乙种玉米比甲种玉米不仅长得高而且长得整齐
C．甲种玉米比乙种玉米长得高但长势没有乙整齐
D．乙种玉米比甲种玉米长得高但长势没有甲整齐
6．(易错题)为了解某校学生的视力情况，随机抽查了该校的100名学生，得到如下图所示的频率分布直方图．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数和为40，后6组的频数和为87.设最大频率为a，视力在4.5到5.2之间的学生人数为b，则a，b的值分别为(　　)
A．0.27,0.96 B．0.27,96
C．27,0.96 D．27,96
二、填空题
7．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的标准差为________．
8．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图所示．现在用分层抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业生产的产品的平均使用寿命为________小时．
9．(探究题)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查，统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：
(1)年龄组[25,30)对应小矩形的高度为________；
(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,35)内的人数为________．
三、解答题
10．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度(单位：mm)记录下来并绘制出如下的折线图：
(1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这个轮胎是标准轮胎．试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个的轮胎相对更好．

学科素养升级练 进阶训练第三层
1．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．一个样本的众数、中位数和平均数不可能是同一个数
B．统计中，我们可以用样本平均数去估计总体平均数
C．样本平均数既不可能大于也不可能小于这个样本中的所有数据
D．众数、中位数和平均数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
2．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
3．(学科素养—数据分析)为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，用茎叶图表示如下：
(1)根据图中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；
(2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差．
(分层抽样的平均数和方差公式：
设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数和方差分别为＝ii，s2＝i[s＋(i－)2]，其中为样本平均数．)
5．2　数学探究活动
必备知识基础练
1．解析：甲10天每天加工零件的个数分别为：18,19,20,20,21,22,23,31,31,35，所求平均数为甲＝×(18＋19＋20＋20＋21＋22＋23＋31＋31＋35)＝24.
乙10天每天加工零件的个数分别为：11,17,19,21,22,24,24,30,30,32，所求平均数为
乙＝×(11＋17＋19＋21＋22＋24＋24＋30＋30＋32)＝23.
答案：24　23
2．解析：由平均数、中位数、众数的定义可知，平均数＝＝87；因为得85分的有4人，所以众数是85；把成绩由大到小排列为100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位数是85.
答案：C
3．解析：平均数为＝3.
故s2＝×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝.
故s＝＝.
答案：B
4．解析：(1)利用平均数计算公式，得
＝×(82×27＋80×21)≈81.13.
(2)因为男同学得分的中位数是75，
所以至少有14名男生得分不超过75分．
又因为女同学得分的中位数是80，
所以至少有11名女生得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分不超过80分．
(3)男同学得分的平均数与中位数相差较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．
5．解析：当样本容量越大时，估计总体越精确．
答案：C
6．解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.
答案：A
7．解析：(1)在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)由图可知，中位数在[55,65)范围内．设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：(1)13　(2)62.5　(3)64
8．解析：(1)
分组 频数累计 频数 频率
[120.5,122.5)
2 0.1
[122.5,124.5)
3 0.15
[124.5,126.5)
8 0.4
[126.5,128.5)
4 0.2
[128.5,130.5]
3 0.15
合计
20 1
(2)
(3)在[124.5,126.5)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数为125.5.设中位数为x，则0.25＋(x－124.5)×0.2＝0.5，解得x＝125.75.使用“组中值”求平均数：＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8.
所以可估计总体的众数为125.5，中位数为125.75，平均数为125.8.
关键能力综合练
1．解析：根据题意，B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得，则平均数、众数、中位数都增加2，根据标准差公式可知，标准差不变．故选D.
答案：D
2．解析：由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me＝＝5.5.又众数为m0＝5，
平均值＝
＝≈5.97，∴m0＜me＜.
答案：D
3．解析：每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
答案：D
4．解析：∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∵0.5－0.4＝0.1，×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
故选C.
答案：C
5．解析：由题中的茎叶图可知，甲种玉米的株高主要集中在20～30 cm段，乙种玉米的株高主要集中在30～40 cm，则甲种玉米的平均株高小于乙种玉米的平均株高，但乙种玉米的株高较分散．故选D.
答案：D
6．解析：由频率分布直方图知组距为0.1，由前4组的频数和为40，后6组的频数和为87，知第4组的频数为40＋87－100＝27，即视力在4.6到4.7之间的频数最大，为27，故最大频率a＝0.27.视力在4.5到5.2之间的频率为1－0.01－0.03＝0.96，故视力在4.5到5.2之间的学生人数b＝0.96×100＝96.
答案：B
7．解析：已知样本数据x1，x2，…，x10的标准差为s＝8，则s2＝64，数据2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差为22s2＝22×64，所以其标准差为＝16.
答案：16
8．解析：由分层抽样可知，
第一分厂应抽取100×50%＝50(件)．
由样本的平均数估计总体的平均数，可知这批电子产品的平均使用寿命为1 020×50%＋980×20%＋1 030×30%＝1 015(小时)．
答案：50　1 015
9．解析：(1)设年龄组[25,30)对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.
(2)由(1)得志愿者年龄在[25,35)内的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25,35)内的人数约为0.55×800＝440.
答案：(1)0.04　(2)440
10．解析：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均数：甲＝×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195，乙厂10个轮胎宽度的平均数：乙＝×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194.
(2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,194,196,194,196,195，
平均数：1＝×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，
方差：s＝×[(195－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(194－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2]＝，
乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内的数据为195,196,195,194,195,195，
平均数：2＝×(195＋196＋195＋194＋195＋195)＝195，
方差：s＝×[(195－195)2＋(196－195)2＋(195－195)2＋(194－195)2＋(195－195)2＋(195－195)2]＝，
∵两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，
∴乙厂的轮胎相对更好．
学科素养升级练
1．解析：用样本估计总体情况时，在一组数据中，众数、中位数和平均数可能是同一个数，例如：数据10,11,11,11,11,11,12的众数、中位数和平均数都是11.所以A错误．其他均正确，故选BCD.
答案：BCD
2．解析：设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝[x＋x＋…＋x＋402－2(x1＋x2＋…＋x40)]
＝
＝×
＝0.9.
∴s＝＝＝.
答案：0.9　
3．解析：(1)甲单位5名职工成绩的平均数甲＝＝90，乙单位5名职工成绩的平均数乙＝＝90，甲单位5名职工成绩的方差s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.8，乙单位5名职工成绩的方差s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.∵s∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定．
(2)∵甲单位职工的权重w甲＝，乙单位职工的权重w乙＝，甲＝90分，乙＝90分，s＝4.8，s＝8，由分层抽样求平均数和方差的公式可得，这10名职工成绩的平均数＝×90＋×90＝90，这10名职工成绩的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[4.8＋(90－90)2]＋×[8＋(90－90)2]＝6.4.

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