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8．2.3　倍角公式
学习目标　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
2.能熟练运用倍角公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．
知识点一　倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan 2α＝.
思考　倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？
答案　倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为的二倍，3α作为的二倍，α＋β作为的二倍等情况．
知识点二　倍角公式的变形
1．公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α.
2．倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式
1＋cos 2α＝2cos2α，
1－cos 2α＝2sin2α.
(2)降幂公式
cos2α＝，sin2α＝.
1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α＝ .
答案　
2．已知cos α＝，则cos 2α＝ .
答案　－
3．cos245°－sin245°＝ .
答案　0
4．已知tan α＝，则tan 2α＝ .
答案　－
一、给角求值
例1　求下列各式的值：
(1)－cos215°；(2)；(3)－.
解　(1)－cos215°
＝－(2cos215°－1)＝－cos 30°
＝－.
(2)＝2·＝2·＝－2.
(3)－＝
＝
＝
＝＝4.
反思感悟　对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的条件，使得问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式．
跟踪训练1　求下列各式的值：
(1)sin cos ；(2)sin 10°cos 20°cos 40°.
解　(1)原式＝sin ＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝.
二、给值求值
例2　(1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝ .
答案　
解析　(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＝1－sin 2α＝2?sin 2α＝1－2＝.
(2)已知cos＝，x∈，则sin 2x＝ ，cos 2x＝ .
答案　　
解析　2x＝2－，
∴sin 2x＝sin
＝－sin＝－cos 2
＝－＝－＝.
∵x∈，
∴x＋∈，
∴sin＝.
∴cos 2x＝cos
＝sin 2
＝2sincos
＝2××＝.
延伸探究
本例(2)条件不变，求的值．
解　方法一　由例2(2)知cos 2x＝，
sin＝.
则原式＝＝.
方法二　＝
＝(cos x－sin x)＝2
＝2cos＝2×＝.
反思感悟　解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化．
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．
跟踪训练2　(1)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于(　　)
A. B. C．1 D.
答案　A
解析　cos2α＋2sin 2α＝＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.故选A.
(2)已知sin＝，则sin＝ .
答案　
解析　∵2x＋＝2＋，
∴sin＝sin
＝cos 2＝1－2sin2＝1－2×＝.
三、化简与证明
例3　(1)化简：；
(2)求证：＝tan4A.
(1)解　
＝
＝·
＝sin x·＝tan x.
(2)证明　因为左边＝
＝2＝2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边，
所以＝tan4A.
反思感悟　证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
跟踪训练3　(1)化简：－tan θtan 2θ；
(2)求证：·＝tan 2α.
(1)解　－tan θtan 2θ＝－
＝
＝＝＝1.
(2)证明　左边＝·
＝·
＝
＝tan 2α＝右边．
所以·＝tan 2α.
四、倍角公式的应用
例4　已知f?(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωxcos ωx(ω>0)，且f?(x)的图像中相邻的最高点之间的距离为π.
(1)求f?(x)的最大值；(2)求f?(x)的单调增区间．
解　(1)f?(x)＝－(cos2ωx－sin2ωx)＋sin 2ωx
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin.
依题意T＝π，
∴＝π，∴ω＝1.
∴f?(x)＝2sin，
当2x－＝＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ，k∈Z时，f?(x)max＝2.
(2)令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴f?(x)的增区间为，k∈Z.
反思感悟　要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等等)，需先把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂公式和辅助角公式．
跟踪训练4　已知函数f?(x)＝2sin2x＋sin 2x－.
(1)求f?(x)的周期及对称中心；
(2)若x∈，求f?(x)的值域．
解　(1)f?(x)＝2×＋sin 2x－
＝sin 2x－cos 2x
＝
＝sin.
T＝π.
令2x－＝kπ，k∈Z，∴x＝＋kπ，k∈Z.
∴对称中心为，k∈Z.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
∴sin∈，
∴f?(x)∈[－，)．
当x∈时，f?(x)的值域为[－，)．
1．下列式子的值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
答案　B
解析　cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2.等于(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　B
解析　原式＝＝
＝＝·＝.
3．函数f?(x)＝2sin2－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
答案　C
解析　∵f?(x)＝－
＝－cos 2
＝－cos
＝sin x.
∴f?(x)的周期为2π，且为奇函数．
4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 ．
答案　
解析　∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，∴sin α≠0，∴2cos α＋1＝0，
即cos α＝－，sin α＝，tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
5．化简：.
解　方法一　原式＝
＝＝
＝tan θ.
方法二　原式＝
＝
＝＝tan θ.
1．知识清单：
(1)倍角公式的推导．
(2)利用倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明．
2．方法归纳：整体思想．
3．常见误区：倍角公式的余弦公式易混淆．
1.的值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　原式＝cos2－sin2＝cos ＝.
2．已知a＝(2sin 30°，2cos 15°)，b＝(cos 30°，－sin 15°)，则a·b等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　a·b＝2sin 30°cos 30°－2cos 15°sin 15°＝sin 60°－sin 30°＝－＝.
3．若α∈，且sin2α＋cos 2α＝，则tan α的值等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　∵sin2α＋cos 2α＝，
∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝.
∴cos α＝±.
又α∈，∴cos α＝，sin α＝.
∴tan α＝.
4．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝.故选A.
5．已知函数f?(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f?(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f?(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f?(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f?(x)的最小正周期为2π，最大值为4
答案　B
解析　易知f?(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1
＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，
则f?(x)的最小正周期为π，
当x＝kπ(k∈Z)时，f?(x)取得最大值，最大值为4.
6．sin4－cos4＝ .
答案　－
解析　原式＝·
＝－＝－cos ＝－.
7．化简：＝ .
答案　－1
解析　原式＝＝－
＝＝－1.
8．已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝ .
答案　－
解析　由已知，得＝3，
解得tan θ＝.
所以sin 2θ－2cos2θ＝
＝＝＝－.
9．已知tan α＋＝，α∈，求cos 2α和sin的值．
解　∵tan α＋＝，
∴＋＝，
即＝，
∵＝，
∴＝，
∴sin 2α＝，
∵α∈，
∴2α∈，
∴cos 2α＝－，
∴sin＝(sin 2α＋cos 2α)＝
＝.
10．已知函数f?(x)＝sin xcos x－cos2x＋.
(1)当x∈时，求f?(x)的最值；
(2)若f?＝，求sin 2α的值．
解　(1)f?(x)＝sin 2x－·＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
∵x∈，
∴2x－∈.
∴当2x－＝－，即x＝0时，
f?(x)min＝sin＝－.
当2x－＝，
即x＝时，f?(x)max＝.
(2)∵f?＝，
∴sin＝，∴sin＝，
∵sin 2α＝sin
＝cos 2
＝1－2sin2
＝1－2×2
＝－.
11．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　A
解析　设底角为α，则顶角为π－2α，
则cos α＝，α∈，
∴sin α＝.
∴sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
12．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　D
解析　3cos 2α＝sin，
∵3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，
∴3(cos α＋sin α)＝.
即sin α＋cos α＝，
平方有sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
∴1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
13．已知函数f?(x)＝，则(　　)
A．函数f?(x)的最大值为，无最小值
B．函数f?(x)的最小值为－，最大值为0
C．函数f?(x)的最大值为，无最小值
D．函数f?(x)的最小值为－，无最大值
答案　D
解析　因为f?(x)＝＝
＝＝－tan x,0所以函数f?(x)的最小值为－，无最大值，故选D.
14．化简：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝
＝
＝
＝.
15．已知sin＝，0答案　
解析　原式＝
＝
＝2sin.
∵sin＝cos＝，
且0∴＋x∈，
∴sin＝＝，
∴原式＝2×＝.
16．已知函数f?(x)＝cos＋sin2x－cos2x＋2·sin xcos x.
(1)化简f?(x)；
(2)若f?(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
解　(1)f?(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＝sin.
(2)f?(α)＝sin＝，2α是第一象限角，
即2kπ<2α<＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－<2α－<＋2kπ，k∈Z，
∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sin·cos ＋cos·sin 
＝×＋×＝.
课件44张PPT。8.2.3　倍角公式第八章　8.2　三角恒等变换学习目标XUE XI MU BIAO1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正
切公式.
2.能熟练运用倍角公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一　倍角公式S2α：sin 2α＝ .
C2α：cos 2α＝ ＝ ＝ .
T2α：tan 2α＝ .2sin αcos αcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α思考　倍角公式中的“倍角”仅是指α与2α吗？答案　倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为 的二倍，3α作为 的二倍，α＋β作为 的二倍等情况.知识点二　倍角公式的变形1.公式的逆用
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝ ，
cos2α－sin2α＝ ， ＝tan 2α.
2.倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式
(1)升幂公式
1＋cos 2α＝ ，
1－cos 2α＝ .cos 2α2cos2α2sin2α(2)降幂公式
cos2α＝ ，sin2α＝ .预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN3.cos245°－sin245°＝ .02题型探究PART TWO一、给角求值例1　求下列各式的值：对于给角求值问题，一般有两类
(1)直接正用、逆用倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用倍角公式的条件，使得问题出现可以连用倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1　求下列各式的值：(2)sin 10°cos 20°cos 40°.二、给值求值解析　(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α延伸探究解决给值求值问题的方法
给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化.
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.√三、化简与证明＝tan4A＝右边，证明问题的原则及一般步骤
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.＝tan 2α＝右边.例4　已知f?(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋ sin ωxcos ωx(ω>0)，且f?(x)的图像中相邻的最高点之间的距离为π.
(1)求f?(x)的最大值；四、倍角公式的应用依题意T＝π，(2)求f?(x)的单调增区间.要求函数的性质(周期、最值、对称性、单调性等等)，需先把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，在化简过程中，主要用倍角公式的降幂公式和辅助角公式.(1)求f?(x)的周期及对称中心；T＝π.3随堂演练PART THREEA.2sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215°
C.2sin215°－1 D.sin215°＋cos215°√12345√12345A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数12345√∴f?(x)的周期为2π，且为奇函数.12345解析　∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，123451.知识清单：
(1)倍角公式的推导.
(2)利用倍角公式的正用、逆用进行化简、求值和证明.
2.方法归纳：整体思想.
3.常见误区：倍角公式的余弦公式易混淆.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束

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