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圆的一般方程同步练习
一、选择题
已知方程x2+y2?2x+2k+3=0表示圆，则k的取值范围是（ ）
A. (?∞,?1) B. (3,+∞)
C. (?∞,?1)∪(3,+∞) D. (?32,+∞)
若直线2ax?by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x?4y+1=0的圆心，则9a+1b的最小值是（ ）
A. 16 B. 10 C. 12 D. 14
已知点M(3,1)在圆C:x2+y2?2x+4y+2k+4=0外，则k的取值范围(??? )
A. ?612
C. k>?6 D. k<12
已知定点B(3,0)，点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，则线段AB的中点M的轨迹方程是（ ）
A. (x+1)2+y2=1 B. (x?2)2+y2=4
C. (x?1)2+y2=1 D. (x+2)2+y2=4
在直角坐标平面内，过定点P的直线l：x+ay?1=0与过定点Q的直线m：ax?y?2a+3=0相交于点M，则1|MP|+1|MQ|的最小值为（ ）
A. 10 B. 10 C. 52 D. 255
当a为任意实数时，直线(a?1)x?y?a?1=0恒过定点C，则以C为圆心，半径为5的圆的方程为（ ）
A. x2+y2?2x+4y=0 B. x2+y2+2x+4y=0
C. x2+y2+2x?4y=0 D. x2+y2?2x?4y=0
方程x2+y2+ax?2by+c=0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（ ）
A. 4、2、4 B. ?4、2、4 C. ?4、2、?4 D. 4、?2、?4
圆C:x2+y2+2x?2y=0的圆心C坐标为(?? )
A. (1,?1) B. (?1,1) C. (?2,2) D. (2,?2)
圆x2+y2+2x?2y=0的圆心为（ ）
A. (0,0) B. (?1,1) C. (1,1) D. (1,0)
已知圆C：x2+y2?4x?2y=0与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则弦长|AB|=
A. 5 B. 5 C. 25 D. 32
方程(x2?4)2+(y2?4)2=0表示的图形是(??)
A. 两个点 B. 四个点 C. 两条直线 D. 四条直线
与圆x2+y2?4x+6y+3=0同圆心，且与直线x?2y?3=0相切的圆的方程(? ? ?)
A. x2+y2?4x+6y?8=0 B. x2+y2?4x+6y+8=0
C. x2+y2+4x?6y?8=0 D. x2+y2+4x?6y+8=0
已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C：x2+y2?2x?15=0的半径，则椭圆的标准方程是（ ）
A. x24+y23=1 B. x216+y212=1 C. x24+y2=1 D. x216+y24=1
若圆x2+y2+2ax?b2=0的半径为2，则点(a,b)到原点的距离为（ ）
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
二、填空题
方程C：x2+y2+2x?3y+m=0表示圆，则实数m的取值范围为______．
直线ax+y+1=0被圆x2+y2?2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是________．
若实数x、y满足x2+y2+4x?2y?4=0，则x2+y2的最大值是___________．
已知圆x2+y2?4x+2y?11=0的一条直径通过直线x?2y+3=0被此圆所截弦的中点，则该直径所在的直线被圆x2+y2=5截得的弦长为________．
三、解答题
已知圆C过点O(0,0)，A(?1,?7)和B(8,?4)．
(1)求圆C的方程；
(2)求与AB垂直且被圆C截得弦长等于|AB|的直线l的方程．
已知圆C：x2+y2?2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，直线l：3x?4y?15=0．
(1)求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；
(2)当圆C与圆C1外切时，求m的值；
已知圆C1：x2+y2?2x?6y?1=0和C2：x2+y2?10x?12y+45=0．
(1)求证：圆C1和圆C2相交；
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
已知圆C：x2+y2?2mx?3=0(m∈R)．
(Ⅰ)若m=1，求圆C的圆心坐标及半径；
(Ⅱ)若直线l:x?y=0与圆C交于A，B两点，且AB=4，求实数m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：方程x2+y2?2x+2k+3=0，
即为(x?1)2+y2=?2?2k，
由方程表示圆，可得?2?2k>0，解得k即k的取值范围为(?∞,?1)．
故选A．
2.【答案】A
【解答】
解：由题意，可得圆x2+y2+2x?4y+1=0的圆心(?1,2)，
故?2a?2b+2=0，即a+b=1，(a>0,b>0)，
则9a+1b=(9a+1b)(a+b)
=10+9ba+ab≥10+29ba?ab=16，
当且仅当9ba=ab且a+b=1，即b=14，a=34时取等号，
所以9a+1b的最小值是16，
故选：A．
3.【答案】A
【解答】
解：∵圆C:x2+y2?2x+4y+2k+4=0，
∴圆的标准方程为(x?1)2+(y+2)2=1?2k，
∴圆心坐标1,?2，半径r=1?2k，
若M(3,1)在圆C:x2+y2?2x+4y+2k+4=0外，
则满足(3?1)2+(1+2)2>1?2k?，且1?2k>0，
即13>1?2k且k<12，即?6故选A．
4.【答案】C
【解析】解：设点M的坐标为(x,y)，点A(m,n)，则(m+1)2+n2=4．
∵M是线段AB上的中点，
∴(x?m,y?n)=(3?x,?y)，
∴m=2x?3，n=2y，
∵(m+1)2+n2=4，
∴(2x?2)2+(2y)2=4，
∴(x?1)2+y2=1．
5.【答案】D
【解答】
解：∵在平面内，过定点P的直线l：x+ay?1=0与过定点Q的直线m：ax?y?2a+3=0相交于点M，
∴P(1,0)，Q(2,3)，
∵直线x+ay?1=0与直线ax?y?2a+3=0垂直，
∴M位于以PQ为直径的圆上，
∵|PQ|=9+1=10，
∴|MP|2+|MQ|2=10，
∵|MP|2+|MQ|2=10≥2|MP|?|MQ|，
当且仅当|MP|=|MQ|=5时等号成立，
∴|MP||MQ|≤5．
∴1|MP|+1|MQ|≥21|MP||MQ|≥255，
当且仅当|MP|=|MQ|=5时等号成立，
∴1|MP|+1|MQ|的最小值为255，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：直线(a?1)x?y?a?1=0即a(x?1)?(x+y+1)=0，
由x?1=0x+y+1=0，求得x=1y=?2，故圆心C的坐标为(1,?2)，
再根据半径为5，
可得圆的方程为(x?1)2+(y+2)2=5，
即x2+y2?2x+4y=0，
故选：A．
7.【答案】B
【解答】
解：由x2+y2+ax?2by+c=0得，圆心坐标是(?a2,b)，半径r满足r2=a24+b2?c；
因圆心为C(2,2)，半径为2，解得a=?4，b=2，c=4，
故选：B．
8.【答案】B
【解答】
解：将圆x2+y2+2x?2y=0化成标准方程，得(x+1)2+(y?1)2=2，
所以圆表示以(?1,1)为圆心，半径为2的圆，
故选B．
9.【答案】B
【解析】略
10.【答案】C
【解答】
解：令y=0，x=4；x=0，y=2．
所以A(4,0)，B(0,2)，
所以AB=4?02+0?22=25，
故选C．
11.【答案】B
【解答】
解：方程(x2?4)2+(y2?4)2=0
则x2?4=0且y2?4=0，
即x2=4y2=4，
解得x=2y=2，x=?2y=2，x=2y=?2，x=?2y=?2，
得到4个点．
故选：B．
12.【答案】B
【解答】
解：由圆C：x2+y2?4x+6y+3=0，得(x?2)2+(y+3)2=10，
∴圆C的圆心坐标为C(2,?3)，圆心(2,?3)到直线x?2y?3=0的距离=|2+6?3|5=5=r，
∴圆的方程是(x?2)2+(y+3)2=5.即x2+y2?4x+6y+8=0．
故选B．
13.【答案】A
【解答】
解：设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1，(a>b>0)．
由圆x2+y2?2x?3=0可得(x?1)2+y2=16，半径R=4．
∴a=2．
∵离心率e=12=ca，
∴c=1．
∴b2=a2?c2=3．
∴椭圆的标准方程是x24+y23=1．
故选A．
14.【答案】B
【解答】
解：由半径r=12D2+E2?4F=124a2+4b2=2，
得a2+b2=2，
∴点(a,b)到原点的距离d=a2+b2=2．
故选B．
15.【答案】(?∞,134)
【解析】解：
对圆的一般式方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0
有D2+E2?4F>0，
∴方程C：x2+y2+2x?3y+m=0表示圆
可得：22+(?3)2?4m>0，求得m<134，
故答案为：(?∞,134).
由圆的一般式方程需要满足的条件可得D2+E2?4F>0，得到关于m的不等式，求解可得m的范围．
16.【答案】?2
【解答】
解：圆x2+y2?2ax+a=0化成标准方程为(x?a)2+y2=a2?a(a>1或a<0)，
圆心(a,0)到直线ax+y+1=0的距离d=|a2+1|a2+1=a2+1，
又因为ax+y+1=0被圆x2+y2?2ax+a=0所截得的弦长为2，
所以a2?a=(a2+1)2+1，即
[解后反思]在解决直线与圆相交涉及弦长问题时，一般用由半径，弦心距和弦长一半组成的直角三角形求解．
17.【答案】5+3
【解答】
解：x2+y2+4x?2y?4=0化为(x+2)?+(y?1)?=9，
故方程代表圆心坐标为C(?2,1)，半径为r=3的圆，
x2+y2代表圆上的点(x,y)与O(0,0)的距离，
故x2+y2的最大值为|OC|+r=(?2)?+1?+3=5+3．
故答案为5+3? ．
18.【答案】855?.
【解答】
解：圆x2+y2?4x+2y?11=0的圆心为(2,?1)，
直径所在直线与直线x?2y+3=0垂直，
故直径所在直线的方程为2x+y?3=0．
圆x2+y2=5的圆心到直线2x+y?3=0的距离d=35，
故所求弦长为2r2?d2=25?95=855，
(其中r为圆x2+y2=5的半径)，
故答案为855．
19.【答案】解：(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．
因为O，A，B三点都在圆C上，所以它们的坐标都是圆C方程的解，
故F=050?D?7E+F=0,80+8D?4E+F=0解此方程组，得D=?6，E=8，F=0．
故所求圆C的方程为x2+y2?6x+8y=0．
(2)将圆C的方程化为标准形式：(x?3)2+(y+4)2=25，
直线AB的方程为y?(?4)?7?(?4)=x?8?1?8，即x?3y?20=0，
故设直线l的方程为3x+y+m=0．
由题意，圆心C(3,?4)到直线AB与直线l的距离相等，
故有|3?3×(?4)?20|12+(?3)2=|3×3+(?4)+m|32+12，
解得m=0或m=?10．
所以直线l的方程为3x+y=0或3x+y?10=0．
20.【答案】解：(1)因为圆C1：x2+y2=25的圆心O坐标为(0,0)，半径为5，
则圆心O到直线l：3x?4y?15=0的距离为d=|3×0?4×0?15|32+42=3，
所以直线l被圆C1：x2+y2=25截得的弦长为252?32=8；
(2)由圆C：x2+y2?2x+4my+4m2=0可得：(x?1)2+(y+2m)2=1，
则圆C的半径为1，圆心坐标为(1,?2m)，
由圆C1：x2+y2=25可知，其半径为5，圆心为(0,0)，如下图，
由勾股定理可得：(5+1)2=1+(2m)2，
解得：m=±352．
故当圆C与圆C1外切时，m的值为±352．
21.【答案】解：(1)证明：圆C1的标准方程：(x?1)2+(x?3)2=11，
∴C1的圆心为(1,3)，半径r1=11，
圆C2的标准方程：(x?5)2+(x?6)2=16，
∴圆心C2(5,6)，半径r2=4，
∴两圆圆心距d=|C1C2|=5，
?r1+r2=4+11，
|r1?r2|=4?11，
∴|r1?r2|所以圆C1和C2相交；
(2)解：圆C1和圆C2的方程左右分别相减，
得4x+3y?23=0，
圆心C2(5,6)到直线4x+3y?23=0的距离
d=|20+18?23|16+9=3，
故公共弦长为216?9=27．
22.【答案】解：(Ⅰ)?当m=1时，x2+y2?2x?3=0，化简得(x?1)2+y2=4，
∴圆心坐标为(1,0)，半径为2；
(Ⅱ)?化圆C为(x?m)2+y2=m2+3，
设圆心(m,0)到直线l：x?y=0的距离为d，
则d=|m|2，
∵|AB|=4，d2+4=m2+3，即m22+4=m2+3．
即m=±2．

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