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课时分层作业(四十)　随机现象　样本空间
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列现象中，随机现象有(　　)
(1)某射手射击一次，射中10环；
(2)同时掷两颗骰子，都出现6点；
(3)某人购买福利彩票未中奖；
(4)若x为实数，则x2＋1≥1.
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
C　[(4)是确定性现象．(1)(2)(3)是随机现象．]
2．下列现象中，确定性现象是(　　)
A．凸四边形的内角和为360°
B．小明放学在十字路口遇到红灯
C．三角形中两边之和小于第三边
D.
方程x2＋a＝0有实数根
A　[C是不可能现象，BD是随机现象．]
3．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则试验的样本点共有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C　[该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以试验的样本点共有3个．]
4．从1,
2,
3，4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
C　[从1,
2,
3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}.
其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共4个．]
5.
“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有(　　)
A．6种
B．12种
C．24种
D．36种
D　[试验的全部样本点为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．]
二、填空题
6．下列现象是确定性现象的有________．
①某收费站在未来某天内通过的车辆数；
②一个平行四边形的对边平行且相等；
③某运动员在下届奥运会上获得冠军；
④某同学在回家的路上捡到100元钱；
⑤在没有水和阳光的条件下，小麦的种子不会发芽．
②⑤　[①③④都是随机现象，②⑤是确定性现象．]
7．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，满足“它是偶数”样本点的个数为________．
Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}　5　[样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．]
8．投掷两枚骰子，点数之和为8所包含的样本点有________种．
5　[样本点为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，共5种．]
三、解答题
9．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
[解]　以J，S，B分别表示出剪刀、石头、布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B).
10．同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)满足“x＋y＝5”的样本点有哪些？满足“x<3且y>1”的呢？
(4)满足“xy＝4”的样本点有哪些？满足“x＝y”的呢？
[解]　(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}；
(2)样本点的总数为16；
(3)满足“x＋y＝5”的有以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)；
满足“x<3且y>1”的有以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)；
(4)满足“xy＝4”的有以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；
满足“x＝y”的有以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4).
11．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机现象的是(　　)
A．3件都是正品　　　
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．至少有1件正品
C　[25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”不是随机现象．]
12．抛掷一颗骰子，观察骰子出现的点数，若“出现2点”是确定性现象，则下列也是确定性现象的是(　　)
A．“出现奇数点”
B．“出现偶数点”
C．“点数大于3”
D．“点数是3的倍数”
B　[若“出现2点”是确定性现象，由2为偶数，故“出现偶数点”也是确定性现象．]
13．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．
[答案]　
(1)Ω＝{胜，平，负}
(2)Ω＝{0，1，2，3，4}
14．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能摸出红球，则k的最小值为________．
16　[至少需摸完黑球和白球，共15个，所以k最小为16.]
15．设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10共10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票．设试验的样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)写出A、B包含的样本点；
(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？
[解]　(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．
(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．
(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，
从S2站发车的车票共计8种，…，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种).
PAGE课时分层作业(四十一)　随机事件　随机事件的运算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列事件中的随机事件为(　　)
A．若a，b，c都是实数，则a(bc)＝(ab)c
B．没有水和空气，人也可以生存下去
C．抛掷一枚硬币，反面向上
D．在标准大气压下，温度达到60
℃时水沸腾
C　[A中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a，b，c是恒成立的，故A是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100
℃，水才会沸腾，当温度是60
℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．]
2．12本外形相同的书中，有10本语文书，2本数学书，从中任意抽取3本，是必然事件的是
(　　)
A．3本都是语文书
B．至少有一本是数学书
C．3本都是数学书
D．至少有一本是语文书
D　[从10本语文书，2本数学书中任意抽取3本的结果有：3本语文书，2本语文书和1本数学书，1本语文书和2本数学书3种，故答案选D.]
3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
B　[至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．]
4．学校将5个不同颜色的奖牌分给5个班，每班分得1个，则事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是(　　)
A．对立事件　　
B．不可能事件
C．互斥但不对立事件
D．不是互斥事件
C　[由题意，1班和2班不可能同时分得黄色的奖牌，因而这两个事件是互斥事件；又1班和2班可能都得不到黄色的奖牌，故这两个事件不是对立事件，所以事件“1班分得黄色的奖牌”与“2班分得黄色的奖牌”是互斥但不对立事件．故选C.]
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是(　　)
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
D　[“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.]
二、填空题
6．给出下列四个命题：
①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；
②y＝f(x)是奇函数，则f(0)＝0是随机事件；
③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；
④对顶角不相等是不可能事件．
其中正确命题是________．
①②③④　[∵|x|≥0恒成立，∴①正确；奇函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时才有f(0)＝0，∴②正确；由loga(x－1)＞0知，当a＞1时，x－1＞1即x＞2；当0＜a＜1时，0＜x－1＜1，即1＜x＜2，∴③正确，④正确．]
7．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为________．
①一个是5点，另一个是6点；
②一个是5点，另一个是4点；
③至少有一个是5点或6点；
④至多有一个是5点或6点．
③　[同时掷两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．]
8．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球，2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球，1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，设事件E＝{3个红球}，那么事件C与A，B，E的运算关系是________．
C＝A∪B∪E　[由题意可知C＝A∪B∪E.]
三、解答题
9．从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋任取2个球，观察红球个数和白球个数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)“至少有1个白球”与“都是白球”；
(2)“至少有1个白球”与“至少有一个红球”；
(3)“至少有一个白球”与“都是红球”．
[解]　(1)不是互斥事件，因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或两个白球”和“都是白球”可以同时发生，所以不是互斥事件．
(2)不是互斥事件．因为“至少有1个白球”即“1个白球1个红球或2个白球”，“至少有1个红球”即“1个红球1个白球或2个红球”，两个事件可以同时发生，故不是互斥事件．
(3)是互斥事件也是对立事件．因为“至少有1个白球”和“都是红球”不可能同时发生，且必有一个发生，所以是互斥事件也是对立事件．
10．某小区有甲、乙两种报刊供居民订阅，记事件A表示“只订甲报刊”，事件B表示“至少订一种报刊”，事件C表示“至多订一种报刊”，事件D表示“不订甲报刊”，事件E表示“一种报刊也不订”.判断下列事件是否是互斥事件，若是，再判断是否为对立事件．
(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.
[解]　(1)由于事件C“至多订一种报刊”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报刊”与事件E“一种报刊也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报刊”中有可能“只订乙报刊”，即有可能“不订甲报刊”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报刊”中有这些可能：“只订甲报刊”“只订乙报刊”“订甲、乙两种报刊”；事件C“至多订一种报刊”中有这些可能：“两种报刊都不订”“只订甲报刊”“只订乙报刊”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报刊也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．
11．某人打靶时，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
C　[“至少有一次中靶”与“两次都不中靶”为互斥事件，同时，也是对立事件．]
12．如果事件A，B互斥，那么(　　)
A．AB是必然事件
B.
A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件
C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件
D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件
B　[数形结合，A与B有两种情况，一种是互斥不对立，另一种是A与B是对立事件，要分类讨论．]
13．给出以下三个命题：(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是________．
1　[命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次出现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．]
14．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件取出的是理科书可记为________．
B∪D∪E　[由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.]
15．从学号为1，2，3，4，5，6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1，3，5号同学为男生，2，4，6号同学为女生，记：C1＝{选出1号同学}，C2＝{选出2号同学}，C3＝{选出3号同学}，C4＝{选出4号同学}，C5＝{选出5号同学}，C6＝{选出6号同学}，D1＝{选出的同学学号不大于1}，D2＝{选出的同学学号大于4}，D3＝{选出的同学学号小于6}，E＝{选出的同学学号小于7}，F＝{选出的同学学号大于6}，G＝{选出的同学学号为为偶数}，H＝{选出的同学学号为奇数}，等等．据此回答下列问题：
(1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
(2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？
(3)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？
[解]　(1)必然事件有：E；随机事件有：C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1
，D2，D3，G
，H；不可能事件有：
F.
(2)如果事件C1发生，则事件D1，D3，E，H一定发生，类比集合之间的关系，我们说事件D3，E，H包含事件C1，记作D3?C1，E?C1，H?C1，且D1＝C1.
(3)如：C1和C2；C3和C4等等．
PAGE课时分层作业(四十二)　
古典概型的概率计算公式
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册的排放次序共有(　　)
A．3种　　　B．4种　　　C．6种　　　D．12种
C　[(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6种．]
2．下列是古典概型的是(　　)
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币，首次出现正面为止
C　[A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个，也不具有等可能性，故D不是．]
3．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[设所取的数中b>a为事件A，如果把选出的数a，b写成一数对(a，b)的形式，则试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}，共15个，事件A包含的样本点有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个，因此所求的概率P(A)＝＝.]
4．从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都当选的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[从五个人中选取三人，则试验的样本空间Ω＝{
(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)}，而甲、乙都当选的结果有3种，故所求的概率为.]
5．同时抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，两枚反面的概率等于(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(反，反，反)}，共8种，出现一枚正面，两枚反面的样本点有3种，故概率为P＝.]
二、填空题
6．从含有3件正品和1件次品的4件产品中不放回地任取2件，则取出的2件中恰有1件是次品的概率是________．
　[设3件正品为A，B，C，1件次品为D，从中不放回地任取2件，试验的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)}，共6个．其中恰有1件是次品的样本点有：(A，D)，(B，D)，(C，D)，共3个，故P＝＝.]
7．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为________．
　[用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.]
8．从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
　[从5个数中任意取出两个不同的数，样本点的总数为10，若取出的两数之和等于5，则有(1，4)，(2，3)，共有2个样本点，所以取出的两数之和等于5的概率为＝.]
三、解答题
9．某种饮料每箱装6听，其中一箱有2听不合格，质检人员依次不放回地从该箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
[解]　只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1，2，3，4，不合格饮料为5，6，从6听中选2听的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15种．有1听不合格的有(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8种；有2听不合格的有(5，6)，共1种，所以检测出不合格产品的概率为＝.
10．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层随机抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．
(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；
(2)若从分层随机抽样抽取的6名教师中随机抽取2名教师做进一步数据分析，求抽取的2名教师均为初级教师的概率．
[解]　(1)由分层随机抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为3，2，1.
(2)在分层随机抽样抽取的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则从中抽取2名教师的样本空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，即样本点的总数为15.抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3种．
所以P(B)＝＝.
11．有五根细木棒，长度分别为1，3，5，7，9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
D　[设取出的三根木棒能搭成三角形为事件A，试验的样本空间Ω＝{(1、3、5),
(1、3、7),
(1、3、9),
(1、5、7),
(1、5、9),
(1、7、9),
(3、5、7),
(3、5、9),
(3、7、9),
(5、7、9)}，样本空间的总数为10，由于三角形两边之和大于第三边，构成三角形的样本点只有(3、5、7),
(3、7、9),
(5、7、9)三种情况，故所求概率为P(A)＝.]
12．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[设两位男同学分别为a，b，两位女同学分别为c，d，四人随机站成一列，试验的样本空间Ω＝{abcd，abdc，acbd，acdb，adbc，adcb，bacd，badc，bcad，bcda，bdac，bdca，cabd，cadb，cbad，cbda，cdab，cdba，dabc，dacb，dbac，dbca，dcab，dcba}共24个，其中表示两位女同学相邻的样本点有：abcd，abdc，acdb，dcab，dcba，bacd，badc，bcda，bdca，cdab，cdba，adcb，共12个，故所求的概率为＝.]
13．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________．
　[用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间Ω＝{AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc}，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为＝.]
14．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为________．
　[设袋中红球用a表示，2个白球分别用b1，b2表示，3个黑球分别用c1，c2，c3表示，则试验的样本空间Ω＝{(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)}，则样本空间的总数为15个．两球颜色为一白一黑的样本空间有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6个．∴其概率为＝.]
15．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率．
[解]　(1)由题意可知：＝，
解得n＝2.
(2)不放回地随机抽取2个小球的样本空间Ω＝{(0，1)，(0，21)，(0，22)，(1，0)，(1，21)，(1，22)，(21，0)，(21，1)，(21，22)，(22，0)，(22，1)，(22，21)}，共12个，事件A包含的样本点为：(0，21)，(0，22)，(21，0)，(22，0)，共4个．∴P(A)＝＝.
PAGE课时分层作业(四十四)　古典概型的应用(二)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
D　[从盒中随机抽取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种，取出的2张卡片上的数字之和为奇数的取法有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种，故取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为＝.故选D.]
2．从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P＝＝.故选B.]
3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.故选B.]
4．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫).而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝＝.故选C.]
5．在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[所有的两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P＝＝.故选D.]
二、填空题
6．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为________．
　[取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为＝.]
7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
　[设3个红色球为A1，A2，A3，2个黄色球为B1，B2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共6种，所以所求概率为＝.]
8．从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为________．
　[依题意，从2，3，4，5，6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个是奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为＝.]
三、解答题
9．某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．
[解]　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个．则所求事件的概率为P＝＝.
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，则所求事件的概率为P＝.
10．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下表：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
5次及以上
收费比例
1
0.95
0.90
0.85
0.80
该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下表：
消费次数
第1次
第2次
第3次
第4次
5次及以上
频数
60
20
10
5
5
假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：
(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；
(3)该公司要从这100位里至少消费两次的顾客中按消费次数用分层抽样方法抽出8人，再从这8人中抽出2人发放纪念品，求抽出的2人中恰有1人消费两次的概率．
[解]　(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40位，所以估计一位会员至少消费两次的概率为＝0.4.
(2)该会员第1次消费时，公司获得的利润为200－150＝50(元)，
第2次消费时，公司获得的利润为200×0.95－150＝40(元)，
所以，公司获得的平均利润为＝45(元).
(3)因为20∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分层抽样方法抽出的8人中，消费2次的有4人，分别设为A1，A2，A3，A4，消费3次的有2人，分别设为B1，B2，消费4次和5次及以上的各有1人，分别设为C，D，从中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7种；
去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6种；
…
去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有：CD，共1种，
总的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(种)，其中恰有1人消费两次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16(种)，
所以，抽出的2人中恰有1人消费两次的概率为＝.
11.
“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[因为甲、乙两人从五份红包中随机取两份的可能情况有10种，其中所抢到的金额之和大于等于4的情况有(0.61，3.40)，(1.49，3.40)，(2.19，3.40)，(1.31，3.40)，共4种，所以甲、乙两人抢到的金额之和不低于4元的概率为P＝＝.故选B.]
12．从集合A＝{2，4}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{1，3}中随机抽取一个数记为b，则f
(x)＝ax2＋bx＋1在(－∞，－1]上是减函数的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．0
B　[(a，b)的所有取值情况如下：(2，1)，(2，3)，(4，1)，(4，3)，共4种，记“f
(x)在区间(－∞，－1]上是减函数”为事件A，由条件知f
(x)的图象开口一定向上，对称轴为直线x＝－，则－≥－1，即0<≤1，则事件A包含的情况如下：(2，1)，(4，1)，(4，3)，共3种，则P(A)＝.故选B.]
13．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率为________．
　[将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(6，6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的结果有(4，6)，(5，5)，(5，6)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.]
14．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)满足a＋b＝n”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为________．
3和4　[分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为3和4.]
15．已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0，100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100，200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200，300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严重拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：
(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
游客数量(单位：百人)
[0，100)
[100，200)
[200，300)
[300，400]
天数
a
10
4
1
频率
b
(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．
[解]　(1)游客人数在[0，100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝＝，游客人数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(百人).
(2)从5天中任选两天的选择方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3种，故所求概率为.
PAGE课时分层作业(四十三)　古典概型的应用(一)
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20，0.30，0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)
A．0.40　　　B．0.30　　　C．0.60　　　D．0.90
A　[不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40.]
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　)
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
D　[“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.]
3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10
个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为＝.]
4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[试验的样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率为＝.]
5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[由于甲、乙各记一个数，则基本事件总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)，共11个．∴概率P＝.]
二、填空题
6．甲、乙两人打乒乓球，
两人打平的概率是，
乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．
　[乙不输表示为和棋或乙胜，故其概率为P＝＋＝.]
7．从集合A＝{－3，－2，－1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，1，2}中随机选取一个数记为b，则k>0，b>0的概率为________．
　[根据题意可知，总的基本事件(k，b)共有4×3＝12个，事件“k>0，b>0”包含的基本事件有(2，1)，(2，2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知所求概率为＝.]
8．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．
　[“任意闭合其中的两个开关”所包含的基本事件总数是10，“电路接通”包含6个基本事件，所以电路接通的概率P＝.]
三、解答题
9．学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该选手射击一次．
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7，8，9，10).
(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9＋A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.
(2)记“至少命中8环”为事件B，B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，
所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．
所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
10．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求：
(1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解]　(1)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1,
3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)}，
共27个样本点．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A＝{(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)}，共3种．所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
C　[掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P()＝1－P(B)＝1－＝，因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.]
12．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率(　　)
A．颜色全同
B．颜色不全同
C．颜色全不同
D．无红球
B　[试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，其中包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为＝＝1－，所以是事件“颜色不全同”的概率．]
13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为____．
　[设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A、B为对立事件，
∴P(B)＝1－P(A)＝.]
14．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．
0．16　[设P(A)＝x，P(B)＝3x，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.∴P(A)＝x＝0.16.]
15．先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
[解]　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共6个：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6).故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4，4).故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6).故P(C)＝＝.
PAGE课时分层作业(四十五)　频率与概率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．高考数学试题中，有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，即随机选择其中一个选项正确的概率是.某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对”．这句话(　　)
A．正确　
B．错误
C．不一定
D．无法确定
B　[概率的本质含义是事件发生的可能性大小，要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，只能说可能有3道题答对．]
2．某篮球运动员投篮的命中率为98%，估算该运动员投篮1
000次命中的次数为(　　)
A．98　　　B．980　　　C．20　　　D．998
B　[由概率的意义可知该运动员投篮1
000次命中的次数估计为1
000×98%＝980.]
3．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是(　　)
A．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
B　[由概率的意义可知抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品．]
4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数是(　　)
①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；
②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，出现正面的概率是；
③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
A．0
B．1
C．2
D．3
A　[①概率指的是可能性，错误；②频率为，而不是概率，故错误；③频率不是概率，错误．]
5．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某地市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)
A．64个
B．640个
C．16个
D．160个
C　[80×(1－80%)＝16.]
二、填空题
6．在一次考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的80%是________(填“概率”或“频率”).
频率　[80%是及格人数与全体人数的比，是频率，而不是概率．]
7．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为________．
120　[设总体中的个体数为x，则＝，所以x＝120.]
8．对某批产品进行抽样检查，数据如下，根据表中的数据，如果要从该批产品中抽到950件合格品，则大约需要抽查________件产品．
抽查件数
50
100
200
300
500
合格件数
47
92
192
285
475
1000　[∵
根据题表中数据可知合格品出现的频率为0.94，0.92，0.96，0.95，0.95，
∴
合格品出现的概率约为0.95，
故要从该批产品中抽到950件合格品大约需要抽查1000件产品．故答案为1000.]
三、解答题
9．某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?
[解]　不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，既有可能治愈，也有可能不能治愈．
10．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下表：
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率．
[解]　(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为
所用时间/分
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的人数
0
0.1
0.4
0.4
0.1
11．下列命题中的真命题有(　　)
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是；
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1，0，1，2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
A　[命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是；命题②中摸到白球的概率要小于摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的数的概率大于取得不小于0的数的概率；命题④中每名男生被抽到的概率为，而每名女生被抽到的概率为.]
12．为了了解我国机动车的所有人缴纳车船使用税情况，调查部门在某大型停车场对机动车的所有人进行了如下的随机调查：向被调查者提出三个问题：(1)你的车牌号码的最后一位是奇数吗？(2)你缴纳了本年度的车船使用税吗？(3)你的家庭电话号码的倒数第二位是偶数吗？调查人员给被调查者准备了一枚骰子，让被调查者背对调查人员掷一次骰子．如果出现一点或二点则回答第一个问题；如果出现三点或四点则回答第二个问题；如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“否”，所以都如实做了回答).结果被调查的3
000人中1
200人回答了“否”，由此估计在这3
000人中没有缴纳车船使用税的人数大约是(　　)
A．600
B．200
C．400
D．300
A　[因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等，都等于，所以应有1
000人回答了第一个问题．因为车牌号码的最后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的，所以在这1
000人中应有500人的车牌号码是偶数，这500人都回答了“否”；同理也有1
000人回答了第三个问题，在这1
000人中有500人回答了“否”．因此在回答“否”的1
200人中约有200人是对第二个问题回答了“否”，由概率的统计定义可知在这3
000人中约有600人没有缴纳车船使用税．]
13．山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所产2
500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，则该厂所产2
500套座椅中大约有________套次品．
125　[设有n套次品，由概率的统计定义可知＝，解得n＝125.
所以该厂所产2
500套座椅中大约有125套次品．]
14．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如表(结果保留两位有效数字)：
时间范围
1年内
2年内
3年内
4年内
新生婴儿数
5
544
9
013
13
520
17
191
男婴数
2
716
4
899
6
812
8
590
男婴出生频率
(1)表中的男婴出生频率分别是________；
(2)这一地区男婴出生的概率约是________．
(1)0.49，0.54，0.50，0.50　(2)0.50　[频率＝，可以利用频率来求近似概率．
(1)中各频率为0.49，0.54，0.50，0.50.
(2)由(1)得概率约为0.50.]
15．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
[解]　(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192
5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192
5a.
PAGE课时分层作业(四十六)　事件的独立性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
A　[由题意可知甲乙同时中靶的概率为×＝.]
2．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)
A．0.504
B．0.994
C．0.496
D．0.064
B　[1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.]
3．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(　　)
A．　
B．
C．　
D．
C　[设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，P(A)＝P(B)＝＝，
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1－P()＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－×＝.故选C.]
4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝.]
5．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为(　　)
A．　
B．
C．　
D．
B　[设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1，2，3，…)，
则P(甲以23：21赢)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝(×××)＋(×××)＝.]
二、填空题
6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
　[设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝.]
7．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是______，三人中至少有一人达标的概率是______．
0．24　0.96　[由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.]
8．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．
　[设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，
由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，
设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则
P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)
＝＋×＋××＝.]
三、解答题
9．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[解]　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)·P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(
)
＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：
(1)2人都射中目标的概率；
(2)2人中恰有1人射中目标的概率；
(3)2人至少有1人射中目标的概率；
(4)2人至多有1人射中目标的概率．
[解]　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件．
(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.
(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生).根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为
P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)
＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.
(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人恰有1人射中”2种情况，
其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.
(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，
故所求概率为P＝P(
)＋P(A)＋P(B)
＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.
11．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
B　[设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，
则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，
ABC，AB，AC互斥，
所以P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)
＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)
＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)
＝××＋××＋××＝.]
12．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P().
设P(A)＝x，P(B)＝y，则
即∴x2－2x＋1＝，
∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，
∴x＝.]
13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．
　[依题意得，加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率是1－＝.]
14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．
0．46　[设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，
同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，
故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)
＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)
＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.]
15．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6，0.5，0.5.
(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
[解]　(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1；
设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则
P(E)＝P(A1·B1)＝0.5×0.4＝0.2.
(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A、B、C，则
P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.4×0.5＝0.2.
(3)设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，
则P(F)＝P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)
＝0.3×0.7×0.8＋0.7×0.3×0.8＋0.7×0.7×0.2＝0.434＝.
PAGE章末综合测评(七)　概　率
(满分：150分　时间：120分钟)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数(a，b，c)称为勾股数．现从(3，4，5)，(5，12，13)，(6，8，10)，(7，24，25)，(8，15，17)，(9，40，41)，(9，12，15)，(10，24，26)，(15，20，25)，(15，36，39)这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数满足2b＝a＋c的概率为(　　)
A．　　
　B．　　
　C．　　
　D．
A　[从这10组勾股数随机抽取1组，共10种抽取方法，其中满足2b＝a＋c的有：(3，4，5)，(6，8，10)，(9，12，15)，(15，20，25)，共4种，故所求概率为：P＝＝.]
2．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[由于是有放回摸球，所以第二次摸出1个白球，与第一次摸出白球无关，即相互独立，所以第二次摸出白球的概率为.]
3．抛掷一颗质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝，P(B)＝，则“出现奇数点或2点”的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[∵“出现奇数点”与“出现2点”两事件互斥，
∴P＝P(A)＋P(B)＝＋＝.]
4．袋中装白球和黑球各3个，从中任取2个，则至多有一个黑球的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[把白球编号为1，3，5，黑球编号为2，4，6.从中任取2个，样本空间Ω＝{12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56}，样本点总数为15个．其中至多有一个黑球的样本点有12个．由古典概型公式得P＝＝.]
5．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码就能够成功开机的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[∵Ω＝{(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]
6．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的总的样本点的个数为10，“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－＝.]
7．某运动会期间，从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[用列举法可得样本空间中样本点的总数为15，所求概率的事件包括的样本点的个数为9，∴P＝＝.]
8．一位家长送孩子去幼儿园的路上要经过4个有红绿灯的路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2
min.则这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯的概率为(　　)
A．
B．
C．
D．
C　[设“这位家长送孩子上学到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A，因为事件A等于事件“这位家长送孩子在第一个路口和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝××＝.故选C.]
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．
9．下列事件是随机事件的是(　　)
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数．
A．①③　　　B．①　　　C．②　　　D．④
CD　[②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．]
10．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件中的：
①两球都不是白球；②两球恰有一白球；③两球至少有一个白球．(　　)
A．①
B．②
C．③
D．①②③
AB　[从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，所有的样本点为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑．除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故①与“两球都为白球”互斥但不对立．②符合，理由同上．③两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥．]
11．下列试验不属于古典概型的是(　　)
①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，取出的球为红色的概率；
②在公交车站候车不超过10分钟的概率；
③同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；
④从一桶水中取出100
mL，观察是否含有大肠杆菌．
A．①
B．②
C．③
D．④
BCD　[古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性，①符合两个特征，是古典概型；②④中的样本点的个数无限多，是几何概型；对于③，出现“两正”“两反”“一正一反”的可能性不相等，故不是古典概型．]
12．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件不可能是(　　)
A．恰有1件一等品
B．至少有一件一等品
C．至多有一件一等品
D．都不是一等品
ABD　[将3件一等品编号为1，2，3，2件二等品编号为4，5，从中任取2件有10种取法：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5).其中恰含有1件一等品的取法有：(1，4)，(1，5)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1，2)，(1，3)，(2，3).故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.]
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上
13．某箱内有十张标有数字0到9的卡片，从中任取一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是
________．
　[数字不小于6有6，7，8，9共4个样本点，而样本点的总数为10，故P＝＝.]
14．一枚硬币连掷三次，事件A为“三次反面向上”，事件B为“恰有一次正面向上”，事件C为“至少两次正面向上”，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝________．
1　[事件A，B，C之间是互斥的，且又是一枚硬币连掷三次的所有结果，
所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1.]
15．《九章算术》是中国古代数学专著，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中“均赋粟”问题讲的是古代劳动人民的赋税问题．现拟编试题如下，已知甲、乙、丙、丁四人向国家交税，则甲必须第一个交且乙不是第三个交的概率为________．
　[依题意，所有的样本点为：甲—乙—丙—丁，甲—乙—丁—丙，甲—丙—乙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，甲—丁—乙—丙，乙、丙、丁第一个交的情况也各有6种，故总的事件数有24种，其中满足条件的样本点为：甲—乙—丁—丙，甲—乙—丙—丁，甲—丙—丁—乙，甲—丁—丙—乙，共4种，故所求概率为＝.]
16．如图所示的电路中a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．
　[“设a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝，由独立事件概率公式知P(AC)＝P(A)P()P(C)＝××＝.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示：
派出人数
2人及以下
3
4
5
6人及以上
概率
0.1
0.46
0.3
0.1
0.04
(1)求有4个人或5个人培训的概率；
(2)求至少有3个人培训的概率．
[解]　(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件的概率的加法公式可知P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知P＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
18．(本小题满分12分)用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径(单位：cm)检验，结果如下：
直径(单位：cm)
个数
直径(单位：cm)
个数
(6.88，6.89]
1
(6.93，6.94]
26
(6.89，6.90]
2
(6.94，6.95]
15
(6.90，6.91]
10
(6.95，9.96]
8
(6.91，6.92]
17
(6.96，6.97]
2
(6.92，6.93]
17
(6.97，6.98]
2
从这100个螺母中任意取一个，检验其直径的大小，求下列事件的频率：
(1)事件A：螺母的直径在(6.93，6.95]范围内；
(2)事件B：螺母的直径在(6.91，6.95]范围内；
(3)事件C：螺母的直径大于6.96.
[解]　(1)螺母的直径在(6.93，6.95]范围内的频数为nA＝26＋15＝41，
所以事件A的频率为＝0.41.
(2)螺母的直径在(6.91，6.95]范围内的频数为nB＝17＋17＋26＋15＝75.
所以事件B的频率为＝0.75.
(3)螺母的直径大于6.96的频数为nC＝2＋2＝4，
所以事件C的频率为＝0.04.
19．(本小题满分12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；
(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？
(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．
[解]　(1)甲、乙出手指都有5种可能，因此样本点的总数为5×5＝25，事件A包括甲、乙出的手指的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)共5种情况，
∴P(A)＝＝.
(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．
(3)这种游戏规则不公平．由(1)知和为偶数的基本样本点的个数为13个．
(1，1)，(1，3)，(1，5)，(2，2)，(2，4)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，3)，(5，5).
所以甲赢的概率为，乙赢的概率为.所以这种游戏规则不公平．
20．(本小题满分12分)A、B两个箱子分别装有标号为0、1、2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．
(1)从A、B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2
的概率；
(2)从A、B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
[解]　(1)记事件A＝{从A、B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2}．
样本点的总个数为6×5＝30，事件A包含样本点的个数为5.
由古典概型的概率公式得P(A)＝＝.则x＝2的概率为.
(2)记事件B＝{从A、B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0}．
事件B包含样本点的个数为10.由古典概型的概率公式得P(B)＝＝.
则x＝0且y＝2的概率为.
21．(本小题满分12分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x，y，z)
(1，1，2)
(2，1，1)
(2，2，2)
(1，1，1)
(1，2，1)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x，y，z)
(1，2，2)
(2，1，1)
(2，2，1)
(1，1，1)
(2，1，2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．
①用产品编号列出所有可能的结果；
②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．
[解]　(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
S
4
4
6
3
4
5
4
5
3
5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，
故该样本的一等品率为＝0.6，
从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种.
②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，
则事件B发生的所有可能结果为
{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，
{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，
共6种．所以P(B)＝＝.
22．(本小题满分12分)某重点中学为了解高一年级学生身体发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高(单位：cm)频数分布表如表1、表2.
表1：男生身高频数分布表
身高(cm)
[160，165)
[165，170)
[170，175)
[175，180)
[180，185)
[185，190]
频数
2
5
14
13
4
2
表2：女生身高频数分布表
身高(cm)
[150，155)
[155，160)
[160，165)
[165，170)
[170，175)
[175，180]
频数
1
7
12
6
3
1
(1)求该校高一女生的人数；
(2)估计该校学生身高在[165，180)的概率；
(3)以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，求这2人中至少有1人的身高在[165，180)内的频率．
[解]　(1)设高一女学生人数为x，由表1和表2可得样本中男女生人数分别为40，30，
则＝，解得x＝300.因此高一女生的人数为300.
(2)由表1和表2可得样本中身高在[165，180)的男、女生人数分别为5，14，13，6，3，1，
其和为5＋14＋13＋6＋3＋1＝42.样本容量为70.
所以样本中该校学生身高在[165，180)的频率＝＝.
估计该校学生身高在[165，180)的概率为.
(3)由表格可知：女生身高在[165，180)的概率为.男生身高在[165，180)的概率为，所以这2人中至少有1人的身高在[165，180)内的概率为×＋×＋×＝＋＝.
PAGE专题强化训练(七)　概　率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件　
B．互斥但不对立事件
C．不可能事件
D．必然事件
B　[根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．]
2．小明家的晚报在下午5：30～6：30任何一个时间随机地被送到，他们一家人在下午6：00～7：00任何一个时间随机地开始晚餐．为了计算晚报在晚餐开始之前被送到的概率，某小组借助随机数表的模拟方法来计算概率，他们的具体做法是将每个1分钟的时间段看作个体进行编号，5：30～5：31编号为01，5：31～5：32编号为02，依此类推，6：59～7：00编号为90.在随机数表中每次选取一个四位数，前两位表示晚报时间，后两位表示晚餐时间，如果读取的四位数表示的晚报晚餐时间有一个不符合实际意义，视为这次读取的为无效数据(例如下表中的第一个四位数7840中的78不符合晚报时间).按照从左向右，读完第一行，再从左向右读第二行的顺序，读完下表，用频率估计晚报在晚餐开始之前被送到的概率为(　　)
7840
1160
5054
3139
8082
7732
5034
3682
4829
4052
4201
6277
5678
5188
6854
0200
8650
7584
0136
7655
A.　
B．
C．　
D．
A　[按要求读取到一下共9个数据：1160　
5054　
3139　
5034　
3682　
4052　
5678　
5188　
0136；
其中晚报到达时间早于晚餐时间的是1160　
5054　
3139　
3682　
4052　
5678　
5188　　0136共8个数据．
∴晚报在晚餐开始之前被送到的概率为.
故选A.]
3．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是(　　)
A．　　
　B．
C．　　
　D．
D　[甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙，乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有3种，故所求概率为.]
4．从{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{a，b，c}子集的概率是(　　)
A．　　
　B．
C．　　
　D．
C　[符合要求的是?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个，而集合{a，b，c，d，e}共有子集25＝32个，∴P＝.]
5．先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3，则(　　)
A．P1＝P2＜P3
B．P1＜P2＜P3
C．P1＜P2＝P3
D．P3＝P2＜P1
B　[先后抛掷两颗骰子的点数共有36个样本点：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，并且每个样本点都是等可能发生的．而点数之和为12的只有1个：(6，6)；点数之和为11的有2个：(5，6)，(6，5)；点数之和为10的有3个：(4，6)，(5，5)，(6，4)，故P1＜P2＜P3.]
二、填空题
6．一个袋子中有5个红球，3个白球，4个绿球，8个黑球，如果随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出绿球}，D＝{摸出红球}，则P(A)＝________；P(B)＝________；P(C＋D)＝________．
　　　[由古典概型的算法可得P(A)＝＝，P(B)＝，
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.]
7．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________，P(
)＝________．
　　[因为P(A)＝，P(B)＝，所以P()＝1－P(A)＝1－＝，
P()＝1－＝.因为A，B相互独立，∴A与，与相互独立，
∴P(A
)＝P(A)P()＝×＝，P(
)＝P()P()＝×＝.]
8．下课以后，教室里最后还剩下2位男同学，2位女同学，如果没有2位同学一块儿走，则第2位走的是男同学的概率是________．
　[已知有2位女同学和2位男同学，所有走的可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走的是男同学的概率是P＝＝.]
三、解答题
9．同时抛掷1角、5角和1元的三枚硬币，计算：
(1)恰有一枚出现正面的概率；
(2)至少有两枚出现正面的概率．
[解]　试验的样本空间为Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，样本点总数为8.
(1)用A表示“恰有一枚出现正面”这一事件：
则A＝{(正，反，反)，(反，反，正)，(反，正，反)}．
因此P(A)＝.
(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件，
则B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}，因此P(B)＝＝.
10．某电视台问政直播节日首场内容是“让交通更顺畅”．A，B，C，D四个管理部门的负责人接受问政，分别负责问政A，B，C，D四个管理部门的现场市民代表(每一名代表只参加一个部门的问政)人数的条形图如下．为了了解市民对实施“让交通更顺畅”几个月来的评价，对每位现场市民都进行了问卷调查，然后用分层随机抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
满意
一般
不满意
A部门
50%
25%
25%
B部门
80%
0
20%
C部门
50%
50%
0
D部门
40%
20%
40%
(1)若市民甲选择的是A部门，求甲的调查问卷被选中的概率；
(2)若想从调查问卷被选中且填写不满意的市民中再选出2人进行电视访谈，求这两人中至少有一人选择的是D部门的概率．
[解]　(1)由条形图可得，分别负责问政A，B，C，D四个管理部门的现场市民代表共有200人，其中负责问政A部门的市民为40人．
由分层随机抽样可得从A部门问卷中抽取了20×＝4份．设事件M＝“市民甲被选中进行问卷调查”，所以P(M)＝＝0.1.∴若甲选择的是A部门，甲被选中问卷调查的概率是0.1.
(2)由图表可知，分别负责问政A，B，C，D四部门的市民分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，0，2.记对A部门不满意的市民是a；对B部门不满意的市民是b；对D部门不满意的市民是c，d.
设事件N＝“从填写不满意的市民中选出2人，至少有一人选择的是D部门”．
从填写不满意的市民中选出2人，样本空间为Ω＝{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，样本点总数为6；而事件N＝{(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}，样本点个数为5，所以P(N)＝.故这两人中至少有一人选择的是D部门的概率是.
11．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个卡片，从中无放回地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于14的概率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
D　[从中无放回地取2次，所取号码共有56种，其中和不小于14的有4种，分别是(6，8)，(8，6)，(7，8)，(8，7)，故所求概率为＝.]
12．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜2局时，比赛因故中断．已知甲、乙水平相当，每局甲胜的概率都为，则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为(　　)
A．6︰1
B．7︰1
C．3︰1
D．4︰1
B　[奖金分配比即为甲乙取胜的概率比．甲前两局已胜，甲胜有3种情况：①甲第三局胜记为A1，P(A1)＝，②甲第三局负第四局胜为A2，P(A2)＝×＝，③第三局、第四局甲负，第五局甲胜为A3，P(A3)＝××＝.所以甲胜的概率P＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝，乙胜的概率则为，所以选B.]
13．同时抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数分别记为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0没有实数根的概率为________．
　[本试验的样本点的总数共有36个，方程x2＋bx＋c＝0没有实数根的充要条件是b2＜4c，满足此条件的(b，c)共有17种情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，故所求事件的概率P＝.]
14．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是________．
　[从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄－白紫、红白－黄紫、红紫－白黄、黄白－红紫、黄紫－红白、白紫－红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄－白紫、红白－黄紫、黄紫－红白、白紫－红黄，共4种，故所求概率为P＝＝.]
15．爸爸和亮亮用4张扑克牌(方块2，黑桃4，黑桃5，梅花5)玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，爸爸先抽，亮亮后抽，抽出的牌不放回．
(1)若爸爸恰好抽到了黑桃4.
①请把下面这种情况的树状图绘制完整；
②求亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率．
(2)爸爸、亮亮约定，若爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大，则爸爸胜；反之，则亮亮胜．你认为这个游戏是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，更换一张扑克牌使游戏公平．
[解]　(1)①树状图：
②由①可知亮亮抽出的牌的牌面数字比4大的概率是.
(2)不公平，理由如下：
爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大有5种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字，所以爸爸胜的概率只有，显然对爸爸来说是不公平的．
只需把黑桃5改成黑桃6即可使这个游戏公平(答案不唯一).
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