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苏科版九年级下《5.2二次函数的图象与性质》强化提优检测
（二）
二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质
（时间：90分钟
满分：120分）
一．选择题（共8题；共24分）
1．如果将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，那么所得的抛物线对应的函数表达式是
(　　)
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
2.如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝(x＋1)2于B，C两点.若线段BC的长为6，则点A的坐标为(
)
A.(0，1)
B.(0，4.5)
C.(0，3)
D.(0，6)
第2题图
第3题图
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为(B)
4．若抛物线y＝2xm2－4m－3＋(m－5)的顶点在x轴的下方，则(　
　)
A．m＝5
B．m＝－1
C．m＝5或－1
D．m＝－5
5.下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是(
)
A.当x＞0时，y随x的增大而减小
B.当x＜0时，y随x的增大而增大
C.当x＞－4时，y随x的增大而减少
D.当x＜－4时，y随x的增大而减少
6.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为(
)
A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6
7.将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数的表达式是(
)
A.y＝2(x＋2)2
B.y＝2(x－2)2
C.y＝2x2＋2
D.y＝2x2－2
8.函数
y=k（x﹣k）与
y=kx2，y=K/X（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（共8题；共24分）
9．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x＋h)2，则a＝________，h＝________.
[解析]
抛物线平移后的形状、开口方向不变，因此a＝－3.平移后的抛物线的表达式为y＝－3(x－4＋6)2＝－3(x＋2)2，因此h＝2.
10．已知二次函数y＝3(x－4)2的图像上有三点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“<”号连接)．
11.已知二次函数y＝2(x－h)2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值满足______________.
12.顶点为(－6，0)，开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数是________________.
13.分别写出两个满足下列条件的二次函数表达式：①函数的开口大小及顶点坐标不同；②函数图象只经过第三、四象限.如：______________________________________________.
14.在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为______________________.
15.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为________
16.已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________.
三、解答题（共9题；共72分）
17．已知抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是直线x＝－1，且过点(2，－3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
18.先列表，然后在同一平面直角坐标系内分别描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴与顶点坐标.
①y＝－(x＋2)2；②y＝－(x－1)2.
19.已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1).
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
20.如图，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0).设点P的坐标为(x，y).
(1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式；
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
21.二次函数y＝a(x－h)2的图象如图，已知a＝，OA＝OC，试求该抛物线的表达式.
22．把函数y＝x2的图像向右平移4个单位长度．
(1)请直接写出平移后所得的抛物线相应的函数表达式；
(2)若(1)中所求得的抛物线的顶点为C，并与直线y＝x分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，求△ABC的面积．
23.已知抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1交于点(m，3)．
(1)求m和n的值．
(2)抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，请说明理由．
24.把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点是A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M，求：
(1)a，h的值；
(2)S△MAB的值.
.
25．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的二次函数的图像经过点B，D.
(1)用含m的代数式表示点A，D的坐标；
(2)求这个二次函数的表达式．
教师样卷
一．选择题（共8题；共24分）
1．如果将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，那么所得的抛物线对应的函数表达式是
(　　)
A．y＝x2－1
B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2
D．y＝(x＋1)2
【答案】B
2.如图，在平面直角坐标系中，过点A且与x轴平行的直线交抛物线y＝(x＋1)2于B，C两点.若线段BC的长为6，则点A的坐标为(
)
A.(0，1)
B.(0，4.5)
C.(0，3)
D.(0，6)
【答案】C
第2题图
第3题图
3.在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为(B)
【答案】B
4．若抛物线y＝2xm2－4m－3＋(m－5)的顶点在x轴的下方，则(　
　)
A．m＝5
B．m＝－1
C．m＝5或－1
D．m＝－5
【答案】B
5.下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是(
)
A.当x＞0时，y随x的增大而减小
B.当x＜0时，y随x的增大而增大
C.当x＞－4时，y随x的增大而减少
D.当x＜－4时，y随x的增大而减少
【答案】D
6.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为(
)
A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6
【答案】B
7.将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位长度，得到的新二次函数的表达式是(
)
A.y＝2(x＋2)2
B.y＝2(x－2)2
C.y＝2x2＋2
D.y＝2x2－2
【答案】B
8.函数
y=k（x﹣k）与
y=kx2，y=K/X（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
二、填空题（共8题；共24分）
9．把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x＋h)2，则a＝________，h＝________.
【答案】
－3　2
[解析]
抛物线平移后的形状、开口方向不变，因此a＝－3.平移后的抛物线的表达式为y＝－3(x－4＋6)2＝－3(x＋2)2，因此h＝2.
10．已知二次函数y＝3(x－4)2的图像上有三点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“<”号连接)．
【答案】y3＜y2＜y1
【解析】
∵抛物线y＝3(x－4)2的对称轴为直线x＝4，A(－1，y1)，B(2，y2)，C(5，y3)，
∴点A离直线x＝4最远，点C离直线x＝4最近，而抛物线开口向上，∴y3＜y2＜y1.
11.已知二次函数y＝2(x－h)2的图象上，当x＞3时，y随x的增大而增大，则h的值满足______________.
【答案】h≤3
顶点为(－6，0)，开口向下，开口的大小与函数y＝x2的图象相同的抛物线所对应的函数是________________.
【答案】y＝－(x＋6)2
13.分别写出两个满足下列条件的二次函数表达式：①函数的开口大小及顶点坐标不同；②函数图象只经过第三、四象限.如：______________________________________________.
【答案】y＝－2(x－3)2－1，y＝－3(x－3)2－2(答案不唯一).
14.在平面直角坐标系中，若抛物线y＝3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移1个单位长度，则在新的平面直角坐标系中，抛物线的函数表达式为______________________.
【答案】y＝3(x＋1)2－1.
15.已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为________
【答案】1或6
16.已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________.
【答案】y3＞y1＞y2.
三、解答题（共9题；共72分）
17．已知抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是直线x＝－1，且过点(2，－3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)∵抛物线y＝a(x＋h)2的对称轴是直线x＝－1，∴－h＝－1，解得h＝1，∴抛物线的表达式可写为y＝a(x＋1)2.∵抛物线y＝a(x＋h)2过点(2，－3)，∴－3＝9a，解得a＝－，∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2.
(2)由(1)可知其顶点坐标为(－1，0)．
(3)∵a＝－＜0，∴抛物线开口向下．∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，∴当x＜－1时，y随x的增大而增大．
18.先列表，然后在同一平面直角坐标系内分别描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴与顶点坐标.
①y＝－(x＋2)2；②y＝－(x－1)2.
解：如图所示：
抛物线y＝－(x＋2)2的对称轴为直线x＝－2，顶点坐标为(－2，0)；
抛物线y＝－(x－1)2的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，0).
19.已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1).
(1)求m的值；
(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；
(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？
解：(1)由题意，得∴m＝－1.
(2)当m＝－1时，抛物线的表达式为y＝－2x2＋1，其顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴.
(3)因为抛物线y＝－2x2＋1的开口向下，所以在对称轴的左侧，即当x<0时，y随x的增大而增大.
20.如图，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0).设点P的坐标为(x，y).
(1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式；
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
解：(1)S＝y(y>0).
(2)S＝x2(x>0)，S是x的二次函数.
(3)点P的坐标为(2，4).
(4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分线上.∴P′的横坐标为.当x＝时，y＝x2＝.
∴点P′的坐标为(，).
21.二次函数y＝a(x－h)2的图象如图，已知a＝，OA＝OC，试求该抛物线的表达式.
解：由题意，得C(h，0)，y＝(x－h)2.∵OA＝OC，∴A(0，h).将点A(0，h)代入抛物线的表达式，得h2＝h.∴h1＝2，h2＝0(不合题意，舍去).∴该抛物线的表达式为y＝(x－2)2.
22．把函数y＝x2的图像向右平移4个单位长度．
(1)请直接写出平移后所得的抛物线相应的函数表达式；
(2)若(1)中所求得的抛物线的顶点为C，并与直线y＝x分别交于A，B两点(点A在点B的左侧)，求△ABC的面积．
解：(1)y＝(x－4)2.(2)如图，抛物线y＝(x－4)2的顶点为C(4，0)．
由解得或∴A，B两点的坐标分别为(2，2)，(8，8)．分别过点A，B作AG⊥x轴于点G，BH⊥x轴于点H，则AG＝2，GC＝2，BH＝8，CH＝4，∴S△ABC＝×(2＋8)×6－×2×2－×4×8＝12.
23.已知抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1交于点(m，3)．
(1)求m和n的值．
(2)抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1还有其他交点吗？若有，请求出来；若没有，请说明理由．
解：(1)∵抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1交于点(m，3)，∴将点(m，3)代入y＝2x－1，得3＝2m－1，解得m＝2，再将(2，3)代入y＝2x2＋n，得3＝8＋n，解得n＝－5.
(2)有其他交点．根据(1)得出y＝2x2－5，将y＝2x－1与y＝2x2－5联立，
得解得
故抛物线y＝2x2＋n与直线y＝2x－1还有其他交点，其坐标为(－1，－3)．
24.把抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2.若抛物线y＝a(x－4)2的顶点是A，且与y轴交于点B，抛物线y＝－3(x－h)2的顶点是M，求：
(1)a，h的值；
(2)S△MAB的值.
解：(1)∵抛物线y＝a(x－4)2向左平移6个单位长度后得到抛物线y＝－3(x－h)2，
∴a＝－3，4－6＝h，解得h＝－2.
(2)∵抛物线y＝a(x－4)2即y＝－3(x－4)2的顶点是A，且与y轴交于点B，
∴A(4，0)，B(0，－48).
∵抛物线y＝－3(x－h)2即y＝－3(x＋2)2的顶点是M，∴M(－2，0).
∴S△MAB＝×|4－(－2)|×|－48|＝144.
25．如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A，C在x轴上，点B的坐标为(3，m)(m＞0)，线段AB与y轴相交于点D，以P(1，0)为顶点的二次函数的图像经过点B，D.
(1)用含m的代数式表示点A，D的坐标；
(2)求这个二次函数的表达式．
解：(1)由B(3，m)可知OC＝3，BC＝m.∵AC＝BC＝m，∴OA＝m－3，∴点A的坐标是(3－m，0)．由题意易知∠ODA＝∠OAD＝45°，∴OD＝OA＝m－3，∴点D的坐标是(0，m－3)．
(2)∵二次函数图像的顶点为P(1，0)，且过点B，D，∴可设该二次函数的表达式为y＝a(x－1)2.将B，D的坐标代入表达式，得解得
∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2.

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