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七年级上册第四章【一元一次方程】
能力拓展之实际应用专练（二）
1．某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：
进价（元/只）
售价（元/只）
甲型
25
30
乙型
45
60
（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？
（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？
2．在国庆节社会实践活动中，盐城某校甲、乙、丙三位同学一起调查了高峰时段盐靖高速、盐洛高速和沈海高速的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下：
甲同学说：“盐靖高速车流量为每小时2000辆．”
乙同学说：“沈海高速的车流量比盐洛高速的车流量每小时多400辆．”
丙同学说：“盐洛高速车流量的5倍与沈海高速车流量的差是盐靖高速车流量的2倍．”
请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段盐洛高速和沈海高速的车流量分别是多少？
3．学校购买一批教学仪器，由某班学生搬进实验室，若每人搬8箱，还余16箱，若每人搬9箱，还缺少32箱，这个班有多少名学生？这批教学仪器共有多少箱？
4．在“元旦”期间，某超市推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内时不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时，一律享受9折优惠；③一次性购物在300元（含300元）以上时，一律享受8折优惠．小杨在本超市购物分别付款80元，261元，如果小杨改在本超市一次性购买与上两次相同的商品，应付款多少元？
5．A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．
（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；
（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；
（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．
6．已知多项式﹣m3n2+mn﹣π2n﹣2中，二次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出A、B、C．
（2）在数轴上是否存在点P，使P到A、B、C的距离和等于9？若存在，请直接指出点P对应的数；若不存在，请说明理由．
7．已知多项式3m3n2﹣2mn3﹣2中，四次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且4b、﹣10c3、﹣（a+b）2bc的值分别是点A、B、C在数轴上对应的数，点P从原点O出发，沿OC方向以1单位/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点P，Q其中有一点停止运动，另一点同时停止运动），两点同时出发．
（1）分别求4b、﹣10c3、﹣（a+b）2bc的值；
（2）若点Q运动速度为3单位/s，经过多长时间P、Q两点相距70；
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，试问的值是否变化，若变化，求出其范围：若不变，求出其值．
8．如图，在数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3+15x2y2﹣20的常数项是a，最高次项的系数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如，点A与点B之间的距离记作AB．
（1）求a，c的值：
（2）动点B从数﹣6对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度．同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒3个单位长度，每秒4个单位长度，设运动时间为t秒．
①若点A向右运动，点C向左运动，AB＝BC．求t的值：
②若点A向左运动，点C向右运动，2AB﹣m?BC的值不随时间t的变化而改变，求出m的值．
9．已知M＝（a﹣10）x3+6x2﹣3x+1是关于x的二次多项式，且二次项系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c．
（1）有一动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度向左运动，多少秒后，P到A、B、C的距离和为15个单位？
（2）在（1）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，速度不变，同时点M和点N分别从点A和点C出发，向右运动，点M的速度1个单位/秒，点N的速度5个单位/秒．
设点P、M、N所对应的数分别是xP、xM、xN，点M出发的时间为t，当2＜t＜时，求|xP﹣xM|+|xM﹣xN|﹣|xN﹣xP|的值．
10．（直接填答案，不写推演过程）
观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，B在数轴上分别表示数a，b，则A，B两点的距离可表示为AB＝|a﹣b|．根据以上信息回答下列问题：已知多项式2x4y2﹣3x2y﹣x﹣4的次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点O是数轴原点，点A表示数a，点B表示数b．设点M在数轴上对应的数为m．
（1）A，B两点之间的距离是　
　．
（2）若满足AM＝BM，则m＝　
　．
（3）若A，M两点之间的距离为3，则B，M两点之间的距离是　
　．
（4）若满足AM+BM＝12，则m＝　
　．
（5）若动点M从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度…按照此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，则点M所对应的数m＝　
　．
参考答案
1．解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，
由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000
解得：x＝400
购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）
答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．
（2）设乙型节能灯需打a折，
0.1×60a﹣45＝45×20%，
解得a＝9，
答：乙型节能灯需打9折．
2．解：设盐洛高速车流量每小时x辆，
由题意，得5x﹣（x+400）＝2000×2．
解得x＝1100
则x+400＝1500．
答：高峰时段盐洛高速和沈海高速的车流量分别是1100辆、1500辆．
3．解：设这个班有x名学生，
根据题意得：8x+16＝9x﹣32，
解得：x＝48，
8x+16＝8×48+16＝384+16＝400，
则这个班有48名学生，这批教学仪器共有400箱．
4．解：设小杨改在本超市一次性购买与上两次相同的商品，应付款x元．
根据题意，得
①∵80+261/90%＝370，370＞300，
∴x＝（80+290）×80%＝296
②∵80+261÷0.8＝406.25
∴x＝（80+362.25）×0.8＝325
答：小杨改在本超市一次性购买与上两次相同的商品，应付款296元或325元．
5．解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得
100t+80t＝480
解得t＝
答：两车相遇时，轿车行驶的时间为小时．
（2）设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．
①相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120
解得t＝2
②相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120
解得t＝
答：当轿车行驶2小时或小时，两车相距120km．
（3）设C地距离B地路程为ykm，由题意可得
+＝2.2
解得y＝120，即C地距离B地路程为120km
而A、B两地相距480km，
所以AC＝480﹣120＝360（km）
答：A、C两地的路程为360km．
6．解：（1）多项式﹣m3n2+mn﹣π2n﹣2中，二次项的系数为1，多项式的次数为5，常数项为﹣2，
a＝1，b＝5，c＝﹣2，
点A、B、C如图所示，
（2）设点P对应
的数为m，
①当点P在点C左边时，由题意，（5﹣m）+（﹣1﹣m）+（﹣2﹣m）＝9，解得m＝﹣，
②当点P在A、C之间时，PA+PB+PC＜10，不存在．
③当点P在A、B之间时，（5﹣m）+（m+1）+（m+2）＝9，解得m＝1，
④当点P在点B右侧时，（m﹣5）+（m+1）+（m+2）＝9，解得m＝（不合题意舍弃），
综上所述，当P对应的数是﹣或1时，PA+PB+PC＝9．
7．解：（1）∵多项式3m3n2﹣2mn3﹣2中，四次项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c，
∴a＝﹣2，b＝5，c＝﹣2，
∴4b＝4×5＝20；﹣10c3＝﹣10×（﹣2）3＝80；﹣（a+b）2bc＝﹣（﹣2+5）2×5×（﹣2）＝90；
（2）设运动时间为t秒，则OP＝t，CQ＝3t，
当P、Q两点相遇前：90﹣t﹣3t＝70，
解得：t＝5；
当P、Q两点相遇后：t+3t﹣70＝90，
解得：t＝40＞30（所以此情况舍去），
∴经过5秒的时间P、Q两点相距70；
（3）由题意可知：当点P运动到线段AB上时，OB＝80，AP＝t﹣20，
又∵分别取OP和AB的中点E、F，
∴点F表示的数是，点E表示的数是，
∴EF＝，
∴，
∴的值不变，＝2．
8．解：（1）∵多项式x3+15x2y2﹣20的常数项是a，最高次项的系数是c，
∴a＝﹣20，c＝15．
（2）①当运动时间为t秒时，点A表示的数为3t﹣20，点B表示的数为2t﹣6，点C表示的数为﹣4t+15，
∵AB＝BC，
∴|3t﹣20﹣（2t﹣6）|＝|2t﹣6﹣（﹣4t+15）|，即t﹣14＝6t﹣21或t﹣14＝21﹣6t，
解得：t＝或t＝5．
答：t的值为或5．
②当运动时间为t秒时，点A表示的数为﹣3t﹣20，点B表示的数为2t﹣6，点C表示的数为4t+15，
∴AB＝|﹣3t﹣20﹣（2t﹣6）|＝5t+14，BC＝|2t﹣6﹣（4t+15）|＝2t+21，
∴2AB﹣m?BC＝10t+28﹣2mt﹣21m＝（10﹣2m）t+28﹣21m．
∵2AB﹣m?BC的值不随时间t的变化而改变，
∴10﹣2m＝0，
∴m＝5．
答：m的值为5．
9．解：（1）设运动时间为t秒
∵M＝（a﹣10）x3+6x2﹣3x+1是关于x的二次多项式，二次项系数和一次项系数分别为b和c，
∴a＝10，b＝6，c＝﹣3，
∵P到A、B、C的距离和为15个单位，
∴10﹣（﹣3）+|10﹣6﹣3t|＝15
∴t＝2或，
答：2s或s后，P到A、B、C的距离和为15个单位；
（2）当2＜t＜时，|xP﹣xM|+|xM﹣xN|﹣|xN﹣xP|＝（6+3t﹣10﹣t）+（10+t﹣5t+3）﹣（6+3t﹣5t+3）＝0．
10．解：（1）由多项式的次数是6可知b＝6，又3a和b互为相反数，故a＝﹣2．
∴A，B两点之间的距离是6﹣（﹣2）＝8，
故答案为：8；
（2）∵AB＝8，
∴AM＝BM＝4，
∴6﹣m＝4，
∴m＝2，
故答案为：2．
（3）∵A，M两点之间的距离为3，
∴|m+2|＝3
∴m＝1或﹣5，
∴BM＝5或11；
故答案为：5或11；
（4）①当M在A左侧时，
∵AM+MB＝12，
∴﹣2﹣x+6﹣x＝12，
∴x＝﹣4；
②M在A和B之间时，∵AM+MB＝AB＝8≠12，
∴点M不存在；
③点M在B点右侧时，∵AM+MB＝12，
∴x+2+x﹣6＝12，
∴x＝8；
故答案为：﹣4或8．
（5）依题意得：﹣2﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+……+2018﹣2019＝﹣2+1009﹣2019＝﹣1012．
∴点M对应的有理数为﹣1012．
故答案为：﹣1012．

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